Enhetlig kontinuitet

Uniform kontinuitet är egenskapen hos en funktion att vara lika kontinuerlig på alla punkter i definitionsdomänen. I matematisk analys introduceras detta koncept för numeriska funktioner , i funktionsanalys generaliseras det till godtyckliga metriska rum .

Kontinuitetsbegreppet innebär tydligt att små förändringar i argumentet leder till små förändringar i funktionens värde. Egenskapen för enhetlig kontinuitet ställer ett ytterligare villkor: värdet som begränsar avvikelsen av värdet av argumentet måste bara bero på värdet av funktionens avvikelse, men inte på värdet av argumentet, det vill säga det måste vara lämpar sig för funktionens hela domän.

Enhetlig kontinuitet för numeriska funktioner

Definition

En numerisk funktion av en reell variabel är enhetligt kontinuerlig om [1] : $f\colon M\subseteq \mathbb {R} \to \mathbb {R}$

\forall \varepsilon >0\colon ~\exists \delta =\delta (\varepsilon )>0\colon ~\forall x_{1},x_{2}\in M\colon ~{\bigl (} |x_{1}-x_{2}|<\delta {\bigr )}\Högerpil {\bigl (}|f(x_{1})-f(x_{2})|<\varepsilon {\bigr ) },

var finns universalitets- och existenskvantifierarna respektive , och är implikationen . $\forall ,\exists$ $\Höger pil$

Anteckningar

Det är viktigt att valet bara beror på storleken och är lämpligt för alla - detta skiljer enhetlig kontinuitet från vanlig kontinuitet. $\delta$ $\varepsilon$ $x_{1},x_{2}$

Ovanstående definition är lätt att generalisera till fallet med funktioner av flera variabler [2] .

Exempel

Fungera

f(x)={\frac {1}{x)),\;x\in (0,1)

är kontinuerlig över hela definitionsdomänen, men är inte enhetligt kontinuerlig, eftersom man för varje (godtyckligt liten) kan specificera ett sådant segment av värdena för argumentet att i dess ändar kommer värdena på funktionen att skilja sig mer åt Detta beror på att lutningen på grafen för funktionen runt noll växer oändligt . $\varepsilon >0$ $x$ $\varepsilon.$

Ett annat exempel: funktion

f(x)=x^{2},\;x\in (-\infty ,+\infty )

är kontinuerlig längs hela tallinjen, men är inte enhetligt kontinuerlig, eftersom

\lim _{x\to \infty }{\Big (}f{\big (}x+{\frac {a}{x}}{\big )}-f(x){\Big )} =\lim _{x\to \infty }(x^{2}+2a+a^{2}x^{-2}-x^{2})=2a.

Det är alltid möjligt att välja ett värde för vilket segment som helst med godtyckligt liten längd — så att skillnaden i funktionens värden i slutet av segmentet blir större . I synnerhet på segmentet, skillnaden i värdena av funktionen tenderar att $\varepsilon >0$ $\varepsilon /x$ $f(x)=x^{2}$ $\varepsilon.$ $\left[x,x+{\frac {\varepsilon }{x}}\right]$ $2\varepsilon .$

Egenskaper

Tre egenskaper följer omedelbart av definitionen:

En funktion som är likformigt kontinuerlig på en uppsättning är kontinuerlig på den. $M$
- Det omvända är sant om den är
kompakt . $M$

En funktion som är likformigt kontinuerlig på en uppsättning kommer att vara enhetlig kontinuerlig på vilken delmängd som helst av den.

En funktion som är enhetligt kontinuerlig på ett begränsat intervall är alltid avgränsat på detta intervall [3] . På ett oändligt intervall kan en enhetligt kontinuerlig funktion inte vara begränsad (till exempel på ett intervall ).

\ln x

x\in (1;+\infty )

Några kriterier för enhetlig kontinuitet för en funktion

Uniform kontinuitetssats ( Cantor - Heine ): en funktion som är kontinuerlig på ett slutet ändligt intervall (eller på någon kompakt mängd) är likformigt kontinuerlig på den. Dessutom, om det slutna ändliga intervallet ersätts med ett öppet , kanske funktionen inte är jämnt kontinuerlig.
Summan, skillnaden och sammansättningen av likformigt kontinuerliga funktioner är likformigt kontinuerliga [4] . Produkten av likformigt kontinuerliga funktioner kanske inte är likformigt kontinuerlig. Till exempel [5] , låt Båda funktionerna vara enhetligt kontinuerliga vid , men deras produkt är inte enhetligt kontinuerlig på . För ett begränsat intervall är produkten av likformigt kontinuerliga funktioner alltid likformigt kontinuerlig [3] . $f(x)=x;\g(x)=\ln(x).$ $x\geqslant 1$ $[1,+\infty )$
Om en funktion är definierad och kontinuerlig på och det finns en ändlig gräns , är funktionen enhetligt kontinuerlig på . Med andra ord, en funktion definierad på ett oändligt halvintervall kanske inte är enhetligt kontinuerlig endast om dess gräns vid oändligheten inte existerar eller är oändlig [6] . $f(x)$ $[a,+\infty)$ $\lim _{x\to +\infty }f(x)$ $[a,+\infty)$
En avgränsad monoton funktion , kontinuerlig på intervallet (eller på hela den reella linjen), är likformigt kontinuerlig på detta intervall [7] .
En funktion som är kontinuerlig på hela tallinjen och periodisk är enhetligt kontinuerlig på hela tallinjen [8] .
En funktion som har en begränsad derivata på ett intervall är likformigt kontinuerlig på detta intervall [9] .