Bråk (matematik)

$8~/~13$		${\frac {8}{13))$	täljare
täljare	nämnare		nämnare
Två poster för samma bråkdel

Ett bråk i aritmetik är ett tal som består av en eller flera lika delar (andelar) av en [1] .

Inom matematiken används en något generaliserad definition som skiljer mellan två typer av bråk.

Vanliga bråk av formen , där heltal , naturlig . Till skillnad från den aritmetiska definitionen kan ett sådant bråk ha ett minustecken . ${\frac {m}{n))$ $m$ $n$
Skriva (inte nödvändigtvis bråktal) tal i positionsnummersystem . De mest kända är decimalbråk , bekvämt för människor, och binära bråk , som används för beräkningar på datorer [2] .

I matematisk notation kallas en bråkdel av formen eller ett tal före (ovanför) stapeln för täljaren , och talet efter stapeln (under stapeln) kallas för nämnaren . Den första fungerar som en utdelning , den andra som en divisor . $m/n$ ${\frac {m}{n}}$

I allmän algebra bildar vanliga bråk fältet för rationella tal .

Typer av bråk

Vanliga bråk

Vanligt (eller enkelt ) bråktal - att skriva ett rationellt tal i formen eller där Ett horisontellt eller snedstreck indikerar ett divisionstecken, vilket resulterar i en kvot. Utdelningen kallas bråkets täljare , och divisorn kallas nämnaren . ${\frac {m}{n))$ $m/n,$ $n\neq 0.$

Vanlig bråknotation

Det finns flera typer av att skriva vanliga bråk i tryckt form:

½,
1/2 eller ( snedstrecket kallas "solidus" [3] ), $^{1}\!/_{2}$
off formel: , ${\frac {1}{2))$
formel med gemener: . ${\tfrac {1}{2))$

Egna och oegentliga bråk

Ett bråk kallas korrekt om täljarmodulen är mindre än nämnarmodulen. Ett bråk vars täljarmodul är större än eller lika med nämnarmodulen kallas ett oegentligt bråk och är ett rationellt tal , modulo större än eller lika med ett.

Till exempel är bråk , och korrekta, medan , , och är felaktiga. Alla heltal som inte är noll kan representeras som ett oegentligt bråk med nämnaren . ${\frac {3}{5))$ ${\frac {7}{8))$ ${\frac {1}{2))$ ${\frac {8}{3))$ ${\frac {9}{5}}$ ${\frac {2}{1))$ ${\frac {1}{1))$ $ett$

Blandade bråk

En bråkdel skriven som ett icke-negativt heltal och ett egenbråk kallas en blandad bråkdel och förstås som summan av detta tal och bråket. Vilket rationellt tal som helst kan skrivas som ett blandat bråktal (med ett minustecken framför för negativa tal). I motsats till ett blandat bråk, kallas ett bråk som bara innehåller täljaren och nämnaren ett enkelt bråk .

Till exempel . $2{\frac {3}{7}}=2+{\frac {3}{7}}={\frac {14}{7}}+{\frac {3}{7}}={\frac {17}{7}}$

Sammansatta fraktioner

En fraktion med flera våningar, eller sammansatt, är ett uttryck som innehåller flera horisontella (eller mindre vanliga, sneda) linjer:

{\frac {1}{2}}{\bigg /}{\frac {1}{3}}

eller eller .

{\frac {1/2}{1/3}}

{\frac {12{\frac {3}{4}}}{26}}

Generellt sett används bråktecknet i en sådan generaliserad betydelse inte bara för bråk, utan också för kompakt notation av division, och inte bara heltal, utan även reella och komplexa tal, funktioner, polynom och liknande operander av olika divisionsoperationer .

Decimaler

Ett decimalbråk är ett positionsregister av ett bråk där nämnaren inte är angiven explicit, utan förstås som ett heltal, en tiopotens (t.ex. 100, 1000, etc.). Det ser ut så här (tecknet utanför aritmetiska uttryck är vanligtvis utelämnat): $+$

\pm a_{1}a_{2}\dots a_{n}{,}b_{1}b_{2}\dots

Den del av posten som kommer före decimalkomma , i fallet med ett icke-negativt bråktal, är heltalsdelen av talet (bråk), och den efter decimalkomma är bråkdelen . Vilken vanlig bråkdel som helst kan omvandlas till en decimal , som i detta fall antingen har ett ändligt antal decimaler eller är ett periodiskt bråktal .

Exempel: En decimal i bråkformat är . $3{,}1415926$ ${\frac {31415926}{10000000}}$

Decimaler med ett oändligt antal siffror till höger om decimalkomma representerar en oändlig serie. Till exempel, 1/3 = 0,333… är en oändlig serie av 3/10 + 3/100 + 3/1000 +…

Decimaler kan också uttryckas i exponentiell notation med negativa exponenter, till exempel 6,023 × 10 −7 , vilket betyder 0,0000006023 (multiplicera med , eller motsvarande, dividera med flyttar decimalkomma 7 platser till vänster). $10^{{-7}}$ $10^{7},$

En annan typ av bråk är procenten ( Latin Pro Centum - "ett hundra"), representerad av symbolen % , där den antydda nämnaren alltid är 100. Således betyder 51% 51/100. Procentandelar som är större än 100 eller mindre än noll behandlas på samma sätt, till exempel är 311% lika med 311/100 och -27% är lika med -27/100.

Ett liknande koncept för ppm eller promille innebär en nämnare på 1000 . En vanlig beteckning för delar per miljon är ( engelska parts per million - ppm), Till exempel betyder 75 ppm att andelen är 75 / 1000000.

Internationellt system av enheter

Internationell beteckning	ryska	SI-system
ppm	ppm ; _ 1:10 6	mikro (mk)
ppb	miljard −1 ; 1:10 9	nano (n)
ppt	biljoner −1 ; 1:10 12	pico (p)
ppquad	kvadrillion −1 ; 1:10 15	femto (f)

Generellt sett, för positionsbeteckningen för ett tal, kan du inte bara använda decimaltalsystemet, utan även andra (inklusive specifika sådana, som fibonacci ).

Värdet av ett bråk och den grundläggande egenskapen för ett bråk

Ett bråk är bara en representation av ett tal. Samma tal kan motsvara olika bråk, både vanliga och decimala.

Om du multiplicerar täljaren och nämnaren för ett bråk med samma belopp:

{\frac {P}{R}}={\frac {C\cdot P}{C\cdot R}}

då kommer värdet på bråket att förbli detsamma, även om bråken är olika. Till exempel:

{\frac {3}{4}}={\frac {9}{12}}={\frac {12}{16}}

Omvänt, om täljaren och nämnaren för ett givet bråk har en gemensam divisor , då kan båda delarna delas med den; denna operation kallas fraktionsreduktion . Exempel:

{\frac {12}{16}}={\frac {12:4}{16:4}}={\frac {3}{4}}

- här har bråkets täljare och nämnare reducerats med en gemensam divisor .

fyra

Ett irreducerbart bråk är ett bråk vars täljare och nämnare är coprime , det vill säga de har inga gemensamma divisorer, förutom $\pm 1.$

För ett decimalbråk är notationen nästan alltid entydig, förutom när notationen slutar med en oändlig följd av antingen bara nollor (som kan utelämnas) eller bara nior. Till exempel:

0,\!999...=1

- två olika poster i ett bråk motsvarar ett tal ;

2,\!13999...=2,\!14

Operationer med bråk

Detta avsnitt behandlar operationer på vanliga bråk. För operationer på decimaler, se Decimal .

Reduktion till en gemensam nämnare

För jämförelse, addition och subtraktion av bråk bör de omvandlas ( reduceras ) till formen med samma nämnare. Låt två bråk ges: och . Procedur: ${\frac {a}{b}}$ ${\frac {c}{d))$

Hitta den minsta gemensamma multipeln av nämnarna: . $M=[b,d]$
Multiplicera täljaren och nämnaren för det första bråket med . $m/b$
Multiplicera täljaren och nämnaren för det andra bråket med . $m/d$

Därefter är nämnarna för båda bråken desamma (lika ). Istället för den minsta gemensamma multipeln kan man i enkla fall ta som vilken annan gemensam multipel som helst, till exempel produkten av nämnare. Se avsnittet Jämförelse nedan för ett exempel . $M$ $M$

Jämförelse

För att jämföra två vanliga bråk bör du reducera dem till en gemensam nämnare och jämföra täljarna för de resulterande bråken. Ett bråk med en större täljare blir större.

Exempel. Jämför och . . Vi tar bråken till nämnaren . ${\frac {3}{4))$ ${\frac {4}{5))$ $\mathrm {HOK} (4,5)=20$ $tjugo$

{\frac {3}{4}}={\frac {15}{20}};\quad {\frac {4}{5}}={\frac {16}{20}}

Följaktligen, ${\frac {3}{4}}<{\frac {4}{5}}$

Addition och subtraktion

För att lägga till två vanliga bråk, måste du föra dem till en gemensam nämnare. Lägg sedan till täljarna och lämna nämnaren oförändrad:

Exempel 1 : + = + =

\quad {\frac {1}{2))

{\frac {1}{3))

{\frac {3}{6))

{\frac {2}{6))

{\frac {5}{6))

LCM för nämnarna (här och ) är lika med . Vi tar bråket till nämnaren , för detta måste täljaren och nämnaren multipliceras med . Det visade sig . Vi tar bråket till samma nämnare, för detta måste täljaren och nämnaren multipliceras med . Det visade sig . För att få skillnaden mellan bråk måste de också reduceras till en gemensam nämnare och sedan subtrahera täljarna, samtidigt som nämnaren lämnas oförändrad: $2$ $3$ $6$ ${\frac {1}{2))$ $6$ $3$
${\frac {3}{6))$ ${\frac {1}{3))$ $2$ ${\frac {2}{6))$

{\frac {1}{2))

— = — =

{\frac {1}{4))

{\frac {2}{4))

{\frac {1}{4))

{\frac {1}{4))

LCM för nämnarna (här och ) är lika med . Vi tar bråket till nämnaren , för detta måste vi multiplicera täljaren och nämnaren med . Vi får . $2$ $fyra$ $fyra$ ${\frac {1}{2))$ $fyra$ $2$ ${\frac {2}{4))$

Exempel 2 :

\quad {\frac {3}{5}}+{\frac {2}{7}}={\frac {3\cdot 7}{5\cdot 7}}+{\frac {2\ cdot 5}{7\cdot 5}}={\frac {21}{35}}+{\frac {10}{35}}={\frac {31}{35}}

Multiplikation och division

För att multiplicera två vanliga bråk, måste du multiplicera deras täljare och nämnare:

{\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}={\frac {ac}{bd}}.

I synnerhet, för att multiplicera ett bråk med ett naturligt tal, måste du multiplicera täljaren med talet och lämna nämnaren densamma:

{\frac {2}{3}}\cdot 3={\frac {6}{3}}=2

I allmänhet kanske täljaren och nämnaren för det resulterande bråket inte är coprime, och bråket kan behöva reduceras, till exempel:

{\frac {5}{8}}\cdot {\frac {2}{5}}={\frac {10}{40}}={\frac {1}{4}}.

Låt oss definiera det reciproka av ett bråk som ett bråk (här ). Sedan, enligt definitionen av multiplikation, är produkten av en bråkdel och dess reciproka 1: ${\frac {a}{b}}$ ${\frac {b}{a}}$ $a,b\neq 0$

{\frac {a}{b}}\cdot {\frac {b}{a}}={\frac {ab}{ab}}=1

För att dividera en vanlig bråkdel med en annan, måste du multiplicera den första bråkdelen med den andra:

{\frac {a}{b}}:{\frac {c}{d}}={\frac {a}{b}}\cdot {\frac {d}{c}}={\ frac {ad}{bc}},\quad b,c,d\neq 0.

Till exempel:

{\frac {1}{2}}:{\frac {1}{3}}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {3}{1}}={\frac {3 }{2}}.

Exponentiering och rotextraktion

För att höja en bråkdel till en potens, måste du höja dess täljare och nämnare till samma potens:

\left({\frac {a}{b}}\right)^{n}={\frac {a^{n}}{b^{n}}},b\neq 0.

Exempel:

\left({\frac {2}{3}}\right)^{3}={\frac {2^{3}}{3^{3}}}={\frac {8}{ 27}}

För att extrahera en rot från ett bråk, måste du extrahera motsvarande rot från täljaren och nämnaren:

{\sqrt[{n}]{\frac {a}{b}}}={\frac {\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}} },b\neq 0.

Exempel:

{\sqrt[{3}]{\frac {64}{125}}}={\frac {\sqrt[{3}]{64}}{\sqrt[{3}]{125}} }={\frac {4}{5}}.

Konvertering mellan olika inspelningsformat

För att omvandla ett bråk till en decimal, dividera täljaren med nämnaren. Resultatet kan ha ett ändligt antal decimaler, men det kan också vara en oändlig periodisk bråkdel . Exempel:

{\frac {1}{2}}={\frac {5}{10}}=0{,}5

{\frac {1}{7}}=0{,}142857142857142857\dots =0{,}(142857)

- en oändligt upprepad period skrivs vanligtvis inom parentes.

För att konvertera en decimal med ett ändligt antal decimaler till ett gemensamt bråk, måste du representera dess bråkdel som ett naturligt tal dividerat med lämplig potens 10. Sedan läggs den förtecknade heltalsdelen till resultatet och bildar ett blandat bråk. Exempel:

71{,}1475=71+{\frac {1475}{10000}}=71{\frac {1475}{10000}}=71{\frac {59}{400}}

En oändlig decimalbråk kan generellt sett inte representeras exakt som en vanlig. Undantaget är periodiska decimalbråk , för vilka en sådan representation alltid är möjlig [4] .

Ett exempel (se även Konvertera en återkommande decimal till en vanlig bråkdel ). Låt oss omvandla ett periodiskt bråk till ett vanligt bråk. Ange , sedan varifrån: eller: Som ett resultat får vi: $1{,}3(142857)=1{,}3\ 142857\ 142857\ 142857\dots$ $1{,}3(142857)=1{,}3+0{,}1\cdot 0{,}(142857).$ $x=0{,}(142857)$ $1000000\cdot x=142857+x,$ $999999x=142857,$ $x={\frac {142857}{999999}}={\frac {1}{7}}.$ $1{,}3(142857)=1{,}3+0{,}1x=1{,}3+0{,}1\cdot {\frac {1}{7)).={ \frac {13}{10}}+{\frac {1}{70}}={\frac {92}{70}}=1{\frac {11}{35}}.$

Termens historia och etymologi

Den ryska termen fraktion , liksom dess motsvarigheter på andra språk, kommer från lat. fractura , som i sin tur är en översättning av den arabiska termen med samma betydelse: bryta, krossa . Grunden till teorin om vanliga bråk lades av grekiska och indiska matematiker. Genom araberna övergick termen, översatt till latin, till Europa, den nämns redan av Fibonacci (1202). Orden täljare och nämnare introducerades av den grekiske matematikern Maxim Planud .

Bråk räknades i det gamla Egypten . Matematiska källor om egyptiska bråk har bevarats till denna dag : Rinda matematisk papyrus (ca 1650 f.Kr.) [5] , egyptisk matematisk läderrulle (XVII-talet f.Kr.) [6] , Moskva matematisk papyrus (ca 1850 f.Kr.), trätavla från Akhmim (ca 1950 f.Kr.) [7] .

I Kina finns vanliga bråk i verket " Matematik i nio böcker " (X-II århundradet f.Kr.), redigerat under II-talet f.Kr. e. finanstjänstemannen Zhang Cang. Decimalbråk påträffas först i Kina från omkring 300-talet e.Kr. e. när man räknar på räknebrädan ( suanpan ). I skriftliga källor avbildades decimalbråk i det traditionella (icke-positionella) formatet under en tid, men gradvis ersatte positionssystemet det traditionella [8] . Den persiske matematikern och astronomen Jamshid Ghiyas-ad-din al-Kashi (1380-1429) i avhandlingen "The Key of Arithmetic" (1427) förklarade sig själv som uppfinnaren av decimalbråk, även om de återfanns i Al-Uklidisis skrifter , som levde fem århundraden tidigare [9] .

Till en början arbetade europeiska matematiker endast med vanliga bråktal och i astronomi med sexagesimal . Den moderna beteckningen på vanliga fraktioner kommer från det antika Indien - först lånades den av araberna och sedan, under XII - XVI-talen , av européerna. I början använde bråk inte en bråkstapel: siffror skrevs på detta sätt: Användningen av bråkstapel blev konstant för bara cirka 300 år sedan. I Europa var den första vetenskapsmannen som använde och spred det indiska räknesystemet (känd som "arabiska siffror"), inklusive metoden att skriva bråk, en italiensk köpman, resenär, son till en stadstjänsteman - Fibonacci (Leonardo av Pisa) [ 10] . En fullfjädrad teori om vanliga fraktioner och handlingar med dem utvecklades på 1500-talet ( Tartaglia , Clavius ). ${\tfrac {1}{4)),2{\tfrac {1}{5}}$ ${\begin{smallmatrix}1\\4\end{smallmatrix}},{\begin{smallmatrix}2\\\mathrm {I} \\5\end{smallmatrix}}.$

I Europa introducerades de första decimalbråken av Immanuel Bonfils omkring 1350, men de fick stor spridning först efter uppkomsten av Simon Stevins verk Den tionde (1585). Stevin skrev decimaler på komplexa sätt: till exempel skrevs talet 42,53 som eller 42 ⓪ 5 ① 3 ② , där 0 i en cirkel eller över en linje betydde en hel del, 1 betydde tiondelar, 2 betydde hundradelar, och så vidare. Kommat har använts för att skilja hela delen åt sedan 1600-talet [10] . ${\overset {\underset {0}{}}{4}}2~{\overset {\underset {1}{}}{5}}~{\overset {\underset {2}{}}{3} }$

I Ryssland kallades fraktioner för aktier . I de första ryska läroböckerna i matematik - på 1600-talet - kallades bråktal för brutna tal [10] . Termen bråk , som en analog till latinets fraktura , används i Magnitskys aritmetik (1703) för både vanliga och decimala bråk.

Generaliseringar

Ring av privat
En rationell funktion är en bråkdel som består av polynom .

Se även

Anteckningar

↑ Encyclopedia of Mathematics, 1982 .
↑ Bronstein I. N. , Semendyaev K. A. Matematikhandbok för ingenjörer och studenter vid högre utbildningsinstitutioner . - ed. 13:e. — M. : Nauka, 1985. — S. 130. — 544 sid.
↑ ParaType Handbook .
↑ Tsypkin, 1983 .
↑ Rhindens matematiska papyrus .
↑ Clagett, 1999 .
↑ Simpson, 1961 .
↑ Martzloff, 1997 .
↑ Berggren, 2007 .
↑ 1 2 3 Vilenkin, Zhokhov, Chesnokov, Schwarzburd, 1997 .

Litteratur

På ryska:

Aritmetisk bråkdel // Matematisk uppslagsverk (i 5 volymer) . - Moskva: Soviet Encyclopedia , 1982. - T. 2. - S. 389-390.
Matematik: Proc. för 5 celler. snitt skola / ed. N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 4:e uppl. - Cheboksary: Chuv. bok. förlag, 1997. - S. 202-203, 230.
Tsypkin A.G. Handbok i matematik för gymnasieskolor. - 3:e upplagan - Moskva: Nauka, 1983. - S. 51. - 480 sid.

På engelska:

Berggren, J. Lennart. Matematik i medeltida islam // Matematik i Egypten, Mesopotamien, Kina, Indien och Islam: En källbok . - Princeton University Press , 2007. - S. 518 . - ISBN 978-0-691-11485-9 .
Jean-Claude Martzloff. En historia av kinesisk matematik. Springer (engelska) . - 1997. - ISBN 3-540-33782-2 .
William K. Simpson Ett ytterligare fragment från "Hatnub" Stela // Journal of Near Eastern Studies. - 1961. - Januari ( vol. 20 , nr 1 ). - S. 25-30 .
Clagett, Marshall. Memoirs of the American Philosophical Society 232 // Ancient Egyptian Science: A Source Book. - Philadelphia: American Philosophical Society, 1999. - V. 3. - S. 17-18, 25, 37-38, 255-257.

Länkar

Rhindens matematiska papyrus . brittiskt museum. Tillträdesdatum: 13 januari 2019.
Bråkstav (Bråkstav, Solidus) . Handbok för ParaType . (obestämd)

Ordböcker och uppslagsverk

I bibliografiska kataloger
BNE : XX532372 BNF : 12063899h GND : 4008387-1 J9U : 987007548245905171 LCCN : sh85051148 NDL : 00561041 NKC : ph135439

Bråkdelar av ett tal (delar av en helhet)
variabelt värde	Procent ( % ) Ppm ( ‰ ) Tio tusendel ( ‱ ) Miljondelar ( ppm, ppm ) Miljarddelen ( ppb, ppb ) Billjonfraktion ( ppt, biljoner −1 )
Fast värde	1/4 (kvartal) 1/3 (tredje) 1/2 (hälften) 1/1 (alla, hela)
se även	SI-prefix hela delen Decimal Bråkdel Decimalavgränsare Fraktion Del Dela (musik) Dela (enhet)