Stora siffror

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 23 februari 2022; kontroller kräver 6 redigeringar .

Informellt (vanligtvis i rekreationsmatematik och populärvetenskaplig litteratur) är stora siffror siffror som är betydligt större än de siffror som används i vardagen. Sedan 1400-talet ansågs siffror [1] över tusen vara stora, till exempel en miljon [2] .

Studiet av stora tal och deras nomenklatur kallas ibland googologi [ 3] [ 4] [5] . Termen bildades som en kombination av orden " googol " (klassiskt stort tal) och " logotyper " (undervisning). Termen myntades av matematikälskaren Jonathan Bowers [4] .

Historik

Trots det faktum att googologi är en modern term, går historien om mänskliga studier av stora antal tillbaka till antiken.

3:e århundradet f.Kr e. - Arkimedes presenterade i sitt verk Psammit en notation som låter dig skriva siffror upp till [6] . I detta avseende kallas han ibland den första "gugologen" [4] . $10^{8\cdot 10^{16}}$

1:a århundradet e.Kr e. – I den buddhistiska heliga texten Avatamsaka Sutra nämndes numret $\approx 10^{10^{32}}$

1928 - Wilhelm Ackermann publicerade sin funktion .

1940 - Edward Kasner beskrev talen googol ( ) och googolplex ( ) [7] . $10^{{100}}$ $10^{10^{100}}$

1947 - R. Goodstein gav namn åt operationerna tetration ( ), pentation ( ) och hexation ( ) [8] . $a\uparrow \uparrow b$ $a\uparrow \uparrow \uparrow b$ $a\uparrow ^{4}b$

1970 - S. Weiner gav definitionen av en snabbt växande hierarki [9] .

1976 - Donald Knuth uppfann pilnotationen [10] (gränsen i terminologin för en snabbt växande hierarki ). $\omega$

1977 – Martin Gardner beskrev i tidskriften Scientific American Graham-talet [11] ( , där . Funktionen har en tillväxttakt i storleksordningen ). $G=g(64)=f^{64}(4)$ $f(n)=3\uparrow ^{n}3$ $g(n)$ $\omega +1$

1983 - Steinhaus-Moser-notationen [12] (gräns ) uppfanns . $\omega$

1995 - John Conway uppfann kedjepilnotation [13] (gräns ). $\omega ^{2}$

2002 - J. Bowers publicerade sin arraynotation [14] [15] (limit ) och utökad arraynotation (limit ). $\omega^\omega$ $\omega ^{\omega ^{\omega ))$

2002 - H. Friedman gav definitionen av TREE(n) -funktionen , som har en tillväxthastighet . $\theta (\Omega ^{\omega }\omega )$

2006 - H. Friedman definierade de snabbt växande funktionerna SCG(n) och SSCG(n).

2007 - D. Bowers definierade en ännu kraftfullare BEAF-notation (denna notation är väldefinierad upp till , siffror som överstiger denna nivå orsakar inkonsekvens i uppskattningarna). $\varepsilon_{0}$

Lista över hugologismer

Matematiska objekt relaterade till googologi (inklusive stora antal) kallas googologismer. För närvarande ges namn för flera tusen siffror större än en googol . Nedan är en lista över några googologismer och deras uttryck i de mest kända notationerna [16] . Uttrycket i notationen där numret skrevs av författaren föregås av ett likhetstecken, uttryck för samma tal i andra notationer är approximationer.

nummernamn	grad tio	Knuth notation	Conway notation	Bowers notation ( array notation )	Cybian notation ( hyper-E notation )	snabbt växande hierarki
googol	$=10^{100}$	$10\uparrow 100$	$10\rightarrow 100$	$\{10 100\}$	$E100$	$f_{2}(324)$
Googolplex	$=10^{10^{100}}$	$10\uparrow 10\uparrow 100$	$10\rightarrow (10\rightarrow 100)$	$\{10,\{10,100\}\}$	$E100\#2$	$f_{2}^{2}(324)$
Giggol (Giggol)	$\underbrace {10^{10^{10^{\cdots ^{10^{10))))))))_{\text{100 tior))$	$10\uparrow ^{2}100$	$10\rightarrow 100\rightarrow 2$	$=\{10,100,2\}$	$E1\#100$	$f_{3}(100)$
Gaggol	$\left.{\begin{matrix}&&\underbrace {10^{10^{10^{\cdots ^{10^{10))))))\\&&\underbrace {10^{10^ {10^{\cdots ^{10^{10}}}}}} \\&&\underbrace {\quad \quad \;\;\vdots \quad \quad \;\;} \\&&\underbrace {10 ^{10^{10^{\cdots ^{10^{10}}}}}} \\&&{\text{10 tiotal}}\end{matris}}\right\}{\text{100 }}$	$10\uparrow ^{3}100$	$10\rightarrow 100\rightarrow 3$	$=\{10,100,3\}$	$E1\#1\#100$	$f_{4}(100)$
Boogol		$10\uparrow ^{100}10$	$10\rightarrow 10\rightarrow 100$	$=\{10,10,100\}$	$E100\#\#100$	$f_{101}(100)$
Graham nummer		$=\left.{\begin{matrix}&&\underbrace {3\uparrow \uparrow \cdots \uparrow \uparrow 3} \\&&\underbrace {3\uparrow \uparrow \cdots \uparrow \uparrow 3} \ \&&\underbrace {\quad \quad \;\;\vdots \quad \quad \;\;} \\&&\underbrace {3\uparrow \uparrow \cdots \uparrow \uparrow 3} \\&&3\uparrow ^{ 4}3{\text{pilar}}\end{matris}}\höger\}{\text{64 }}$	$3\rightarrow 3\rightarrow 64\rightarrow 2$	${\displaystyle \{3,65,1,2\))$	$E(3)3\#\#4\#64$	$f_{\omega +1}(64)$
Traddom [17]			$10\rightarrow 10\rightarrow 11\rightarrow 4$	${\displaystyle \{10,10,3,2\))$	$E10\#\#10\#\#4$	$=f_{\omega +3}(10)$
Biggol			$10\rightarrow 10\rightarrow 10\rightarrow 100$	$=\{10,10,100,2\}$	$E100\#\#100\#\#100$	$f_{\omega .2}(100)$
Trultom			$10\rightarrow 10\rightarrow 10\rightarrow 10\rightarrow 11$	${\displaystyle \{10,10,10,3\))$	$E10\#\#\#4$	$=f_{\omega .3}(10)$
Trugol (Troogol)			${\displaystyle \underbrace {10\rightarrow 10\rightarrow \cdots \rightarrow 10} _{101\quad \rightarrow ))$	$=\{10,10,10,100\}$	$E100\#\#\#100$	$f_{\omega ^{2}}(100)$

Siffrorna nedan ligger redan utanför Knuth och Conways beteckningar.

nummernamn	Bowers notation (BEAF)	Cybian notation	snabbt växande hierarki
Quadrugol (Quadroogol)	$=\{10,10,10,10,100\}$	$E100\#\#\#\#100$	$f_{\omega ^{3}}(100)$
Quadrexom (Quadrexom)	${\displaystyle \{10,10,10,10,10,10\))$	$E10\#\#\#\#\#10$	$=f_{\omega ^{4}}(10)$
Quintugol (Quintoogol)	$=\{10,10,10,10,10,100\}$	$E100\#\#\#\#\#100$	$f_{\omega ^{4}}(100)$
Goobol _	$=\{10 100(1)2\}=$ ${\displaystyle =\underbrace {\{10,10,10,\cdots ,10,10\))_{100\quad {\text{ten))))$	$E100\#^{99}100$	$f_{\omega ^{98}}(100)$
Boobol (Boobol)	$=\{10,10,100(1)2\}$	E100#^#100##100	$f_{\omega ^{\omega }+99}(100)$
Trouble (Troobol)	$=\{10,10,10,100(1)2\}$	E100#^#100###101	$f_{\omega ^{\omega }+\omega ^{2))(100)$
Quadrubol (Quadroobol)	$=\{10,10,10,10,100(1)2\}$	E100#^#100####101	$f_{\omega ^{\omega}+\omega ^{3))(100)$
Gutrol (Gootrol)	$=\{10 100(1)3\}$	E100#^#100#^#100	$f_{\omega ^{\omega }.2}(100)$
Gossol _	$=\{10,10(1)100\}$	E100#^#*#100	$f_{\omega ^{\omega +1))(100)$
Mossol _	$=\{10,10(1)10,100\}$	E100#^#*##100	$f_{\omega ^{\omega +2))(100)$
Bossol _	$=\{10,10(1)10,10,100\}$	E100#^#*###100	$f_{\omega ^{\omega +3))(100)$
Trossol _	$=\{10,10(1)10,10,10,100\}$	E100#^#*####100	$f_{\omega ^{\omega +4))(100)$
Dubol (Dubol)	$=\{10 100(1)(1)2\}$	E100#^#*#^#100	$f_{\omega ^{\omega .2))(100)$
Dutrol (Dutrol)	$=\{10 100(1)(1)3\}$	E100#^##^#100#^##^#100	$f_{\omega ^{\omega .2}.2}(100)$
Colossol _	$=\{10,10(3)2\}$	E10#^###10	$f_{\omega ^{\omega ^{3}}}(10)$
Terossol (Terossol)	$=\{10,10(4)2\}$	E10#^####10	$f_{\omega ^{\omega ^{4}}}(10)$
Petossol _	$=\{10,10(5)2\}$	E10#^#####10	$f_{\omega ^{\omega ^{5}}}(10)$
Gongulus (Gongulus)	$=\{10,10(100)2\}$	E10#^#^#100	$f_{\omega ^{\omega ^{100}}}(10)$
Godtosol (Godtothol)	$\{100 100((1)1)2\}$	=E100#^#^#^#100	$f_{\omega ^{\omega ^{\omega ^{\omega ))))(100)$
Godtopol (Godtopol)	${\displaystyle \{100 100(((1)1)1)2\))$	=E100#^#^#^#^#^#100	$f_{\omega \uparrow \uparrow 6}(100)$
Godoctol (Godoctol)	$\{100,100(((((0,1)1)1)1)2\}$	=E100#^#^#^#^#^#^#^#^#100	$f_{\omega \uparrow \uparrow 9}(100)$
Dekotetrom (Dekotetrom)	$X\uparrow ^{2}9\&10$	E10#^^#10	$=f_{\omega \uparrow \uparrow 10}(10)$
Goppatos (Goppatoth)	$=10\uparrow \uparrow 100\&10$	E10#^^#101	$f_{\varepsilon _{0}}(101)$
Tesracross (Tethracross)	$X\uparrow ^{3}X^{2}\&100$	=E100#^^##100	$f_{\zeta _{0}}(100)$
Tesrakubor (Tethracubor)	$X\uparrow ^{4}101\&100$	=E100#^^###100	$f_{\eta _{0}}(100)$
Tesrateron (Tethrateron)	$X\uparrow ^{5}101\&100$	=E100#^^####100	$f_{\varphi (4,0)}(100)$
Pentaxulum (Pentacthulhum)	$\{X,X,1,2\}\&100$	=E100#^^^#100	$f_{\Gamma _{0}}(99)$
Hexaxulum (Hexacthulhum)	$\{X,X,1,3\}\&100$	=E100#^^^^#100	$f_{\varphi (2,0,0)}(99)$
Godsgodgulus (Godsgodgulus)	$\{X,X,1,99\}\&100$	=E100#{100}#100	$f_{\varphi (98,0,0)}(99)$
TRÄD(3)			$f_{\theta (\Omega ^{\omega }\omega )}(3)$
SCG(13)			$f_{\psi _{\Omega }(\Omega _{\omega })}(13)$

Tillämpningar av stort antal inom andra vetenskapsområden

Kosmologi

Diametern på den synliga delen av universum m $8.8\times 10^{26}$
Antalet atomer i den synliga delen av universum (enligt olika uppskattningar, från 4⋅10 79 till 10 81 ). $\approx 10^{80}$
Antalet Planckvolymer ( , där m är Plancklängden ) i den synliga delen av universum ${\displaystyle l_{P}^{3))$ $l_{P}=1,6\ gånger 10^{-35}$ $\approx 4,7\times 10^{184}$
Universums diameter enligt vissa inflationsmodeller är m $\approx 10^{10^{12))$
Möjligt antal universum i multiversum uppskattat av A. Linde och V. Vanchurin i enlighet med den kaotiska teorin om inflation [18] . ${\displaystyle 10^{10^{10^{7))))$

Statistisk mekanik

Sannolikheten att i 1 cm³ vanlig luft, på grund av den slumpmässiga kaotiska rörelsen av molekyler, kommer en volym på 1 mm³ att förbli helt tom i 1 sekund (vilket motsvarar väntetiden s. ) [19] $1/10^{10^{13}}$ $10^{10^{13}}$
Väntetiden för Boltzmann-hjärnans uppkomst som ett resultat av kvantfluktuationer i de Sitter-vakuumet är år [20] . $\approx 10^{10^{50}}$
Poincarés återkomsttid för kvanttillståndet för en hypotetisk låda som innehåller ett svart hål vars massa är lika med universums massa enligt vissa inflationsmodeller [21] [22] . ${\displaystyle \approx 10^{10^{10^{10^{10^{1,1)))))))$

grafteori

Graham-talet är en övre gräns för det minsta antalet dimensioner av en hyperkub så att en tvåfärgad färgning av linjer som förbinder alla par av hörn i denna kub nödvändigtvis innehåller en enfärgad 4-hörn i samma plan som komplett subgraf
TRÄD(3)
SCG(13

Anteckningar

↑ Alexander Albov. Från kulramen till qubiten + en historia av matematiska symboler . — Liter, 2017-09-05. - S. 73. - 308 sid. — ISBN 978-5-04-013707-7 . Arkiverad 11 januari 2022 på Wayback Machine
↑ P. S. Alexandrov . Encyclopedia of Elementary Mathematics . — Ripol Classic. - S. 38. - 449 sid. - ISBN 978-5-458-25956-9 . Arkiverad 11 januari 2022 på Wayback Machine
↑ En miljon saker: A Visual Encyclopedia . — New York, New York 10014, USA: DK Publishing , 2008. — S. 286 . — ISBN 978-0-7566-3843-6 . "Studien av stora tal kallas googologi"
↑ 1 2 3 Prof. Dr. Ir. Maarten Loijen. Over getallen gesproken - Talar om siffror (afrikanska) . - Van Haren Publishing, 2016. - P. 211. - ISBN 978-94018-0028-0 .
↑ Robert A. Nowlan. Masters of Mathematics: Problemen de löste, varför dessa är viktiga och vad du bör veta om dem . Springer (13 maj 2017). Hämtad 25 augusti 2018. Arkiverad från originalet 4 augusti 2020.
↑ Sandräknaren (Arenario) . Hämtad 8 oktober 2016. Arkiverad från originalet 7 augusti 2016. (obestämd)
↑ Kasner, Edward; Newman, James R. Mathematics and the Imagination . - Simon och Schuster, New York, 1940. - ISBN 0-486-41703-4 . Det relevanta avsnittet om googol och googolplex, som tillskriver båda dessa namn till Kasners nioåriga brorson, finns tillgängligt i The world of mathematics, volym 3 / James R. Newman. - Mineola, New York: Dover Publications , 2000. - P. 2007-2010. — ISBN 978-0-486-41151-4 .
↑ Goodstein, R. L. (1947). "Transfinita ordinaler i rekursiv talteori". Journal of Symbolic Logic 12(4): 123-129. doi:10.2307/2266486 . JSTOR 2266486 Arkiverad 27 januari 2017 på Wayback Machine .
↑ Löb, MH och Wainer, SS, "Hierarchies of Number Theoretic Functions I, II: A Correction," Arch. Matematik. Logik Grundlagenforschung 14, 1970 s. 198-199.
↑ Knuth, D.E. (1976) "Mathematics and Computer Science: Coping with Finiteness." Arkiverad 24 augusti 2013 på Wayback Machine Science 194, 1235-1242. doi:10.1126/science.194.4271.1235
↑ Gardner, M. (1977) "Mathematical games: In which joining sets of points leads into diverse (and diverting) paths" Arkiverad 19 oktober 2013 på Wayback Machine Scientific American 237(5), 18-28. doi:10.1038/scientificamerican1177-18 .
↑ Steinhaus-Moser Notation—MathWorld . Hämtad 9 oktober 2016. Arkiverad från originalet 13 oktober 2016. (obestämd)
↑ Conway, JH (1995) PDF Arkiverad 22 november 2021 på Wayback Machine
↑ Exploderande array-funktion . Hämtad 9 oktober 2016. Arkiverad från originalet 21 september 2016. (obestämd)
↑ Arraynotation . Hämtad 9 oktober 2016. Arkiverad från originalet 19 oktober 2016. (obestämd)
↑ Lista över googologismer . Hämtad 10 oktober 2016. Arkiverad från originalet 21 november 2016. (obestämd)
↑ Traddom . Hämtad 10 oktober 2016. Arkiverad från originalet 11 oktober 2016. (obestämd)
↑ ANDREI LINDE OCH VITALY VANCHURIN- HUR MÅNGA UNIVERS FINNS I MULTIVERSUM? (inte tillgänglig länk) . Hämtad 18 oktober 2016. Arkiverad från originalet 11 oktober 2016. (obestämd)
↑ G. Linder. Bilder av modern fysik. M.: Mir, 1977
↑ Sinks in the Landscape, Boltzmann Brains, and the Cosmological Constant Problem Arkiverad 11 augusti 2012 på Wayback Machine // Andrei Linde 2007, Journal of Cosmology and Astroparticle Physics 01(2007)022 doi:10.1008-5162/10.1008/5162/ 01/022
↑ Informationsförlust i svarta hål och/eller medvetna varelser?, Don N. Page, Heat Kernel Techniques and Quantum Gravity (1995), SA Fulling (red), sid. 461 Diskurser i matematik och dess tillämpningar, nr. 4, Texas A&M University Institutionen för matematik. arXiv : hep-th/9411193 . ISBN 0-9630728-3-8 .
↑ Hur man får en Googolplex . Datum för åtkomst: 18 oktober 2016. Arkiverad från originalet den 6 november 2006. (obestämd)

Litteratur

David Darling, Agnijo Banerjee. Weird Math: A Teenage Genius and His Teacher avslöjar de märkliga kopplingarna mellan matematik och vardagsliv . — Grundböcker, 2018-04-17. — 294 sid. — ISBN 9781541644793 .

Länkar

Googology - Artikel i Googology Wiki.

Stora siffror
Tal	googol Shannon nummer Googolplex Skeves nummer Moser nummer Graham nummer TRÄD(3) Rayo nummer
Funktioner	Ackermann funktion Veblen funktion Psi-funktioner för Buchholz tetration Pentation Hyperoperator Snabbväxande hierarki Långsamt växande hierarki Härlig hierarki
Noteringar	Steinhaus-Moser notation Knuth pilnotation Conway pil notation Massiv Bowers Notation