Tropisk geometri

Tropisk geometri är ett fält inom matematiken som dök upp på 2000 -talet , ursprungligen har sitt ursprung i datavetenskap , och är förknippat med algebraisk och symplektisk geometri . Objekten som studeras i den är gränsen för amöbabilder av vanliga algebraiska sorter under degenerationen av den senare. [ett]

Namnet "tropical" hedrar den brasilianska skolan [1] - pionjärarbetet av den brasilianske matematikern av ungerskt ursprung Imre Shimon [2] [3] [4] , som studerade den tropiska semiringen i samband med datavetenskap och optimering teori [5] .

Oavsett den brasilianska skolan har termen "tropisk" använts på samma gren av matematik sedan mitten av 1980-talet av V.P. Maslov . Enligt honom beskrev "idempotent (tropisk) analys" genom termodynamikens medium ur ekonomisk synvinkel den europeiska koloniseringen av tropiska Afrika . Termen "idempotent" i det vetenskapliga samfundet slog inte rot, och termen "tropisk" i förhållande till den nya matematiken, som mer harmonisk och rymlig, visade sig vara mycket populär, även om olika skolor lade olika betydelser i det [6 ] [7] .

Grundläggande begrepp

Tropisk semiring (eller tropisk semifield ) - en uppsättning reella tal , utrustad med operationer av tropisk addition och tropisk multiplikation $\mathbb {R}$ $\ plus$ $\odot$

x\oplus y=\max(x,y),\quad x\odot y=x+y.

Ett tropiskt gradpolynom på planet är en bitvis affin funktion av formen $d$

f(x,y)=\bigoplus _{{i+j\leq d}}\,a_{{i,j}}\odot x^{{\odot i}}\odot y^{{\odot j }}=\max _{{i+j\leq d}}(ix+jy+a_{{i,j}}).

På liknande sätt är ett tropiskt polynom i det allmänna fallet en bitvis affin funktion av formen

f(x_{1},\dots ,x_{n})=\bigoplus _{{|J|\leq d}}\,a_{{J}}\odot x^{{\odot J}}=\ max _{{|J|\leq d}}\,(a_{{J}}+\summa _{i}J_{i}x_{i}).

En tropisk kurva på ett plan som motsvarar ett givet tropiskt polynom av grad är en graf på ett plan vars hörn och kanter (ändliga och oändliga) bildar uppsättningen av punkter av ojämnhet av funktionen . Kanterna på denna graf anses vara utrustade med multipliciteter: kanten som skiljer linjäritetsregionerna som motsvarar uppsättningen grader och är utrustad med en multiplicitet lika med den största gemensamma divisorn av skillnaderna och . $f$ $d$ $f$ $(I j)$ $(I j')$ $ii'$ $jj'$
I synnerhet är en tropisk rak linje en förening av tre strålar som utgår från en viss punkt och riktade nedåt, vänster och höger upp i 45°. Tropiska linjer har egenskaper som liknar de för vanliga linjer: exakt en tropisk linje passerar genom två punkter i allmän position, och två tropiska linjer i allmän position skär varandra i en enda punkt. $(x_{0},y_{0})$

Anteckningar

↑ 1 2 Itenberg, Mikhalkin, Shustin. Tropisk algebraisk geometri, 2009 , sid. vii.
↑ Arkiverad kopia (länk ej tillgänglig) . Datum för åtkomst: 8 januari 2012. Arkiverad från originalet den 26 september 2006. (obestämd)
↑ Math.dvi . Hämtad 8 januari 2012. Arkiverad från originalet 5 mars 2016. (obestämd)
↑ http://theor.jinr.ru/~belyov/articles/Litvinov_dequantize.pdf (otillgänglig länk)
↑ Källa . Hämtad 8 januari 2012. Arkiverad från originalet 23 januari 2012. (obestämd)
↑ Källa . Hämtad 10 juli 2020. Arkiverad från originalet 13 juli 2020. (obestämd)
↑ Om tropisk analys | SpringerLink . Hämtad 10 juli 2020. Arkiverad från originalet 10 juli 2020. (obestämd)

Litteratur

Itenberg I., Mikhalkin G., Shustin E. Tropisk algebraisk geometri . - Basel: Springer , 2009. - viii + 104 sid. — (Oberwolfach-seminarier).

M.E. Kazaryan . Tropisk geometri . - M. : MTSNMO, 2012. - 43 sid. — (Sommarskola "Modern matematik"). - 1000 exemplar. - ISBN 978-5-94057-966-3 .