W-funktion hos Lambert

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 7 mars 2020; kontroller kräver 7 redigeringar .

$W$ Lambert-funktionen definieras som den inversa funktionen till , för komplex . Betecknad eller . För alla komplex bestäms det av den funktionella ekvationen : $f(w)=vi^{w}$ $w$ $W(x)$ $\operatörsnamn {LambertW}(x)$ $z$

z=W(z)e^{{W(z)}}

$W$ Lambert-funktionen kan inte uttryckas i elementära funktioner . Det används i kombinatorik , till exempel när man räknar antalet träd , såväl som för att lösa ekvationer.

Historik

Funktionen studerades i Leonhard Eulers verk 1779 , men fick inte en självständig betydelse och namn förrän på 1980-talet. Som en oberoende funktion introducerades den i Maple -datoralgebrasystemet , där namnet LambertW användes för det . Namnet Johann Heinrich Lambert valdes för att Euler hänvisade till Lamberts arbete i sitt arbete, och för att "det skulle vara värdelöst att döpa en annan funktion efter Euler" [1] .

Polysemi

Eftersom funktionen inte är injektiv på intervallet är det en funktion med flera värden på . Om vi begränsar oss till verkliga och kräver , kommer en funktion med ett värde att definieras . $f(w)$ $(-\infty,0)$ $W(z)$ $(-{\frac {1}{e}},0)$ $z=x\geqslant -1/e$ $w\geqslant -1$ $W_{0}(x)$

Asymptotik

Det är användbart att känna till funktionens asymptotik när den närmar sig vissa nyckelpunkter. Till exempel för att påskynda konvergensen när du utför rekursiva beräkningar.

$\left.W(z)\right|_{{z\to \infty }}=\log(z)-\log(\log(z))$

$\left.W(z)\right|_{{z\to -{\frac {1}{e))))={\sqrt {2(ez+1)))-1$

Andra formler

\int _{{0}}^{{\pi }}W{\bigl (}2\cot ^{2}(x){\bigr )}\sec ^{2}(x)\;{\mathrm d}x=4{\sqrt {\pi ))

\int _{{0}}^{{+\infty }}W\left({\frac {1}{x^{2}}}\right)\;{\mathrm d}x={\sqrt { 2\pi }}

\int _{{0}}^{{+\infty }}{\frac {W(x)}{x{\sqrt {x}}}}{\mathrm d}x=2{\sqrt {2\ pi}}

Egenskaper

Genom att differentiera den implicita funktionen kan det erhållas att Lambert-funktionen uppfyller följande differentialekvation: $z\neq -{\tfrac {1}{e}}$

{dW \over dz}={\frac {1}{z}}{\frac {W(z)}{W(z)+1}}.

Med hjälp av serieinversionssatsen kan man få ett uttryck för Taylor-serien ; den konvergerar i närheten av noll för : $|z|<{\tfrac {1}{e}}$

W_{0}(x)=\summa _{{n=1}}^{\infty }{\frac {(-n)^{{n-1}}}{n!}}\ x^{n }=xx^{2}+{\frac {3}{2}}x^{3}-{\frac {8}{3}}x^{4}+{\frac {125}{24}} x^{5}-\cdots .

Genom att använda integration av delar kan vi hitta integralen av W(z):

\int W(x)\,dx=x\left(W(x)-1+{\frac {1}{W(x)}}\höger)+C.

Värden på vissa punkter

W\left(-{\frac {\pi }{2}}\right)={\frac {i\pi }{2}}

W(-1)\approx -0,31813+1,33723i

W\left(-{1 \over e}\right)=-1

W\left(-{\frac {\ln a}{a))\right)=-\ln a

, kl

{\frac {1}{e}}\leq a\leq e

W(0)=0

W(e)=1

W(1)=\Omega \approx 0{,}56714329

( Konstant Omega )

Formler

$W(xe^{x})=x,\,x>0$

${\displaystyle e^{n\cdot W(x)}=\left({\frac {x}{W(x)))\right)^{n))$

$\ln W(x)=\ln xW(x),\,x>0$

$W\left({\frac {nx^{n}}{W(x)^{n-1}}}\right)=nW(x),\,n>0,x>0$

$W(x)+W(y)=W\left(xy\left({\frac {W(x)+W(y)}{W(x)W(y)))\höger)\ höger),\,x>0,y>0$

Lösa ekvationer med W-funktionen

Lösningar på många transcendentala ekvationer kan uttryckas i form av en W-funktion.

Exempel: $x^{x}=z$

\ln z=x\ln x=e^{{\ln x}}\,\ln x

därför, .

x=e^{{W(\ln z)}}

Exempel: $2^{x}=5x$

1=5x\cdot 2^{{-x}}=5x\,e^{{-x\ln 2}}

Beteckna alltså , därav och slutligen . $y=-x\ln 2$ $y\,e^{y}={-\ln 2 \över 5}$ $y=W\left({-\ln 2 \over 5}\right)$ $x=-{1 \over \ln 2}W\left({-\ln 2 \over 5}\right)$

Generaliserade tillämpningar av Lambert W-funktionen

Standard Lambert W-funktionen visar exakta lösningar på transcendentala algebraiska ekvationer av formen:

e^{{-cx}}=a_{o}(xr)~~\quad \qquad \qquad \qquad \qquad (1)

där a 0 , c och r är reella konstanter. Lösningen på en sådan ekvation är . Följande är några av de generaliserade tillämpningarna av Lambert W-funktionen: [2] [3] [4] ${\displaystyle x=r+{\frac {1}{c}}W{\Big (}{\frac {c\,e^{-cr}}{a_{o}}}{\Big )))$

Denna funktion kan användas i allmän relativitetsteori och i kvantmekanik ( kvantgravitation ) i lägre dimensioner. Tidskriften Classical and Quantum Gravity [5] presenterade en tidigare okänd koppling mellan dessa två begrepp, där den högra sidan av ekvationen blir ett kvadratiskt polynom i variabeln x :

e^{{-cx}}=a_{o}(x-r_{1})(x-r_{2})~~\qquad \qquad (2)

och där konstanterna r 1 och r 2 är rötterna till detta andragradspolynom. I det här fallet är lösningen på denna ekvation en funktion med ett argument x , och r i och a o är parametrarna för denna funktion. Ur denna synvinkel, även om denna generaliserade tillämpning av Lambert W-funktionen liknar den hypergeometriska funktionen och "Meijer G"-funktionen, tillhör den en annan typ av funktion. När r 1 = r 2 kan båda sidor av ekvation (2) förenklas till ekvation (1), och därmed förenklas den övergripande lösningen till standard W-funktionen. Ekvation (2) visar de konstitutiva relationerna i det dilatons skalära fältet , från vilket följer lösningen av problemet med att mäta den linjära gravitationen av parade kroppar i 1 + 1 dimensioner (rum- och tidsmätningar) i fallet med ojämna massor, liksom som lösningen på problemet med den tvådimensionella stationära Schrödinger-ekvationen med en potential i form av Dirac-deltafunktionen för ojämna laddningar i en dimension.

Denna funktion kan användas för att lösa ett särskilt problem med kvantmekanikens inre energier, som består i att bestämma den relativa rörelsen för tre kroppar, nämligen en tredimensionell molekylär vätejon [6] [7] . I det här fallet blir den högra sidan av ekvation (1) (eller (2)) nu förhållandet mellan två oändliga polynom i variabeln x :

e^{{-cx}}=a_{o}{\frac {\displaystyle \prod _{{i=1}}^({\infty }}(x-r_{i})}{\displaystyle \prod _{{i=1}}^{{\infty }}(x-s_{i})}}\qquad \qquad \qquad (3)

där r i och s i är konstanter, och x är en funktion mellan den inre energin och avståndet inuti kärnan R. Ekvation (3), såväl som dess förenklade former uttryckta i ekvationerna (1) och (2), är av typen av differentialekvationer med fördröjning .

Tillämpningar av Lambert W-Function i grundläggande fysikproblem är inte begränsade till standardekvationen (1), vilket nyligen har visats inom områdena atom-, molekyl- och optisk fysik [8] .

Beräkning

$W$ -funktionen kan ungefärligen beräknas med hjälp av återfallsrelationen [1] :

w_{{j+1}}=w_{j}-{\frac {w_{j}e^{{w_{j}}}-z}{e^{{w_{j}}}(w_{j }+1)-{\frac {(w_{j}+2)(w_{j}e^{{w_{j))}-z)}{2w_{j}+2))))

Ett exempelprogram i Python :

importera matematik def lambertW ( x , prec = 1e-12 ): w = 0 för i inom intervallet ( 100 ): wTimesExpW = w * math . exp ( w ) wPlusOneTimesExpW = ( w + 1 ) * matte . exp ( w ) w -= ( wTimesExpW - x ) / ( wPlusOneTimesExpW - ( w + 2 ) * ( wTimesExpW - x ) / ( 2 * w + 2 )) if prec > abs (( x - wTimesExpW ) / wPlusOneTimesExpW ): break if prec <= abs (( x - wTimesExpW ) / wPlusOneTimesExpW ): höj Undantag ( "W(x) konvergerar inte tillräckligt snabbt för x= %f " % x ) return w

För en ungefärlig beräkning kan du använda formeln [9] : !!!Ovanstående funktion är liknande, men skiljer sig med mer än 10% från Lambert-funktionen

W(x)\approx \left\{{\begin{matrix}0{,}665\cdot (1+0{,}0195\ln(x+1))\ln(x+1)+0{, }04&\ :\ &0<x\leq 500\\\ln(x-4)-(1-{1 \över \ln x})\ln \ln x&\ :\ &x>500\\\end{matris }}\höger.

Länkar

↑ 1 2 Corless et al. På Lambert W-funktionen (obestämd) // Adv. Computational Maths .. - 1996. - V. 5 . - S. 329-359 . Arkiverad från originalet den 18 januari 2005.
↑ T.C. Scott, R.B. Mann. Allmän relativitets- och kvantmekanik: Mot en generalisering av Lambert W-funktionen (engelska) // AAECC (tillämplig algebra inom teknik, kommunikation och beräkningar): tidskrift. - 2006. - Vol. 17 , nr. 1 . - S. 41-47 . - doi : 10.1007/s00200-006-0196-1 .
↑ T.C. Scott, G. Fee, J. Grotendorst. Asymptotisk serie av generaliserad Lambert W-funktion // SIGSAM (ACM Special Interest Group in Symbolic and Algebraic Manipulation): journal . - 2013. - Vol. 47 , nr. 185 . - S. 75-83 .
↑ T. C. Scott, G. Fee, J. Grotendorst, W. Z. Zhang. Numerik för den generaliserade Lambert W-funktionen (obestämd) // SIGSAM. - 2014. - T. 48 , nr 1/2 . - S. 42-56 .
↑ P.S. Farrugia, R.B. Mann, T.C. Scott. N-body Gravity and the Schrödinger Equation (engelska) // Classical and Quantum Gravity : journal. - 2007. - Vol. 24 , nr. 18 . - P. 4647-4659 . - doi : 10.1088/0264-9381/24/18/006 .
↑ T.C. Scott, M. Aubert-Frécon, J. Grotendorst. Nytt tillvägagångssätt för den elektroniska energin hos den vätemolekylära jonen // Chem . Phys. : journal. - 2006. - Vol. 324 . - s. 323-338 . - doi : 10.1016/j.chemphys.2005.10.031 .
↑ Maignan, Aude; Scott, TC Utvecklar den generaliserade Lambert W-funktionen (obestämd) // SIGSAM. - 2016. - T. 50 , nr 2 . - S. 45-60 . - doi : 10.1145/2992274.2992275 .
↑ T. C. Scott, A. Lüchow, D. Bressanini, J. D. Morgan III. Nodalytorna hos heliumatomens egenfunktioner // Phys . Varv. A : dagbok. - 2007. - Vol. 75 . — S. 060101 . - doi : 10.1103/PhysRevA.75.060101 .
↑ Dubbel precisionsfunktion LAMBERTW(X) Arkiverad 2 september 2005 på Wayback Machine i QCDINS- paket Arkiverad 4 april 2005 på Wayback Machine