Massiv Bowers Notation

Bowers array notation är en notation för att skriva stora siffror som föreslagits av den amerikanske matematikern Jonathan Bowers 2002. Denna notation är en generalisering av den tidigare 4-argumentnotationen (känd som Bowers-operatorer [1] ) för ett godtyckligt antal argument [2] .

Regler

Bowers notation för en linjär array inkluderar följande regler [3] [4] :

$\{a\}=a$ och $\{a,b\}=a^{b}$
${\displaystyle \{a,b,c,\ldots ,n,1\}=\{a,b,c,\ldots ,n\))$
$\{a,1,b,c,\ldots ,n\}=a$
$\{a,b,1,\ldots ,1,c,d,\ldots ,n\}=\{a,a,a,\ldots ,\{a,b-1,1,\ldots ,1,c,d,\ldots ,n\},c-1,d,\ldots ,n\}$ .
Om reglerna 1-4 inte gäller, $\{a,b,c,d,\ldots ,n\}=\{a,\{a,b-1,c,d,\ldots,n\},c-1,d,\ ldots ,n\}$

Exempel

Array innehåller 2 element

$\{10,100\}=10^{100}=10\uparrow 100$ (regel 1 tillämpas)

Array innehåller 3 element

$\{10,100,1\}=\{10,100\}$ (regel 2 tillämpas)
$\{10,100,2\}=\{10,\{10,99,2\}\}=\{10,\{10,\{10,98,2\}\}\}=\ underbrace {10^{10^{10^{\cdots ^{10^{10))))}} _{\text{100 tior}}=10\uparrow \uparrow 100$ (regel 5 tillämpas)
$\{10,100,3\}=\{10,\{10,99,3\},2\}=\{10,\{10,\{10,98,3\},2\} ,2\}=\vänster.{\begin{matrix}&&\underbrace {10^{10^{10^{\cdots ^{10^{10))))))\\&&\underbrace {10^{ 10^{10^{\cdots ^{10^{10))))}} \\&&\underbrace {\quad \quad \;\;\vdots \quad \quad \;\;} \\&&\underbrace {10^{10^{10^{\cdots ^{10^{10))))}} \\&&{\text{10 tiotal}}\end{matris}}\right\}{\text{100 }}=10\uparrow \uparrow \uparrow 100$ (regel 5 tillämpas)

I allmänhet, för en array med tre element, sant enligt Knuths notation . $\{a,b,m\}=a\uparrow ^{m}b$

Array innehåller 4 element

$\{10,100,1,1\}=\{10,100\}$ (regel 2 tillämpas)
$\{10,100,1,2\}=\{10,10,\{10,99,1,2\}\}=\{10,10,\{10,10,\{10,98 ,1,2\}\}\}=\vänster.{\begin{matrix}&&\underbrace {10\uparrow \uparrow \cdots \uparrow \uparrow 10} \\&&\underbrace {10\uparrow \uparrow \cdots \uparrow \uparrow 10} \\&&\underbrace {\qquad \ \;\;\vdots \qquad \;\;} \\&&\underbrace {10\uparrow \uparrow \cdots \uparrow \uparrow 10} \\&& {\text{10 pilar}}\end{matris}}\höger\}{\text{100 }}\approx 10\högerpil 10\högerpil 100\högerpil 2$ (regel 4 tillämpas)

och detta är redan större än Graham-talet (Graham-talet i sig är någonstans mellan {3,64,1,2} och {3,65,1,2}).

$\{10,100,2,2\}=\{10,\{10,99,2,2\},1,2\}=\{10,\{10,\{10,98,2 ,2\},1,2\},1,2\}\ca 10\högerpil 10\högerpil 100\högerpil 3$ (regel 5 tillämpas)
$\{10,100,m,2\}\approx 10\rightarrow 10\rightarrow 100\rightarrow (m+1)$

I allmänhet, för en array med fyra element,

\{a,b,c,d\}>\underbrace {a\rightarrow a\rightarrow \cdots a\rightarrow a} _{d-1{\text{ shooter))}\högerpil (b-1 )\högerpil (c+1)

enligt Conway notation .

Således, om en Bowers-array som innehåller 3 element har kardinalitet av Knuth-notation (limit ), så har en fyra-element-array redan kardinalitet av Conway-notation (limit ), och så vidare med tillägg av varje nytt element. Bowers notation för en linjär array som inkluderar ett ändligt antal element har en gräns i snabbväxande hierarkiterminologi . $\omega$ $\omega ^{2}$ $\omega^\omega$

Anteckningar

↑ Elwes, Richard. Matematik 1001 : Absolut allt som spelar roll i matematik i 1001 bitstorleksförklaringar . - Buffalo, New York 14205, USA: Firefly Books Inc., 2010. - S. 41-42 . — ISBN 978-1-55407-719-9 .
↑ Jonathan Bowers' oändliga skrapor (ryska) , science.dirty.ru . Arkiverad från originalet den 4 mars 2017. Hämtad 4 mars 2017.
↑ Exploderande array-funktion . Hämtad 7 oktober 2016. Arkiverad från originalet 21 september 2016. (obestämd)
↑ Arraynotation . Hämtad 7 oktober 2016. Arkiverad från originalet 19 oktober 2016. (obestämd)

Stora siffror
Tal	googol Shannon nummer Googolplex Skeves nummer Moser nummer Graham nummer TRÄD(3) Rayo nummer
Funktioner	Ackermann funktion Veblen funktion Psi-funktioner för Buchholz tetration Pentation Hyperoperator Snabbväxande hierarki Långsamt växande hierarki Härlig hierarki
Noteringar	Steinhaus-Moser notation Knuth pilnotation Conway pil notation Massiv Bowers Notation