Superrot

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 7 november 2021; verifiering kräver 1 redigering .

Inom matematiken är en superrot en av två inversa tetrationsfunktioner .

Precis som exponentiering har två inversa funktioner ( rot och logaritm ), så har tetration två inversa funktioner: superrot och superlogaritm . Detta beror på att hyperoperatorn inte är kommutativ för . Superroten är inte en elementär funktion . $N>2$

Definition

För vilket icke-negativt heltal som helst kan superroten av potensen av definieras som en av lösningarna till ekvationen: . $n\geqslant 0$ $n$ $a>0$ ${}^{n}x=a$

Superroten är en tvetydig funktion. Så for och formens ekvation har två superrötter från , och båda kommer att vara positiva och mindre än . Denna dualitet av värden förklaras av det faktum att funktionen är icke- montonisk . $n=2$ $e^{-{\frac {1}{e}}}\leqslant a<1$ ${}^{2}x=a$ $a$ $ett$ $f(x)={}^{n}x$

Det är inte alltid möjligt att extrahera en superrot även från ett positivt tal, vilket är en konsekvens av närvaron av ett globalt minimum för funktioner i formen. Till exempel när derivatan av funktionen har en extrempunkt , vilket gör det omöjligt att hitta värdena för superroten av andra graden från när (se graf). $f(x)={}^{n}x$ $n=2$ $f(x)={}^{2}x$ $x={\frac {1}{e}}$ $x$ $0<x<{\biggl (}{\frac {1}{e}}{\biggr )}^{\frac {1}{e}}$

Exempel

Exempel på att extrahera en superrot från ett positivt reellt tal:

Super 4:e roten av 65536 är 2 eftersom $2^{2^{2^{2))}=65536;$
Supersekundroten av 27 är 3 eftersom $3^{3}=27;$
Den andra superroten av har två betydelser: och sedan $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ${\frac {1}{2))$ ${\frac {1}{4))$ ${\biggl (}{\frac {1}{4}}{\biggr )}^{\frac {1}{4}}={\biggl (}{\frac {1}{2^{ 2}}}{\biggr )}^{\frac {1}{4}}={\biggl (}{\frac {1}{2}}{\biggr )}^{2\ gånger {\frac { 1}{4}}}={\biggl (}{\frac {1}{2}}{\biggr )}^{\frac {1}{2}}={\frac {\sqrt {2}} {2}}.$

Supersecond root och Lambert-funktion

Superrotfunktionen i andra graden uttrycks i termer av Lambert W-funktionen [1] . Lösningen på ekvationen är nämligen $x^{x}=a$

{\displaystyle \mathrm {ssrt} (a)=e^{W(\mathrm {ln} (a))))

Eftersom Lambert-funktionen är en funktion med flera värden på intervallet , är utvinningen av superroten av andra graden tvetydig på . $W(z)$ $(-{\frac {1}{e}},0)$ $(e^{-1/e},1)$

Öppna nummer

Det är inte känt för något heltal om roten till ekvationen är ett rationellt , ett algebraiskt irrationellt eller ett transcendentalt tal . $n>3$ ${}^{n}x=2$

Anteckningar

↑ Corless, R.M.; Gonnet, G.H.; Hare, DEG; Jeffrey, DJ; Knuth, DE Om Lambert W-funktionen (obestämd) // Advances in Computational Mathematics. - 1996. - T. 5 . - S. 333 . - doi : 10.1007/BF02124750 .

Länkar

Webbplats om tetration av Andrew Robins .
Webbplats om tetration av Daniel Geisler .
Tetracys diskussionsforum .
Kuznetsov D. Tetration som specialfunktion // Vladikavkaz Mathematical Journal. — 2010.