Tillägg

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 4 augusti 2022; verifiering kräver 1 redigering .

Addition ( addition [2] ) är en av de grundläggande binära matematiska operationerna ( aritmetiska operationer) av två argument (termer), vars resultat är ett nytt tal ( summa ), som erhålls genom att öka värdet på det första argumentet med värdet av det andra argumentet. Det vill säga att varje par av element från mängden tilldelas ett element som kallas summan och . Detta är en av de fyra elementära matematiska operationerna av aritmetik . Dess prioritet i den vanliga operationsordningen är lika med prioritet för subtraktion , men lägre än den för exponentiering , rotextraktion , multiplikation och division [3] . I skrift anges tillägg vanligtvis med ett plustecken : . Tillägg är endast möjligt om båda argumenten tillhör samma uppsättning element (har samma typ ). Så på bilden till höger betyder posten tre äpplen och två äpplen tillsammans, vilket ger totalt fem äpplen. Men du kan inte lägga till till exempel 3 äpplen och 2 päron. $(a,b)$ $A$ $c=a+b$ $a$ $b$ $a+b=c$
$3+2$

Med hjälp av systematiska generaliseringar kan addition definieras för abstrakta kvantiteter som heltal , rationella tal , reella tal och komplexa tal och för andra abstrakta objekt som vektorer och matriser .

Addition har flera viktiga egenskaper (till exempel för ) (se Summa ): $A=$ $\mathbb {R}$

Kommutativitet : $a+b=b+a,\quad \forall a,b\in \ A;$
Associativitet : $(a+b)+c=a+(b+c),\quad \forall a,b,c\in \ A;$
Distributivitet : och $x\cdot (a+b)=(x\cdot a)+(x\cdot b)$ $(a+b)\cdot x=(a\cdot x)+(b\cdot x),\quad \forall a,b\in \ A;$
Att lägga till (nollelement) ger ett tal lika med originalet: $0$ $x+0=0+x=x,\quad \forall x\in A,\quad \exists 0\in A.$

Att lägga till små tal är en av de första färdigheterna som lärs ut för barn i grundskolan.

Olika tilläggsanordningar är kända, från gamla kulramar till moderna datorer .

Formulär och terminologi

Tillägg skrivs med hjälp av plustecknet "+" mellan termerna; denna form av notation kallas infix notation . Resultatet skrivs med ett likhetstecken . Till exempel,

$a+b=c$ ("ett plus är lika med ce")
$1+1=2$ ("ett plus ett är lika med två")
$2+2=4$ ("två plus två är lika med fyra")
$5+4+2=11$ (se "associativitet" nedan )
$3+3+3+3=12$ (se "multiplikation" nedan )

I ett antal situationer antyds addition, men additionssymboler används inte:

I notationen av tal i positionsnummersystem: notationen av ett tal innebär summering av en serie [4] . $a_{n-1}\;a_{n-2}\ldots \;a_1\;a_0,$ $a_{n-1}\cdot P^{n-1}+a_{n-2}\cdot P^{n-2}+\ldots +a_{1}\cdot P^{1}+ a_{0}\cdot P^{0}$
Om det finns en kolumn med siffror, det sista (nedre) numret i vilket är understruket , så förstås det vanligtvis att alla siffror i denna kolumn läggs till, och den resulterande summan skrivs under det understrukna numret.
Om det finns en post när det finns ett heltal före bråket , betyder denna post summan av två termer - ett heltal och ett bråk, som kallas ett blandat tal [5] . Till exempel,
3½ = 3 + ½ = 3,5.
Denna notation kan orsaka förvirring, eftersom en sådan notation i de flesta andra fall betyder multiplikation , inte addition [6] .

Summan av en serie relaterade tal kan skrivas med symbolen Σ, vilket gör att iteration kan skrivas kompakt . Till exempel,

\summa _{k=1}^{5}k^{2}=1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+5^{2}=55.

Tillägg är siffror eller objekt som adderas [7] .

Plustecknet "+" ( Unicode :U+002B; ASCII : +) är en förenkling av det latinska ordet "et" som betyder "och" [8] . För första gången finns denna symbol i böcker, från och med 1489 [9]

Tolkningar

Addition används för att modellera otaliga fysiska processer. Även för enkel addition av naturliga tal finns det många olika tolkningar och ännu fler sätt för visuell representation.

Kombinera uppsättningar

Den kanske mest grundläggande tolkningen av addition är kombinationen av uppsättningar:

Om två eller flera icke-överlappande funktionsuppsättningar slås samman till en uppsättning, är antalet funktioner i den resulterande uppsättningen lika med summan av antalet funktioner i de ursprungliga uppsättningarna.

Denna tolkning är lätt att visualisera och risken för oklarhet är minimal. Det är dock inte klart hur man förklarar additionen av bråktal eller negativa tal med hjälp av denna tolkning av addition [10] .

En möjlig lösning skulle vara att referera till en uppsättning objekt som lätt kan separeras, såsom pajer eller stavar med segment [11] . Istället för att kombinera uppsättningar av segment, kan stavar fästas vid varandra i ändarna, vilket illustrerar ett annat koncept för addition: det är inte stavarna som summerar, utan deras längder.

Längdförlängning

Den andra tolkningen av tillägget är att utöka den initiala längden med mängden den tillagda längden:

När den initiala längden förlängs med den adderade längden, är den resulterande längden lika med summan av den initiala längden och längden som lades till den [12] .

Summan a + b kan tolkas som den binära föreningen av a och b i algebraisk mening, och den kan också tolkas som att addera b ettor till talet a . I den senare tolkningen spelar delar av summan a + b asymmetriska roller, och operationen a + b anses tillämpa den unära operationen + b på talet a [13] . Den unära metoden låter dig gå vidare till subtraktion , eftersom varje unär additionsoperation har en invers unär subtraktion och vice versa.

Egenskaper

Adderingsoperationen på numeriska uppsättningar har följande huvudegenskaper: $\mathbb {N} ,\mathbb {Z} ,\mathbb {Q} ,\mathbb {R} ,\mathbb {C}$

Kommutativitet

Addition är kommutativ - summan ändras inte från att ändra platserna för termerna (denna egenskap är också känd som den kommutativa additionslagen ): Det finns andra lagar för kommutativitet: det finns till exempel en kommutativ lag för multiplikation. Men många binära operationer , såsom subtraktion och division, är inte kommutativa. $a+b=b+a,\quad \forall a,b\in \ A.$

Associativitet

Addition är associativ - när tillägget av tre eller fler tal utförs i följd spelar sekvensen av operationer ingen roll ( associativ lag för addition ): $(a+b)+c=a+(b+c),\quad \forall a,b,c\in \ A.$

Distributivitet

Addition är distributiv , detta är konsistensegenskapen för två binära operationer definierade på samma uppsättning ( distributiv lag ) [14] : $x\cdot (a+b)=(x\cdot a)+(x\cdot b),\quad \forall a,b\in \ A.$

Neutralt element

När det gäller addition, det finns bara ett neutralt element i mängden , tillägget av ett tal med (noll eller neutralt element) ger ett tal lika med originalet: $A$ $0$ $x+0=0+x=x,\quad \forall x\in A,\quad \exists 0\in A.$

Denna lag beskrevs först i Revised Treatise of Brahma , som skrevs av Brahmagupta 628. Han skrev denna lag i form av tre separata lagar: för ett negativt, positivt och nolltal a , och för att beskriva dessa lagar han använde ord och inte algebraiska symboler. Senare förfinade indiska matematiker begreppen; omkring 840 skrev Mahavira att "noll blir detsamma som det som läggs till det", vilket motsvarade notationen 0 + a = a . På 1100-talet skrev Bhaskara II : "Om ingenting läggs till eller inget subtraheras, så förblir kvantiteten, positiv eller negativ, densamma som den var", vilket motsvarar notationen a + 0 = a [15] .

Inverterat element

Att addera med det motsatta elementet ger : [16] $0$ $a+(-a)=0,\quad \forall a\in A,\quad \exists -a\in A.$

Dessutom tar addition inte resultatet utanför den givna uppsättningen siffror, därför stängs de under additionsoperationen. Dessa uppsättningar med operationer och bildar ringar ( kommutativa ringar med identitet) [17] . På språket för allmän algebra säger ovanstående egenskaper för addition att de är abelska grupper med avseende på driften av addition. $\mathbb {N} ,\mathbb {Z} ,\mathbb {Q} ,\mathbb {R} ,\mathbb {C}$ $+$ $\cdot$ $\mathbb {Z} ,\mathbb {Q} ,\mathbb {R} ,\mathbb {C}$

Utför tillägg

Adderingsoperationen kan representeras som en sorts " svart låda " med två termer vid ingången och en utgång - summan: [18] [19]

I den praktiska lösningen av problemet med att lägga till två siffror är det nödvändigt att reducera det till en sekvens av enklare operationer: "enkel addition" , överföring, jämförelse etc. För detta har olika additionsmetoder utvecklats, till exempel för tal, bråk, vektorer etc. På numeriska mängder används den bitvisa additionsalgoritmen [20] . I detta fall bör tillägg betraktas som ett förfarande (i motsats till en operation).

En exemplifierande algoritm för proceduren för bitvis addition av två tal [21]

Som du kan se är proceduren ganska komplicerad, den består av ett relativt stort antal steg, och när man lägger till stora antal kan det ta lång tid.

"Enkel addition" - i detta sammanhang betyder operationen att lägga till ensiffriga tal, som enkelt kan reduceras till inkrementerande . Är en inkrement hyperoperator :

$a+b=\operatörsnamn {hyper1} (a,b)=\operatörsnamn {hyper} (a,1,b)=a^{(1)}b.$

$a{^{(1)}}b=a+b=\underbrace {1+1+\dots +1} _{a}+\underbrace {1+1+\dots +1} _{b }.$

var är sekvensen av inkrementerande operationer som utförs och tider. $1+1+\dots +1$ $a$ $b$

Medfödd förmåga

Matematisk utvecklingsforskning, som började på 1980-talet, tittade på fenomenet tillvänjning : spädbarn tittar längre på situationer som är oväntade [22] . Karen Winns experiment från 1992 använde Musse Pigg- dockor , som manipulerades på olika sätt bakom en skärm Detta experiment visade att 5 månader gamla bebisar förväntar sig att 1 + 1 ska vara 2 och blir förvånade när 1 + 1 är 1 eller 3. Detta resultat bekräftades senare i andra laboratorier med olika metoder [23] . Ett annat experiment 1992 med äldre småbarn, i åldern 18 till 35 månader, använde utvecklingen av barns motoriska färdigheter, vilket gjorde att de kunde få ut pingisbollar ur lådan; de yngre killarna klarade sig bra med ett litet antal bollar, de äldre lärde sig att räkna summan upp till 5 [24] .

Även vissa djur visar förmågan att vika sig, särskilt primater . Experimentet från 1995 liknade Winns experiment från 1992, men auberginer användes istället för dockor . Det visade sig att rhesusapor och oedipala tamariner visar förmågor som liknar mänskliga bebisar. Dessutom kunde en schimpans , efter att ha blivit lärd att särskilja och förstå betydelsen av de arabiska siffrorna från 0 till 4, beräkna summan av två tal utan träning [25] . Senare fann man att asiatiska elefanter kan bemästra grundläggande aritmetiska operationer [26] .

Mastering tillägg av barn

Som regel lär sig barn att räkna först . När de får en uppgift som kräver att man kombinerar två föremål och tre föremål, vänder sig små barn till hjälp av specifika föremål, såsom fingerräkning eller rithjälp. När de får erfarenhet lär de sig eller upptäcker strategin för att "räkna": när det krävs för att ta reda på hur mycket två plus tre blir, listar barn de två siffrorna som kommer efter siffran tre och säger: "tre, fyra, fem " . (vanligtvis böjer fingrarna) , och som ett resultat får de fem. Denna strategi verkar nästan universell; barn kan lätt lära sig det av sina kamrater eller lärare [27] . Många barn själva kommer till detta. Efter att ha samlat på sig lite erfarenhet lär sig barn att lägga till snabbare, med hjälp av kommutativiteten för addition, börjar lista siffror från det största antalet i summan, som i fallet som beskrivs ovan, med början från tre och lista: "fyra, fem ". Så småningom börjar barn använda vissa fakta om addition (" exempel på addition utantill "), antingen genom att lära sig dem genom erfarenhet eller genom att memorera dem. När vissa fakta lägger sig i minnet börjar barn härleda okända fakta från kända. Till exempel kan ett barn som lägger till sex och sju veta att 6 + 6 = 12, och att därför 6 + 7 är en till, det vill säga 13 [28] . Den här typen av slutsatser kommer ganska snabbt, och de flesta grundskoleelever förlitar sig på en blandning av allt de kommer ihåg och vad de kan härleda, vilket så småningom låter dem lägga till flytande [29] .

I olika länder påbörjas studiet av heltal och aritmetik vid olika åldrar, främst addition lärs ut i förskoleutbildningsinstitutioner [30] . Samtidigt, runt om i världen, i slutet av det första året i grundskolan, lär sig elever addition [31] .

Tilläggstabell

Barn visas ofta en tabell för att lägga till siffror från 1 till 10 för bättre memorering.[ flytande uttryck ] . Genom att känna till den här tabellen kan du utföra vilket tillägg som helst.

decimal additionstabell

+	0	ett	2	3	fyra	5	6	7	åtta	9
0	0	ett	2	3	fyra	5	6	7	åtta	9
ett	ett	2	3	fyra	5	6	7	åtta	9	tio
2	2	3	fyra	5	6	7	åtta	9	tio	elva
3	3	fyra	5	6	7	åtta	9	tio	elva	12
fyra	fyra	5	6	7	åtta	9	tio	elva	12	13
5	5	6	7	åtta	9	tio	elva	12	13	fjorton
6	6	7	åtta	9	tio	elva	12	13	fjorton	femton
7	7	åtta	9	tio	elva	12	13	fjorton	femton	16
åtta	åtta	9	tio	elva	12	13	fjorton	femton	16	17
9	9	tio	elva	12	13	fjorton	femton	16	17	arton

Decimalsystem

För att lyckas lägga till i decimal måste du komma ihåg eller snabbt kunna visa 100 "fakta (exempel) på addition" för ensiffriga tal. Man kan komma ihåg alla dessa fakta genom att memorera dem, men strategier för att lära sig addition genom att använda mönster är mer informativa och mer effektiva för de flesta: [32]

Kommutativ egenskap : Att använda ett mönster minskar antalet "tilläggsfakta" att komma ihåg från 100 till 55. $a + b = b + a$
En eller två till : att lägga till 1 eller 2 är ett grundläggande problem, och det kan lösas genom uppräkning (räkning) eller, i slutändan, att förlita sig på intuition [32] .
Noll : eftersom noll är det neutrala elementet för additionsoperationen (en additiv enhet), är det enkelt att lägga till noll. Men under studiet av aritmetik presenteras addition för vissa elever som en process under vilken termerna alltid ökar; betoningen på den verbala formuleringen av problemet kan hjälpa till att förstå "exklusiviteten" av noll [32] .
Fördubbling : Att lägga till ett tal till sig själv är relaterat till uppgiften att dubbla (om)räkna och multiplicera . Fördubbling av fakta är grunden för många relaterade fakta och är relativt lätta för elever att förstå [32] .
Nästan dubblering (summor nära dubblering) : summan 6 + 7 = 13 kan snabbt härledas från faktumet att dubbla 6 + 6 = 12 och lägga till en, eller från faktumet 7 + 7 = 14 och subtrahera en [32 ] .
Fem och tio : summor av formen 5 + x och 10 + x kommer vanligtvis ihåg tidigt och kan användas för att härleda andra fakta. Till exempel kan resultatet av summan 6 + 7 = 13 härledas genom att 5 + 7 = 12 adderar en till den sista [32] .
Att få tio (bygga upp till tio) : det finns en strategi där 10 används som ett mellanresultat i närvaro av termerna 8 eller 9; till exempel, 8 + 6 = 8 + 2 + 4 = 10 + 4 = 14 [32] .

När eleverna blir äldre memorerar de mer och mer fakta och lär sig att snabbt härleda andra fakta från dem. Många elever memorerar inte alla fakta utan kan snabbt härleda de nödvändiga [29] .

Överför

I den vanliga flersiffriga additionsalgoritmen[ strömlinjeformat uttryck ] siffrorna som utgör posterna för de tillagda talen är placerade under varandra. Lägg till siffror separat i varje kolumn, med början från höger. Om summan av siffrorna i en kolumn överstiger 10, " överförs " den extra siffran till nästa kolumn (till vänster). Till exempel totalt 27 + 59

¹ 27 +59 ———— 86

7 + 9 = 16 och siffran 1 överförs till nästa kolumn. I en alternativ metod, börja lägga till från den mest signifikanta siffran till vänster; i denna strategi är överföringen något grövre, men det ungefärliga beloppet erhålls snabbare. Det finns många andra överföringsmetoder.

Lägga till decimaler

Decimaladditionsmetoden är en enkel modifiering av flersiffrig addition som beskrivs ovan [33] . När man lägger till en kolumn är bråken ordnade på ett sådant sätt att kommatecken[ stil ] var exakt under varandra. Vid behov kan nollor läggas till till höger och vänster om det kortare bråket (se efterföljande nolla och inledande nollor ) för att göra det lika i längd som det längre bråket. Så addition utförs på samma sätt som i metoden för att lägga till flersiffriga nummer som beskrivs ovan, bara kommatecken är placerad i svaret exakt där det var placerat för termerna.

Till exempel kan summan 45,1 + 4,34 beräknas enligt följande:

4 5 , 1 0 + 0 4 , 3 4 ————————————— 4 9 , 4 4 Exponentiell notation

I exponentiell notation skrivs siffror som , där är mantissan , är kännetecknet för talet , och är basen i talsystemet. För att lägga till två tal som är skrivna i exponentiell form krävs att de har samma egenskaper: enligt den fördelande egenskapen. ${\displaystyle a=\pm x\cdot P^{\pm n))$ $x$ $P^{n}$ $P$ $a\cdot P^{n}+b\cdot P^{n}=(a+b)\cdot P^{n},$

Till exempel:

2.34\cdot 10^{-5}+5.67\cdot 10^{-6}=2.34\cdot 10^{-5}+0.567\cdot 10^{-5}=(2.34+0.567)\cdot 10^{-5}=2.907\cdot 10^{-5}

Ett specialfall är tillägget av tal som skiljer sig åt med flera storleksordningar , med sekventiell avrundning. Om , då kommer felen för dessa siffror att vara ojämförbara ( ), och när tillägget utförs kommer ett större fel att absorbera ett mindre. Därmed kan associativitetsegenskapen kränkas. $a\gg b$ $\Delta a\gg \Delta b$

Betrakta till exempel uttrycket : om vi kör först , efter avrundning av resultatet får vi , adderar ytterligare, vi har , och om tillägget utförs i en annan ordning, då: . Således kan felaktig avrundning resultera i olika värden av samma uttryck. $5.6\cdot 10^{8}+7.2+(-5.6\cdot 10^{8})$ $5.6\cdot 10^{8}+7.2$ ${\displaystyle \approx 5.6\cdot 10^{8))$ $5.6\cdot 10^{8}+(-5.6\cdot 10^{8})=0$ $5.6\cdot 10^{8}+(-5.6\cdot 10^{8})+7.2=0+7.2=7.2$

Addition i andra nummersystem

Addition för tal med andra baser är identisk med addition i decimalsystem

Som ett exempel, överväg addition i det binära systemet [34] . Att lägga till två ensiffriga binära tal med carry är ganska enkelt:

0 + 0 → 0 0 + 1 → 1 1 + 0 → 1 1 + 1 → 0, 1 överförs (eftersom 1 + 1 = 2 = 0 + (1 × 2 1 ))

Summan av två '1:or är lika med '0' och 1 måste läggas till i nästa kolumn. Denna situation är analog med vad som händer i decimalsystemet när vissa ensiffriga tal adderas; om resultatet är lika med eller större än värdet på basen (10), ökar siffrorna till vänster:

5 + 5 → 0, bär 1 (eftersom 5 + 5 = 10 = 0 + (1 × 10 1 )) 7 + 9 → 6, bär 1 (eftersom 7 + 9 = 16 = 6 + (1 × 10 1 ))

Denna operation är känd som "överföring" [35] . När resultatet av ett tillägg överskrider intervallet för värden och plats måste du "överföra" överskottet dividerat med systemets bas (det vill säga med 10 i decimal) till vänster, lägga till det till värde på nästa plats. Detta beror på att värdet i nästa siffra är gånger större (i det -: e talsystemet) än värdet i den aktuella siffran. Bär i binärt fungerar på samma sätt som i decimal: $N$ $N$

1 1 1 1 1 (överföring) 0 1 1 0 1 + 1 0 1 1 1 —————————————— 1 0 0 1 0 0 = 36

Det här exemplet lägger till två siffror: 01101 2 (13 10 ) och 10111 2 (23 10 ). Den översta raden indikerar förekomsten av en överföring. Vi börjar lägga till från den högra kolumnen: 1 + 1 = 10 2 . Här förs 1 åt vänster och 0 skrivs på den nedersta raden. Nu adderas siffrorna i den andra kolumnen från höger: 1 + 0 + 1 = 10 2 ; 1 överförs och 0 skrivs på den nedersta raden. Tredje kolumnen: 1 + 1 + 1 = 11 2 . I detta fall bärs 1 på den nedersta raden. Som ett resultat får vi 100100 2 (eller 36 i decimal).

Datorer

Analoga datorer arbetar direkt med fysiska kvantiteter, så deras additionsmekanism beror på typen av termer. En mekanisk adderare kan representera två termer som positioner för glidblock, i vilket fall de kan läggas till med hjälp av en medelvärdesspak . Om termerna presenteras i form av rotationshastigheter för två axlar kan de läggas till med hjälp av en differential . En hydraulisk adderare kan lägga till trycken i de två kamrarna, med hjälp av Newtons andra lag för att balansera krafterna på kolvaggregatet . Den mest typiska analoga datorapplikationen är tillägget av två spänningar (relativt jord ); detta kan grovt implementeras med en resistorkrets , och en avancerad version använder en op-förstärkare [36] .

Tilläggsoperationen är grundläggande i en persondator . Prestandan för tilläggsoperationen, och i synnerhet begränsningarna förknippade med överföringsmekanismen , påverkar datorns övergripande prestanda.

Kulramen , även kallad räknebräda, är en räkneanordning som användes många århundraden före antagandet av det moderna nummersystemet och som fortfarande används i stor utsträckning av köpmän, köpmän och kontorister i Asien , Afrika och andra kontinenter; man antar att kulramen skapades senast 2700-2300 f.Kr. e., sedan användes det av sumererna [37] .

Blaise Pascal uppfann den mekaniska räknaren 1642 [38] [39] ; det var den första operativa tillsatsmaskinen . I denna kalkylator utfördes överföringsmekanismen på grund av gravitationen. Det var den enda fungerande räknaren på 1600-talet [40] och den allra första automatiska digitala datorn. Pascals tilläggsmaskin begränsades av dess överföringsmekanism, som bara tillät hjulen att svänga i en riktning och därmed staplas. För att subtrahera var användaren tvungen att använda en andra uppsättning siffror för att representera resultatet, och additionsmetoder , som inkluderade samma antal steg som addition. Giovanni Poleni fortsatte Pascals arbete genom att bygga den andra funktionella mekaniska räknaren 1709. Urtavlan på denna räknare var gjord av trä och när den väl installerats kunde den multiplicera två siffror automatiskt.

Adderare utför heltalsaddition i elektroniska digitala datorer, vanligtvis med binär aritmetik . Den enklaste strukturen använder en vågbärande adderare (utförandet av den föregående adderaren i adderarens kedja är carry-in för nästa adderare), vilket tillåter addition för flerbitars tal. En liten förbättring tillhandahålls av skip-carry adder , som fungerar på ett sätt som liknar mänsklig intuition; den gör inte alla bär i summan 999 + 1, den går förbi gruppen på nio och hoppar direkt till svaret [41] .

I praktiken kan addition utföras via modulo två-addition och AND-operationen i kombination med andra bitvisa operationer, som visas nedan. Båda dessa operationer är enkla att implementera i kedjor av adderare , som i sin tur kan kombineras till mer komplexa logiska operationer . I moderna digitala datorer är heltalstillägg, liksom andra heltalsarithmetiska instruktioner, bland de snabbaste operationerna, men de har samtidigt en enorm inverkan på datorns totala prestanda, eftersom heltalsoperationer står för en betydande del av alla beräkningar. Heltalstillägg används till exempel i sådana uppgifter som att generera adresser under minnesåtkomst och hämta instruktioner under en viss ordningsföljd . För att öka hastigheten beräknar moderna datorer värden i siffror parallellt ; sådana scheman kallas carry sampling, carry anticipation , och pseudo-transfer i en Ling adder . I de flesta fall är implementeringen av addition på en dator en hybrid av de tre sista konstruktionerna [42] [43] . Till skillnad från papperstillägg ändrar datortillägg ofta villkoren. På en uråldrig kulram och en tilläggstavla förstördes båda termerna under additionsoperationen, vilket bara lämnade summan kvar. Kulramens inflytande på det matematiska tänkandet var så stort att det i tidiga latinska texter ofta angavs att i processen att lägga till "tal till tal" försvinner båda siffrorna [44] . För att återgå till nutiden, noterar vi att ADD-instruktionen för mikroprocessorn ersätter värdet av den första termen med summan, den andra termen förblir oförändrad [45] . I ett programmeringsspråk på hög nivå ändrar inte utvärderingen av a + b vare sig a eller b ; om uppgiften är att skriva summan till a , så måste detta uttryckligen anges, vanligtvis med uttrycket a = a + b . I vissa programmeringsspråk som C eller C++ är detta förkortat till a += b .

// Iterativ algoritm int add ( int x , int y ){ int carry = 0 ; while ( y != 0 ){ carry = AND ( x , y ); // Logisk AND x = XOR ( x , y ); // Logisk XOR y = bära << 1 ; // vänster bitförskjutning bär med en } returnera x ; } // Rekursiv algoritm int add ( int x , int y ){ returnera x if ( y == 0 ) annars addera ( XOR ( x , y ) , AND ( x , y ) << 1 ); }

På en dator, om resultatet av ett tillägg är för stort för att lagras, inträffar ett aritmetiskt spill , vilket resulterar i ett felaktigt svar eller ett undantag under programkörning. Oväntat aritmetiskt spill är en ganska vanlig orsak till programmeringsfel . Sådana spillfel kan vara svåra att upptäcka och diagnostisera eftersom de bara kan uppstå med mycket stora indatauppsättningar som inte ofta används i tester [46] . Tillägget av reella tal på moderna datorer, som alla flyttalsberäkningar , implementeras i hårdvara i en speciell modul som kallas en matematisk coprocessor (namnet är villkorat, eftersom det i moderna datorer är fysiskt integrerat i den centrala processorn ). Flyttalstillägg kan också svämma över, men det kommer alltid att skapa ett undantag och kommer inte att gå obemärkt förbi.

En annan viktig egenskap hos flyttalsdatorberäkningar är den begränsade noggrannheten att representera ett reellt tal , i samband med vilket flyttalsberäkningar på en dator vanligtvis utförs ungefär, och avrundningsoperationen tillämpas på resultaten av beräkningar (inklusive mellanliggande sådana) . Avrundning, som regel, tillämpas även på de tal som representeras i decimaltalssystemet av en ändlig bråkdel, det vill säga exakt (eftersom de vanligaste datorerna använder det binära talsystemet ). I detta avseende, vid summering av flyttalstal på en dator, beror summan som regel på ordningen för summering av termerna - ibland väsentligt om termernas ordningsföljder skiljer sig markant. Med tanke på denna omständighet, när man skriver program som använder summering av ett stort antal termer, måste man ta till särskilda åtgärder som syftar till att minska felet. En av de mest effektiva metoderna för att minska summationsfelet är Kahan-algoritmen .

Nummertillägg

För att representera de grundläggande egenskaperna för addition måste du först bestämma sammanhanget. Addition definierades ursprungligen för naturliga tal . Addition definieras för större och större mängder, inklusive naturliga tal: heltal , rationella tal och reella tal [47] . (I matematikundervisningen [48] går addition av positiva bråk före addition av negativa tal [49] .)

Naturliga tal

Låt oss använda definitionen av naturliga tal som ekvivalensklasser av finita mängder. Låt oss beteckna ekvivalensklasserna för finita mängder som genereras av bijektioner med hjälp av parentes: . Då definieras den aritmetiska operationen "addition" enligt följande: $\mathbb {N}$ $C,A,B$ $[C],[A],[B]$

[C]=[A]+[B]=[A\sqcup B];

var är den osammanhängande föreningen av uppsättningarna . Denna operation på klasser introduceras korrekt, det vill säga den beror inte på valet av klasselement och sammanfaller med den induktiva definitionen. $A \sqcup B$

En en-till-en-mappning av en ändlig uppsättning på ett segment kan förstås som en uppräkning av elementen i uppsättningen . Denna numreringsprocess kallas " räkning " [50] [ kontrollera länk (redan 506 dagar) ] . Således är "kontot" upprättandet av en en-till-en överensstämmelse mellan elementen i mängden och ett segment av den naturliga serien av tal [51] . $A$ ${\displaystyle N_{a))$ ${\displaystyle A:\quad A\sim N_{a))$

För att lägga till naturliga tal i positionsbeteckningen för tal används en bitvis additionsalgoritm. Givet två naturliga tal och sådana att: $a$ $b$

a=a_{n-1}a_{n-2}\dots a_{0},\quad b=b_{n-1}b_{n-2}\dots b_{0},\quad \ forall a_{k},b_{k}\in \{P\}\quad \forall a_{n-1},b_{n-1}\neq 0\quad \exists 0\in \mathbb {N} ;

där: ; ${\displaystyle a_{0\dots n-1}=a_{k}P^{k},\quad b_{0\dots n-1}=b_{k}P^{k))$

n

- antalet siffror i numret ;

n\in \{1,2,\dots ,n\}

k

- serienummer för kategorin (position), ;

k\in \{0,1,\dots ,n-1\}

P

- nummersystemets bas;

\{P\}

en uppsättning numeriska tecken (siffror), ett specifikt siffersystem:

\{P_{2}\}=\{0,1\}

{\displaystyle \{P_{10}\}=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\))

{\displaystyle \{P_{16}\}=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F\))

;

sedan:

c=a+b;\quad c_{n-1}c_{n-2}\dots c_{0}=a_{n-1}a_{n-2}\dots a_{0}+b_ {n-1}b_{n-2}\dots b_{0};

lägger vi till bit för bit får vi:

$c_{0}={\begin{cases}a_{0}+b_{0},\quad c_{1}=0&{\text{if }}a_{0}+b_{0}\leqslant P-1{\text{ }}\\a_{0}+b_{0}-P,\quad c_{1}=1&{\text{if }}a_{0}+b_{0}>P- 1{\text{ }}\end{cases}}$
$c_{1}={\begin{cases}a_{1}+b_{1}+c_{1},\quad c_{2}=0&{\text{if }}a_{1}+b_ {1}+c_{1}\leqslant P-1{\text{ }}\\a_{1}+b_{1}+c_{1}-P,\quad c_{2}=1&{\text{ om }}a_{1}+b_{1}+c_{1}>P-1{\text{ }}\end{cases}}$
$...\quad \quad ...\quad \quad ...$
$c_{n-1}={\begin{cases}a_{n-1}+b_{n-1}+c_{n-1},\quad c_{n}=0&{\text{if }}a_{n-1}+b_{n-1}+c_{n-1}\leqslant P-1{\text{ }}\\a_{n-1}+b_{n-1}+c_ {n-1}-P,\quad c_{n}=1&{\text{if }}a_{n-1}+b_{n-1}+c_{n-1}>P-1{\text { }}\end{cases}}$

Således reduceras additionsoperationen till proceduren med sekventiell enkel addition av ensiffriga tal , med bildandet av en överföringsenhet, om nödvändigt, som utförs antingen med tabellmetoden eller genom inkrementering (räkning). $a_{k}+b_{k}$

Aritmetiska operationer på siffror i alla positionsnummersystem utförs enligt samma regler som i decimalsystemet , eftersom de alla är baserade på reglerna för att utföra operationer på motsvarande polynom [52] . I det här fallet måste du använda additionstabellen som motsvarar den givna basen i talsystemet. $P$

Ett exempel på att lägga till naturliga tal i binära, decimala och hexadecimala talsystem, för enkelhetens skull skrivs talen under varandra enligt siffrorna, bärenheten skrivs överst, de saknade siffrorna är utfyllda med nollor:

{\begin{array}{cccccccccc}&_{1}&_{1}&_{1}\\&0&1&0&1&1&0\\+&1&1&1&1&0&1\\\hline 1&0&1&0&0&1&1\end{array));\quad \quad {\begin {array}{ccccccc}&_{1}&_{1}&_{1}\\&3&4&5&6&7\\+&8&7&5&4&1\\\hline 1&2&2&1&0&8\end{array));\quad \quad {\begin{array}{ccccccc} &_{1}&&_{1}&_{1}&_{1}\\&C&5&6&D&E&4\\+&0&F&2&A&1&F\\\hline &D&4&9&8&0&3\end{array}}.

En annan känd definition är rekursivt:

Låt n + vara det naturliga talet efter efter n , till exempel 0 + =1, 1 + =2. Låt a + 0 = a . Sedan bestäms den totala summan rekursivt: a + ( b + ) = ( a + b ) + . Därför 1 + 1 = 1 + 0 + = (1 + 0) + = 1 + = 2 [53] .

Det finns olika versioner av denna definition i litteraturen. I rekursionssatsen[ okänd term ] på en poset N 2 används exakt den definition som ges ovan. [54] . Å andra sidan föredrar vissa källor att använda den begränsade rekursionssatsen, som bara gäller för mängden naturliga tal. Vissa föreslår att tillfälligt "fixa" a genom att återkomma på b för att definiera funktionen " a +", och infoga dessa unära operationer för alla a för att bilda en fullständig binär operation [55] .

Denna rekursiva definition av addition gavs av Dedekind så tidigt som 1854, och han utökade den under efterföljande decennier [56] . Med hjälp av matematisk induktion bevisade Dedekind egenskaperna hos associativitet och kommutativitet.

Heltal

Uppsättningen av heltal är en förlängning av uppsättningen naturliga tal , som erhålls genom att lägga till negativa tal [57] i formen . Heltalsuppsättningen betecknas Aritmetiska operationer på heltal definieras som en kontinuerlig fortsättning av motsvarande operationer på naturliga tal. Skillnaden mot naturliga tal är att negativa tal på tallinjen är riktade i motsatt riktning, detta förändrar en del additionsproceduren. Det är nödvändigt att ta hänsyn till den ömsesidiga riktningen av siffror, flera fall är möjliga här: $\mathbb {N}$ $-n$ $\mathbb{Z}.$

Om båda termerna är positiva, då: $c=a+b;$
Om en av termerna är negativ, är det nödvändigt att subtrahera termen med ett mindre modulvärde från termen med ett större modulvärde , varefter du sätter tecknet för termen vars modul är större framför det resulterande numret: $c=-a+b=b+(-a)=ba;$
Om båda termerna är negativa, då: [58] . $c=(-a)+(-b)=-(|a|+|b|)$

En annan konstruktion av uppsättningen heltal är baserad på Grothendieck-grupper . Huvudtanken är att varje heltal kan representeras (på mer än ett sätt) som skillnaden mellan två naturliga tal, så vi kan definiera ett heltal som skillnaden mellan två naturliga tal. Då definieras addition enligt följande:

Låt det finnas två heltal a − b och c − d , där a , b , c och d är naturliga tal, då ( a − b ) + ( c − d ) = ( a + c ) − ( b + d ) [ 59] .

Rationella tal

Uppsättningen av rationella tal betecknas (från den engelska kvoten "privat") och kan skrivas i denna form: $\mathbb {Q}$ ${\mathbb {Q}}=\left\{{\frac {m}{n}}\mid m\in {\mathbb {Z}},n\in {\mathbb {N}}\right\}.$

För att lägga till rationella tal i form av vanliga (eller enkla) bråkdelar av formen: , bör de omvandlas (förs) till en gemensam (identisk) nämnare . Ta till exempel produkten av nämnarna, medan täljarna multipliceras med motsvarande nämnare. Lägg sedan till de resulterande täljarna, och produkten av nämnarna blir gemensam. $\pm {\frac {m}{n}}$

Om två rationella tal ges och sådana att: (oreducerbara bråk), då: $a$ $b$ $a={\frac {m_{a}}{n_{a}}},b={\frac {m_{b}}{n_{b}}}\quad \forall m_{a},n_ {a},m_{b},n_{b}\in \mathbb {N} \quad \forall {n_{a}},{n_{b}}\neq 0$

c=a+b={\frac {m_{a}}{n_{a}}}+{\frac {m_{b}}{n_{b}}}={\frac {m_{a }\cdot n_{b}}{n_{a}\cdot n_{b}}}+{\frac {n_{a}\cdot m_{b}}{n_{a}\cdot n_{b}}} ={\frac {m_{a}\cdot n_{b}+m_{b}\cdot n_{a}}{n_{a}\cdot n_{b}}}.

[60]

Eller så kan du hitta den minsta gemensamma multipeln (LCM) av nämnarna. Procedur:

Hitta den minsta gemensamma multipeln av nämnarna: . $M=[n_{a},n_{b}]$
Multiplicera täljaren och nämnaren för det första bråket med . ${\displaystyle {\frac {M}{n_{a))))$
Multiplicera täljaren och nämnaren för det andra bråket med . ${\displaystyle {\frac {M}{n_{b))))$

Därefter är nämnarna för båda bråken desamma (lika ). I ett antal enkla fall förenklar detta beräkningarna, men vid stora siffror blir beräkningarna mycket mer komplicerade. Du kan ta som vilken annan gemensam multipel som helst. $M$ $M$

Exempel på tillägg:

{\frac {2}{3}}+{\frac {1}{5}}={\frac {2\cdot 5}{3\cdot 5}}+{\frac {3\cdot 1 }{3\cdot 5}}={\frac {2\cdot 5+3\cdot 1}{3\cdot 5}}={\frac {10+3}{15}}={\frac {13} {femton}}.

Om nämnarna för båda bråken är samma, då:

{\frac {1}{4}}+{\frac {2}{4}}={\frac {1+2}{4}}={\frac {3}{4}}.

Om nämnarna är multipler av ett tal, konverterar vi bara en bråkdel:

{\frac {3}{8}}+{\frac {1}{4}}={\frac {3}{8}}+{\frac {1\cdot 2}{4\cdot 2 }}={\frac {3+1\cdot 2}{8}}={\frac {5}{8}}.

Den aritmetiska operationen "addition" över rationella tal hänvisar till slutna operationer. Kommutativiteten och associativiteten av additionen av rationella tal är en konsekvens av heltalsaritmetikens lagar [61] . För en mer rigorös och generell definition, se artikelfältet bråkdelar .

Fysiska storheter läggs till på liknande sätt: de uttrycks i termer av vanliga måttenheter [62] . Till exempel, för att lägga till 50 milliliter och 1,5 liter, måste du omvandla milliliter till liter och föra fraktionerna till en gemensam nämnare: liter. ${\frac {50}{1000}}+{\frac {1500}{1000}}={\frac {1550}{1000}}=1{,}55$

Reella tal

Aritmetiska operationer på reella tal , representerade som oändliga decimalbråk, definieras som en kontinuerlig fortsättning [63] av motsvarande operationer på rationella tal.

Givet två reella tal som kan representeras som oändliga decimaler :

{\displaystyle \alpha =\pm a_{0},a_{1}a_{2}\ldots a_{n}\ldots =\{a_{n}\))

{\displaystyle \beta =\pm b_{0},b_{1}b_{2}\ldots b_{n}\ldots =\{b_{n}\))

definieras av de grundläggande sekvenserna av rationella tal (som uppfyller Cauchy-villkoret ), betecknade som: och , då deras summa är talet som definieras av summan av sekvenserna och : $\alpha =[a_{n}]$ $\beta =[b_{n}]$ $\gamma =[c_{n}]$ $\{en}\}$ $\{b_{n}\}$

\gamma =\alpha +\beta {\overset {\text{def}}{=}}[a_{n}]+[b_{n}]=[a_{n}+b_{n}]

;

reellt tal , uppfyller följande villkor: $\gamma =\alpha +\beta$

\forall a',a'',b',b''\in \mathbb {Q} ;(a'\leqslant \alpha \leqslant a'')\land (b'\leqslant \beta \leqslant b'')\Rightarrow (a'+b'\leqslant \alpha +\beta \leqslant a''+b'')\Rightarrow (a'+b'\leqslant \gamma \leqslant a''+b'' )

Alltså summan av två reella tal och är ett sådant reellt tal som finns mellan alla summor av formen å ena sidan och alla summor av formen å andra sidan [64] . $\alfa$ $\beta$ $\gamma$ $a'+b'$ $a''+b''$

I praktiken, för att lägga till två siffror och , är det nödvändigt att ersätta dem med erforderlig noggrannhet med ungefärliga rationella tal och . För det ungefärliga värdet av summan av siffror, ta summan av de angivna rationella talen . Samtidigt spelar det ingen roll från vilken sida (med brist eller överskott) de tagna rationella talen approximerar och . Addition utförs enligt den bitvisa additionsalgoritmen. $\alfa$ $\beta$ $a$ $b$ $\alfa +\beta$ $a+b$ $\alfa$ $\beta$

När man lägger till ungefärliga tal, summeras deras absoluta fel , det absoluta felet för ett tal tas lika med halva sista siffran i detta tal. Det relativa felet för summan är mellan det största och minsta värdet av termernas relativa fel; i praktiken tas det största värdet . Det erhållna resultatet avrundas uppåt till den första korrekta signifikanta siffran, den signifikanta siffran i det ungefärliga talet är korrekt om talets absoluta fel inte överstiger halva enheten av siffran som motsvarar denna siffra. $\Delta (a+b)=\Delta a+\Delta b$ $\delta (a+b)=max(\delta a,\delta b)$

Tilläggsexempel , upp till 3 decimaler: $\gamma =\pi +e$

Vi avrundar dessa siffror till 4:e decimal (för att förbättra beräkningarnas noggrannhet);
Vi får: ; $\pi \approx 3.1416,\quad e\approx 2.7183$
Lägg till bit för bit: ; $\gamma =\pi +e\approx 3.1416+2.7183\approx 5.8599$
Avrundning uppåt till 3:e decimal: . $\gamma \approx 5,860$

Schema

På uppsättningen av reella tal har grafen för additionsfunktionen formen av ett plan som går genom koordinaternas ursprung och lutar mot axlarna med 45° vinkelgrader . Eftersom , då för dessa uppsättningar kommer värdena för additionsfunktionen att tillhöra detta plan. [65] $\mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R}$

Komplexa tal

Komplexa tal adderas till varandra genom att addera de reella och imaginära delarna [66] . Det betyder att:

c+fi=(a+di)+(b+ei)=(a+b)+(d+e)i.\

Där:, är en imaginär enhet . Genom att använda representationen av komplexa tal som punkter på det komplexa planet , kan vi ge additionen av komplexa tal följande geometriska tolkning : summan av komplexa tal och , representerade av punkter på det komplexa planet, är punkt Tillverkad genom att konstruera ett parallellogram vars tre hörn är belägna i punkterna O , A och B . Eller så kan vi säga att C är en punkt så att trianglarna OAB och CBA är kongruenta . $c,a,b,d,e,f\in \mathbb {R}$ $i$ $a+di$ $b+ei$

På samma sätt för hyperkomplexa tal (komplexa tal av n:te dimensionen): [67] $A=a_{1}1+a_{2}i_{2}+\dots +a_{n}i_{n},~~~B=b_{1}1+b_{2}i_{2 }+\dots +b_{n}i_{n};$ $C=A+B=(a_{1}1+a_{2}i_{2}+\dots +a_{n}i_{n})+(b_{1}1+b_{2}i_ {2}+\dots +b_{n}i_{n})=$ $=(a_{1}+b_{1})1+(a_{2}+b_{2})i_{2}+\dots +(a_{n}+b_{n})i_{n }=c_{1}1+c_{2}i_{2}+\dots +c_{n}i_{n}.$

Tillägg av godtyckliga nummer

När man lägger till tal som hör till olika mängder är det nödvändigt (om möjligt) att representera en mängd med mindre effekt som en delmängd av en mängd med mer effekt, eller hitta den "minsta vanliga mängden". Om du till exempel behöver lägga till ett naturligt tal med rationella , då, med det faktum att naturliga tal är en delmängd av rationella, representerar vi talet som rationellt och lägger till två rationella tal . På liknande sätt, med det faktum att: , kan du lägga till nummer från olika uppsättningar till varandra. För att återgå till äppelexemplet, låt oss använda det faktum att uppsättningen av äpplen och uppsättningen av päron är delmängder av uppsättningen frukter: , och därför kan vi lägga till 3 äpplen och 2 päron, som representerar dem som delmängder av uppsättningen frukter: frukt_äpple frukt_päron frukt. $3$ $4.56$ $3$ $3.00$ $3.00+4.56=7.56$ $\mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C} \subset \mathbb {H}$ $\{{\mbox{apple}}\}\subset \{{\text{äpplen}}\}\subset \{{\text{frukt}}\}~~~{\text{end}} ~~~\{{\text{päron}}\}\subset \{{\text{päron}}\}\subset \{{\text{frukt}}\}$ $3$ $+2$ ${\displaystyle=5}$

Generaliseringar

Det finns många binära operationer som kan ses som generaliseringar av tillägg av reella tal. Sådana generaliserade operationer är huvudämnet för studier av allmän algebra , de förekommer också inom mängdlära och kategoriteori .

Tillägg i abstrakt algebra

Vektortillägg

Ett vektorrum är en algebraisk struktur där vilka två vektorer som helst kan adderas och vilken vektor som helst kan multipliceras med ett tal. Ett enkelt exempel på ett vektorrum är mängden av alla ordnade par av reella tal; ett ordnat par är en vektor som börjar vid en punkt i det euklidiska planet och slutar vid en punkt (och alla i samma riktning ). Summan av två vektorer erhålls genom att addera deras respektive koordinater: . Denna additionsoperation är central för klassisk mekanik , där vektorer behandlas som kraftanaloger . $(a,b)$ $(0,0)$ $(a,b)$ $(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)$

Matristillägg

Matrisaddition definieras för två matriser av samma storlek. Summan av två m × n matriser A och B (uttalas "m gånger n"), skrivna som A + B , är en m × n matris som erhålls genom att lägga till motsvarande element [68] [69] :

{\begin{aligned}\mathbf {A} +\mathbf {B} &={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_ {22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\\\end{bmatrix}}+{ \begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}&\cdots &b_{1n}\\b_{21}&b_{22}&\cdots &b_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\b_{m1}&b_{m2}&\cdots &b_{mn}\\\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}a_{11}+b_{11}&a_{12}+b_ {12}&\cdots &a_{1n}+b_{1n}\\a_{21}+b_{21}&a_{22}+b_{22}&\cdots &a_{2n}+b_{2n}\\\ vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}+b_{m1}&a_{m2}+b_{m2}&\cdots &a_{mn}+b_{mn}\\\end{bmatrix}} \\\end{aligned}}

Till exempel:

{\begin{bmatrix}1&3\\1&0\\1&2\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&0\\7&5\\2&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1+0&3+ 0 \\1+7&0+5\\1+2&2+1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3\\8&5\\3&3\end{bmatrix}}

Resterande aritmetik

Uppsättningen av rester från division med 12 består av tolv element; denna uppsättning ärver operationen av heltalsaddition. Uppsättningen av rester modulo 2 har bara två element; additionsoperationen den ärver är känd inom propositionell logik som " exklusive" eller "operationen. Inom geometri definieras summan av två vinkelmått ofta som summan av reella tal modulo 2π. En sådan definition motsvarar operationen av addition på en cirkel , vilket i sin tur generaliserar till operationen av addition på en flerdimensionell torus .

Allmänt tillägg

I den allmänna teorin om abstrakt algebra kan operationen av "addition" kallas vilken associativ och kommutativ operation som helst. Stora algebraiska system med sådana additionsoperationer inkluderar kommutativa monoider och abelska grupper .

Tillägg i mängdlära och kategoriteori

En generalisering av addition av naturliga tal är addition av ordningstal och kardinaltal i mängdlära. Dessa operationer är två olika generaliseringar av tillägget av naturliga tal till det transfinita fallet . Till skillnad från de flesta typer av additionsoperationer är ordinal addition inte kommutativ. Addition av kardinalnummer är emellertid en kommutativ operation som är nära besläktad med den disjunktiva fackliga operationen .

I kategoriteorin behandlas disjunkt union som ett specialfall av samproduktoperationen , och allmänna samprodukter är kanske den mest abstrakta av alla generaliseringar av additionsoperationen. Vissa samprodukter, som den direkta summan och kilsumman , är namngivna för att indikera deras relation till additionsoperationen.

Tilläggsoperationer

Addition, liksom subtraktion, multiplikation och division, anses vara en av de grundläggande operationerna och används i elementär aritmetik.

Aritmetik

Subtraktion kan ses som ett specialfall av additionsoperationen, nämligen som addition av det motsatta talet . Subtraktion i sig är en slags invers operation till addition, det vill säga att addera x och subtrahera x är ömsesidigt inversa funktioner .

På en uppsättning tal där additionsoperationen är definierad är det inte alltid möjligt att definiera subtraktionsoperationen; ett enkelt exempel är mängden naturliga tal. Å andra sidan bestämmer operationen av subtraktion unikt operationen av addition och den additiva enheten; av denna anledning kan en additiv grupp definieras som en uppsättning som är stängd under subtraktionsoperationen [70] .

Multiplikation kan förstås som addition upprepad flera gånger . Om en term x förekommer i en summa n gånger, är denna summa lika med produkten av n och x . Om n inte är ett naturligt tal kan produkten fortfarande vara vettig; till exempel, multiplicera med -1 ger det motsatta talet .

Addition och multiplikation av reella eller komplexa tal kan bytas ut med hjälp av exponentialfunktionen :

e a + b = e a e b [71] .

Denna identitet tillåter multiplikation med hjälp av tabeller med logaritmer och manuell addition; det tillåter också multiplikation med hjälp av diaregeln . Denna formel är också en bra första ordningens approximation i det breda sammanhanget Lie-grupper , där den relaterar multiplikationen av infinitesimala element i en Lie-grupp till additionen av vektorer i motsvarande Lie-algebra [72] .

Multiplikation har ännu fler generaliseringar än addition [73] . I allmänhet är multiplikationsoperationer alltid distributiva med avseende på addition. Detta krav är inskrivet i definitionen av en ring . I vissa fall, såsom heltal, är multiplikationsfördelningen med avseende på addition och förekomsten av en multiplikativ identitet tillräcklig för att unikt definiera multiplikationsoperationen. Fördelningsegenskapen kännetecknar också addition; expanderar parenteserna i produkten (1 + 1)( a + b ) på två sätt, drar vi slutsatsen att addition måste vara kommutativ. Av denna anledning är addition i en ring alltid kommutativ [74] .

Division är en aritmetisk operation som är avlägset relaterad till addition. Eftersom a / b = a ( b −1 ) är division rättdistributiv med avseende på addition: ( a + b ) / c = a / c + b / c [75] . Emellertid lämnas division inte distribuerande med avseende på addition; 1/ (2 + 2) är inte lika med 1/2 + 1/2.

Beställer

Den maximala operationen "max ( a , b )" är en binär operation som liknar addition. Faktum är att om två icke-negativa tal a och b har olika ordning , så är deras summa ungefär lika med deras maximum. Denna approximation är extremt användbar i tillämpningar av matematik, såsom trunkering av Taylor-serien . Emellertid leder denna operation till ständiga svårigheter vid numerisk analys eftersom operationen att maximera inte är reversibel. Om b är mycket större än a , då kan den vanliga beräkningen ( a + b ) − b leda till ackumuleringen av ett oacceptabelt avrundningsfel , vilket möjligen får ett nollresultat. Se även underflöde .

Denna approximation blir exakt när man passerar till den oändliga gränsen[ specificera ] ; om något av siffrorna a och b är ett kardinalnummer , då är deras kardinalsumma exakt lika med den större av de två [77] . Följaktligen är subtraktionsoperationen inte definierad för uppsättningar av oändlig kardinalitet [78] .

Att hitta maximum är en kommutativ och associativ operation, precis som addition. Dessutom, eftersom addition bevarar ordningen för de reella talen, är addition distributiv med avseende på maximeringsfunktionen på samma sätt som multiplikation är med avseende på addition:

a + max ( b , c ) = max ( a + b , a + c ).

Av dessa skäl, i tropisk geometri , ersätts multiplikation med addition och addition ersätts genom att hitta maximum. I detta sammanhang kallas addition för "tropisk multiplikation", att hitta maximum kallas "tropisk addition", och den tropiska "additivenheten" kallas negativ oändlighet [79] . Vissa författare föredrar att ersätta addition med minimering; i detta fall är additivenheten positiv oändlighet [80] .

Om man kombinerar dessa observationer tillsammans, approximerar tropisk addition vanlig addition med hjälp av logaritmen:

log ( a + b ) ≈ max ( log a , log b ),

vilket blir mer exakt när basen för logaritmen ökar [81] . Approximationen kan bli exakt om vi pekar ut konstanten h , namngiven i analogi med Plancks konstant i kvantmekaniken [82] , och tar den "klassiska gränsen" , där h tenderar till noll:

\max(a,b)=\lim _{h\to 0}h\log(e^{a/h}+e^{b/h}).

I denna mening är operationen att hitta maximum en avkvantisering av addition [83] .

Andra tilläggsmetoder

Att öka, eller använda följningsfunktionen, är att lägga till 1 till ett tal.

Summering är tillägget av ett godtyckligt stort antal tal, vanligtvis fler än två. Särskilda fall av detta koncept är summeringen av ett tal (resultatet av sådan summering är lika med talet självt), såväl som den tomma summan lika med noll [84] . Oändlig summering är en icke-trivial procedur som kallas att hitta summan av en serie [85] .

Att summera en identitetsfunktion över en finit mängd ger samma resultat som att räkna antalet element i denna mängd.

Integration är ett slags "summation" över ett kontinuum , eller mer exakt och generellt, över ett jämnt grenrör . Integration över en uppsättning av dimension noll reduceras till summering.

Linjära kombinationer kombinerar multiplikation och summering; dessa är summor där varje term har en faktor, vanligtvis ett reellt eller komplext tal . Linjära kombinationer är särskilt användbara i situationer där enkel addition skulle bryta mot någon normaliseringsregel, som blandningsstrategier i spelteori eller superpositionering av tillstånd i kvantmekanik .

Konvolution används för att lägga till två oberoende slumpvariabler givna fördelningsfunktioner . Standarddefinitionen av faltning använder integration, subtraktion och multiplikation. I allmänhet är det lämpligt att tänka på faltning som "domäntillägg" och vektortillägg som "intervalltillägg".

Se även

Anteckningar

↑ Enderton, 1977 , sid. 138: "...välj två uppsättningar K och L med effekt K = 2 och effekt L = 3. Fingeruppsättningar är bekväma; i läroböcker använder de hellre set med äpplen.
↑ Rudnitskaya, 2004 , sid. 110.
↑ Order of operations, 2012 .
↑ Nummersystem, 2006 , sid. 3.
↑ Devine et al., 1991 , sid. 263.
↑ Mazur, 2014 , sid. 161.
↑ Ordbok för det ryska språket, 1999 , sid. 130.
↑ Kajori, 1928 .
↑ Oxford English Dictionary, 2005 .
↑ Viro, 2012 , sid. 5.
↑ Kilpatrick, 2001 : "Tummar, till exempel, kan delas in i delar som är svåra att skilja från hela tum, förutom att de verkar kortare; men uppdelningen i delar kommer att vara smärtsam för katter, och denna åtgärd kommer allvarligt att förändra deras natur.
↑ Mosley, 2001 , sid. åtta.
↑ Li Ya., 2013 , sid. 204.
↑ Så dessa egenskaper kallas i läroböcker för elementära betyg
↑ Kaplan, 1999 , s. 69-71.
↑ Egenskaper för addition, 2016, Egenskaper för addition, multiplikation, subtraktion och division av heltal , Summa med motsatt tal, s. ett.
↑ Zelvensky, [f. g.] , sid. arton.
↑ Black box är en term som används för att referera till ett system vars interna struktur och funktionsmekanism är mycket komplex, okänd eller oviktig inom ramen för en given uppgift. "Black box-metoden" är en metod för att studera sådana system, när man istället för egenskaper och samband hos systemets beståndsdelar studerar systemets reaktion som helhet på förändrade förhållanden.
↑ Ashby, 1959, Introduktion till cybernetik , s. 127-169.
↑ Zubareva, 2013 , sid. 195.
↑ Adderingsalgoritmen , sid. ett.
↑ Wynn, 1998 , sid. 5.
↑ Wynn, 1998 , sid. femton.
↑ Wynn, 1998 , sid. 17.
↑ Wynn, 1998 , sid. 19.
↑ Elefanter är smarta nog att rita former, 2008 .
↑ Smith F., 2002 , sid. 130.
↑ Carpenter et al., 2014 .
↑ 1 2 Henry Valerie D., 2008 , s. 153-183.
↑ Att lära sig matematik i grundskolan i heltal, 2014 , s. 1-8.
↑ Learning Sequence, 2002 , s. 1-18.
↑ 1 2 3 4 5 6 7 Fosnot och Dolk, 2001 , sid. 99.
↑ Wingard-Nelson R., 2014 , sid. 21.
↑ Dale, 2008 , sid. 155.
↑ Botman, 1837 , sid. 31.
↑ Treit och Rogers, 1960 , sid. 41-49.
↑ Georges, 2001 , sid. elva.
↑ Margun, 1994 , sid. 48.
↑ Tanon, 1963 , sid. 62.
↑ Se inlägget på Pascals summeringsmaskin för konkurrerande konstruktioner .
↑ Flynn och Overman, 2001 , s. 2-8.
↑ Flynn och Overman, 2001 , s. 1-9.
↑ Sang-Su Yo, 2010 , sid. 194.
↑ Karpinski, 1925 , s. 102-103.
↑ Horovets och Hill, 2009 , sid. 679.
↑ Blotch, 2006 , sid. ett.
↑ Enderton, 1977 , sid. 4-5.
↑ Sequence of learning, 2002 , sid. fyra.
↑ Baez, 2000 , sid. 37: "Självklart är det lättare att föreställa sig ett halvt äpple än ett negativt äpple!"
↑ numrering , Teoretiska grunder för införandet av icke-negativa heltal, sid. 7.
↑ Istomina, 2009 , sid. 71.
↑ Nummersystem, 2006 , sid. 3.
↑ Enderton, 1977 , sid. 79.
↑ Bergman, 2015 , sid. 100: Se i Bergmans bok en version som är tillämplig på alla poser med en nedåtgående kedja av tillstånd ."
↑ Enderton, 1977 , sid. 79: "Men vi behöver en binär operation +, inte alla dessa små enplatsfunktioner.".
↑ Ferrius, 2013 , sid. 223.
↑ Vygodsky, 2003 .
↑ Barsukov, 1966 , sid. 25.
↑ Enderton, 1977 , sid. 92.
↑ Gusev, 1988 , sid. tjugo.
↑ Enderton, 1977 , sid. 104.
↑ Fierro, 2012 , sid. 87.
↑ Eftersom den linjära ordningsrelationen redan har införts på mängden reella tal, kan vi definiera topologin för den reella linjen: som öppna mängder tar vi alla möjliga unionsintervaller av formen $\{x:\alpha <x<\beta \}$
↑ Ilyin, 1985 , sid. 46.
↑ Grafen gjordes av programmet "3D Grapher Version 1.2", www.romanlab.com. Inmatningsargument: x=a, y=b, z=a+b
↑ Conway, 1986 , sid. 107.
↑ Aleksandrov, 1956 , sid. 304.
↑ Lipshutz, 2001 , sid. 201.
↑ Riley, 2006 , sid. 253.
↑ Dummit och Foote, 1999 , sid. 48.
↑ Rudin, 1976 , sid. 178.
↑ Lee J., 2013 , sid. 526.
↑ Linderholm, 1972 , sid. 49.
↑ Dummit och Foote, 1999 , sid. 224: "För att detta ska hålla är det nödvändigt att addition är en gruppoperation och att det finns ett neutralt element med avseende på multiplikation."
↑ Loday, 2002 , sid. 15: ”För ett exempel på vänster- och högerfördelning, se Lodays artikel, särskilt på sid. femton".
↑ Viro, 2012 , sid. 2.
↑ Enderton, 1977 : "Enderton kallar detta uttalande för 'absorberande lag för kardinaltalaritmetik'"; det beror på kardinaltalens jämförbarhet och därmed på valets axiom .”.
↑ Enderton, 1977 , sid. 164.
↑ Mikhalkin, 2009 , sid. ett.
↑ Akian et al., 2006 , sid. fyra.
↑ Mikhalkin, 2009 , sid. 2.
↑ Litvinov, 2005 , sid. 3.
↑ Viro, 2012 , sid. fyra.
↑ Martin, 2011 , sid. 49.
↑ Stewart, 2010 , sid. åtta.

Litteratur

på ryska

Barsukov, A. N. Algebra: Lärobok för årskurserna VI-VIII / Ed. S. I. Novosyolova. - M . : Utbildning, 1966. - 296 sid.
Vygodsky, M. Ya. Handbok i elementär matematik / M. Ya. Vygodsky. — M .: Astrel: AST, 2003. — 509 sid. - ISBN 5-17-009554-6 (LLC Publishing house "AST"). - ISBN 5-271-02551-9 (OOO Publishing "Astrel").
Gusev, V. A. Matematik: Ref. material : Bok. för studenter / V. A. Gusev, A. G. Mordkovich. - M . : Utbildning, 1988. - 476 sid. — ISBN 5-09-001292-X .
Zelvensky, I. G. Grupper, ringar, fält: Metodiska. instruktioner om disciplinen "Geometri och algebra" / I. G. Zelvensky. - St Petersburg. : SPbGETU, [f. G.]. — 30 s.
Zubareva, I. I. Matematik: Årskurs 5: lärobok. för allmänbildande studerande. institutioner / I. I. Zubareva, A. G. Mordkovich. - 14:e upplagan, Rev. och ytterligare — M .: Mnemozina, 2013. — 270 sid. - ISBN 978-5-346-02573-3 .
Matematik, dess innehåll, metoder och betydelse: i 3 volymer / [Ed. Kollegiet: Motsvarande ledamot USSR:s vetenskapsakademi A. D. Alexandrov och andra]; Acad. vetenskaper i Sovjetunionen. Matta. in-t im. V. A. Steklova. - M . : Förlaget Acad. Sciences of the USSR, 1956. - T. 3. - 336 s.
Ilyin, V. A. Matematisk analys: Inledande kurs / V. A. Ilyin, V. A. Sadovnichiy, Bl. H. Sendov. - 2:a uppl., övers. - M . : Moscows förlag. un-ta, 1985. - 662 sid.
Istomina, N. B. Metoder för undervisning i matematik i grundskolan: Utvecklingspedagogik / N. B. Istomina. - 2:a uppl. - Smolensk: Association XXI århundradet, 2009. - 288 sid. — ISBN 978-5-89308-699-7 .
Mathematical Encyclopedic Dictionary / Kap. ed. Yu. V. Prokhorov. - M . : Soviet Encyclopedia, 1988. - 847 sid. — ISBN 5-85270-278-1 .
Rudnitskaya, V. N. Matematik: Årskurs 1: lärobok. för allmänbildande studerande. institutioner. Andra halvåret / V. N. Rudnitskaya. - 2:a uppl., reviderad. - M. : Ventana-Graf, 2004. - 111 sid. - ISBN 5-88717-322-X (i översättning).
Ordbok för det ryska språket : i 4 volymer / RAS, Institute of Linguistics. forskning; Ed. A.P. Evgenieva. - 4:e uppl., raderad. - M . : Rus. lang. : Polygraphresources, 1999. - T. 4. - 797 sid. - ISBN 5-200-02672-5 ("ryska språket"). - ISBN 5-87548-048-3 (Polygrafresurser). - ISBN 5-200-02676-8 ("ryska språket") (vol. 4).

på engelska

Akian, M. Min-plus-metoder i egenvärdesstörningsteori och generaliserad Lidskii-Vishik-Ljusternik-sats / M. Akian, R. Bapat, S. Gaubert. - 2006. - 16 februari. - arXiv : math.SP/0402090v3 .
Austein, R. DATE-86, eller The Ghost of Tinkles Past // The Risks Digest: journal. - 1987. - Vol. 4, nr. 45.
Baez, J. Mathematics Unlimited - 2001 and Beyond : From Finite Sets to Feynman Diagrams / J. Baez, J. Dolan. - Springer Berlin Heidelberg, 2000. - 1236 sid. — ISBN 3-540-66913-2 .
Barody, Arthur; Tiilikainen, Sirpa. Utveckling av aritmetiska begrepp och färdigheter = Utvecklingen av aritmetiska begrepp och färdigheter. - Routledge, 2013. - 520 sid. — ISBN 0-8058-3155-X .
Begle, Edward. Matematik i grundskolan = Grundskolans matematik. - McGraw-Hill, 1975. - 453 sid. — ISBN 0-07-004325-6 .
Bergman, George. En inbjudan till allmän algebra och universella konstruktioner. - 2:a uppl. - Springer, 2015. - 572 sid. — ISBN 0-9655211-4-1 .
Joshua Bloch. Extra, Extra - Läs allt om det: Nästan alla binära sökningar och sammanslagningar är brutna // Official Google Research Blog : Journal . – 2006.
Bogomolny, Alexander. Vad är addition? (engelska) = Vad är tillägg?.
Bates Bothman. Allmän skolräkning = Den vanliga skolans aritmetik. - Prentice-Hall, 1837. - 270 sid.
Bunt, Lucas N.H.; Jones, Philip S.; Bedient, Jack D. The Historical roots of Elementary Mathematics. - Prentice-Hall, 2012. - 336 sid. — ISBN 0-13-389015-5 .
Burrill, Claude. Grunder av reella tal = Grunder av reella siffror. - McGraw-Hill, 1967. - 163 sid.
Beckmann, S. Den tjugotredje ICMI-studien: primär matematikstudie på heltal: journal . — International Journal of STEM Education, 2014.
Van de Walle, John. Matematik i grundskolan och mellanstadiet: Utvecklingsundervisning. - 5:e uppl. - Pearson Education, 2015. - 576 sid. — ISBN 0-205-38689-X .
Weaver, J. Fred. Addition och subtraktion: ett kognitivt perspektiv. Tolkningar av antalet operationer och symboliska representationer av addition och subtraktion = Addition och Subtraktion: A Cognitive Perspective. Tolkningar av taloperationer och symboliska representationer av addition och subtraktion. - Taylor & Francis, 2012. - P. 8. - ISBN 0-89859-171-6 .
Williams, Michael. History of Computing = A History of Computing Technology. - Prentice-Hall, 1985. - ISBN 0-13-389917-9 .
Rebecca Wingard-Nelson. Decimaler och bråktal: Det är enkelt = Decimaler och bråktal: Det är enkelt. - Enslow Publishers, 2014. - 64 sid. — ISBN 0766042529 .
Wynne, Karen. Utveckling av matematiska färdigheter = Utvecklingen av matematiska färdigheter. - Taylor & Francis, 1998. - 338 sid. — ISBN 0-86377-816-X .
Viro, Oleg; Cascuberta, Carles; Miró-Roig, Rosa Maria; Verdera, Joan; Xambó-Descamps, Sebastia, red. European Congress of Mathematics: Barcelona, 10–14 juli 2000, Volym I = European Congress of Mathematics: Barcelona, 10–14 juli 2000, Volym I. Dequantization of Real Algebraic Geometry on Logarithmic Paper. - Birkhäuser, 2012. - T. 1. - 582 sid. — ISBN 3-7643-6417-3 .
Henry, Valerie J.; Brown, Richard S. Grundfakta för första klass: En undersökning av undervisning och inlärning av en accelererad, högt efterfrågad memoreringsstandard. — Heinemann, 2008.
Dummit, D.; Foote, R. Abstrakt algebra. - Wiley, 1999. - 912 sid.
Davison, David M.; Landau, Marsha S.; McCracken, Leah; Thompson, Linda. Mathematics: Explorations & Applications = Mathematics: Explorations & Applications. — Prentice Hall. — ISBN 0-13-435817-1 .
Dale R. Patrick, Stephen W. Fardo, Vigyan Chandra. Fundamentals of Electronic Digital Systems = Electronic Digital System Fundamentals. - The Fairmont Press, 2008. - 340 sid.
Department of the Army (1961) Army Technical Manual TM 11-684. Principer och tillämpningar av matematik för kommunikationselektronik. - Högkvarter, Arméns avdelning, 1992. - S. avsnitt 5.1. — 268 sid.
Devine, D.; Olson, J.; Olson, M. Elementär matematik för lärare. – Wiley, 1991.
Jackson, Albert. Analog Computing = Analog Computing. – McGraw-Hill, 1960.
Johnson, Paul. Från Sticks and Stones: Personal Adventures in Mathematics. - Science Research Associates, 1975. - 552 sid. — ISBN 0-574-19115-1 .
Ifrah, Georges. Datorns universella historia: från kulramen till kvantdatorn. - John Wiley, 2001. - 410 sid.
Joshi, Kapil D. Grunderna för diskret matematik. - New Age International, 1989. - 748 sid. - ISBN 978-0-470-21152-6 .
Dunham, William. Matematiskt universum = Det matematiska universum. - Wiley & Sons, 1994. - 314 sid. - ISBN 0-471-53656-3 .
Kaplan, Robert. What is Nothing: The Natural History of Zero = The Nothing That Is: A Natural History of Zero (engelska) . - Oxford University Press, 1999. - 240 sid. — ISBN 0-19-512842-7 .
Florian Cajori. History of Mathematical Notations = A History of Mathematical Notations. - The Open Court Company, 1928. - 818 sid.
Snickare, Thomas; Fennema, Elizabeth; Franke, Megan Loef; Levi, Linda; Empson, Susan. Children's Mathematics = Children's Mathematics: Cognitively Guided Instruction. - Heinemann, 2014. - 218 sid. — ISBN 0325052875 .
Karpinski, Louis. Aritmetikens historia = Aritmetikens historia. - Russell & Russell, 1925. - 200 sid.
Kilpatrick D. Adding : Helping Children Learn Mathematics = Adding It Up: Helping Children Learn Mathematics. - National Academy Press , 2001. - 454 sid. — ISBN 0-309-06995-5 .
Conway, John B. Functions of One Complex Variable I. - Springer Science, 1986. - 322 sid. — ISBN 0-387-90328-3 .
Lee, John. Introduktion till Smooth Manifolds. - Springer, 2013. - 631 sid. — ISBN 0-387-95448-1 .
Li, Y., & Lappan, G. Matematik läroplan i skolundervisning. - Springer, 2013. - 663 sid. — ISBN 9400775601 .
Linderholm, Carl. Mathematics Made Difficult = Mathematics Made Difficult. - World Pub, 1972. - 207 sid. — ISBN 0-7234-0415-1 .
Lipschutz, S., & Lipson, M. Schaum's Outline of Theory and Problems of Linear Algebra. - Erlangga, 2001. - 424 sid. — ISBN 9797815714 .
Litvinov, Grigory; Maslov, Victor; Sobolevskii, Andreii. Idempotent matematik och intervallanalys = Idempotent matematik och intervallanalys. - American Mathematical Soc, 2005. - 370 sid. — ISBN 0821835386 .
Jean-Louis Loday. Arithmeter (engelska) = Arithmetree // Journal of Algebra: journal. - 2002. - 22 december ( nr 258 ). - doi : 10.1016/S0021-8693(02)00510-0 . - arXiv : math/0112034 .
Mazur, Joseph. Upplysande symboler: en kort historia om matematisk notation och dess dolda krafter. - Princeton University Press, 2014. - 321 sid. — ISBN 1400850118 .
Williams, Michael. History of Computing = A History of Computing Technology. - 2. - IEEE Computer Society Press, 1997. - 426 sid. — ISBN 0-13-389917-9 .
Marguin, Jean. Datormaskiners historia = Histoire des Instruments et Machines à Calculer, Trois Siècles de Mécanique Pensante 1642-1942. - Hermann., 1994. - 206 sid. - ISBN 978-2-7056-6166-3 .
Mikhalkin, Grigory; Sanz-Sole, Marta, red. Tropical Geometry and its Applications = Tropical Geometry and its Applications. - 2:a uppl. - Madryn, Spanien: Springer Science & Business Media, 2009. - 104 sid. - ISBN 978-3-03719-022-7 .
Martin, John. Introduktion till språk och teorin om beräkning = Introduktion till språk och teorin om beräkning. - 3. - McGraw-Hill, 2011. - 436 sid. — ISBN 0-07-232200-4 .
Mosley, F. Använda nummerlinjer med 5-8 åringar. - Nelson Thornes, 2001. - 8 sid. — ISBN 1874099952 .
Oxford English Dictionary = Oxford English Dictionary (engelska) . — Oxford University Press, 2005.
Order of Operations (engelska) = Order of Operations Lessons // Algebrahelp : journal. - 2012. Arkiverad den 2 november 2012.
James Randerson. Elefanter är smarta nog att rita figurer = Elefanter har ett huvud för figurer: dagbok . - Theguardian, 2008. - 21 augusti.
Riley, KF; Hobson, MP; Bence, SJ Matematiska metoder för fysik och teknik: En omfattande guide. - Cambridge University Press, 2006. - 437 sid. — ISBN 978-0-521-86153-3 .
Rudin, Walter. Fundamentals of Mathematical Analysis = Principer för matematisk analys. - 3. - McGraw-Hill, 1976. - 342 sid. — ISBN 0-07-054235-X .
Yeo, Sang-Soo, et al., red. Algoritmer och arkitekturer för parallell bearbetning. - Springer, 2010. - 574 sid. — ISBN 3642131182 .
Smith, Karl. The Nature of Modern Mathematics = The Nature of Modern Mathematics. - 3:e uppl. — Brooks/Cole Pub. Co., 1980. - 620 sid. — ISBN 0-8185-0352-1 .
Smith, Frank. Glasväggen: Varför matematik kan verka svårt. - Teachers College Press, 2002. - 163 sid. — ISBN 0-8077-4242-2 .
Sparks, F.; Rees C. En undersökning av grundläggande matematik . - 4. - McGraw-Hill, 1979. - 543 sid. — ISBN 0-07-059902-5 .
Stewart, James. Calculus: Early Transcendentals = Calculus: Early Transcendentals. - 4. - Brooks / Cole, 2010. - 1344 sid. - ISBN 0-534-36298-2 .
Taton, Rene. Beräkningsmekanik. Vad vet jag? = Le Calcul Mecanique. Que Sais-Je? nr 367 - Presses universitaires de France, 1963.
Truitt, T.; Rogers, A. Grunderna i analoga datorer. - John F. Rider, 1960. - 378 sid.
Ferreiros, José. Tankens labyrinter: En historia om mängdteori och dess roll i modern matematik. - Birkhäuser, 2013. - 440 sid. - ISBN 0-8176-5749-5 .
R. Fierro. Matematik för grundskollärare = Matematik för grundskolelärare. - Cengage Learning, 2012. - 976 sid. — ISBN 0538493631 .
Flynn, M.; Oberman, S. Avancerad datoraritmetisk design. - Wiley, 2001. - 325 sid. - ISBN 0-471-41209-0 .
Fosnot, Catherine T.; Dolk, Maarten. Unga matematiker på jobbet: Konstruera talkänsla, addition och subtraktion. - Heinemann, 2001. - 193 sid. — ISBN 0-325-00353-X .
Hempel, CG Carl G. Hempels filosofi : studier i vetenskap, förklaring och rationalitet . - Oxford University Press, 2000. - 464 sid. — ISBN 0195343875 .
Horowitz, P.; Hill, W. The Art of Electronics = The Art of Electronics. - 2. - Binom, 2009. - 704 sid. - ISBN 0-521-37095-7 .
Schwartzman, Steven. Mathematical Words: An Etymological Dictionary of Mathematical Terms Used in English = The Words of Mathematics: An Etymological Dictionary of Mathematical Terms Used in English. - MAA, 1994. - 261 sid. - ISBN 0-88385-511-9 .
Schmidt, W., Houang, R., & Cogan, L. Learning Sequence = A coherent curriculum: journal . – Amerikansk pedagog, 2002.
Schyrlet Cameron, Carolyn Craig. Addera och subtrahera bråk vid 5 - 8 års ålder = Addera och subtrahera bråk, betyg 5 - 8. - Carson-Dellosa, 2013. - 64 sid. — ISBN 162223006X .
Schubert, E. Thomas; Phillip J. Windley; James Alves Foss. Högre ordningens logiska satsprovning och dess tillämpningar: Proceedings of the 8th International Festival = Higher Order Logic Theorem Proving och dess tillämpningar: Proceedings of the 8th International Workshop. - Springer, 1995. - 400 sid.
Enderton, Herbert. Elements of Set Theory = Elements of Set Theory. - Gulf Professional Publishing, 1977. - 279 sid. — ISBN 0-12-238440-7 .

Länkar

Ordböcker och uppslagsverk	Stor dansk Stor katalanska Stor norsk Stor ryss Britannica (online) Granatäpple
I bibliografiska kataloger	BNF : 11976283t GND : 4296282-1 J9U : 987007292953205171 LCCN : sh85000817 NKC : ph898518