Likavstånd kontinuitet

Ekvidistant kontinuitet är en egenskap hos en familj av kontinuerliga funktioner , som består i att hela familjen av funktioner förändras på något kontrollerat sätt. Den används för att välja en enhetligt konvergent sekvens från en viss familj av funktioner: Arzela-Ascolis sats gör att detta kan göras för en ekvikontinuerlig och enhetligt avgränsad familj på till exempel ett kompakt metriskt utrymme.

Definition

Den exakta definitionen av equicontinuity beror på sammanhanget. I den enklaste versionen, låt vara en familj av verkligt värdefulla kontinuerliga funktioner på intervallet , och vara en del av det. Denna underfamilj kallas ekvikontinuerlig om det för någon existerar så att för vilken funktion och alla punkter tillståndet följer av villkoret . Som du kan se skiljer sig villkoret för ekvikontinuitet för en familj av funktioner från villkoret för enhetlig kontinuitet för alla funktioner separat genom att överföra fragmentet "för alla " under ett par kvantifierare för epsilon och delta. $C(a,b)$ $[a,b]$ $D\subset C(a,b)$ $\varepsilon >0$ $\delta>0$ $f\in D$ $x_{1},x_{2}\in [a,b]$ $|x_{1}-x_{2}|<\delta$ $|f(x_{1})-f(x_{2})|<\varepsilon$ $f\in D$

Denna definition kan generaliseras ordagrant till fallet med kompakta metriska utrymmen och och en underfamilj av en familj av kontinuerliga mappningar från till : en underfamilj kallas ekvikontinuerlig om det för någon existerar så att för vilken funktion och alla punkter villkoret följer av villkoret . $X$ $Y$ $D\subset C(X,Y)$ $X$ $Y$ $D$ $\varepsilon >0$ $\delta>0$ $f\in D$ $x_1, x_2\in X$ $d_{X}(x_{1},\;x_{2})<\delta$ $d_{Y}(f(x_{1}),\;f(x_{2}))<\varepsilon$

Genom att ersätta - -formalismen med formalismen för öppna delmängder erhålls en mer allmän definition för topologiska utrymmen och och en underfamilj av en familj av kontinuerliga avbildningar från till : en underfamilj kallas ekvikontinuerlig vid en punkt och en punkt om för något grannskap det finns ett sådant område som alla funktioner mappas till . En mappning kallas ekvikontinuerlig om villkoret ovan är uppfyllt för alla par . Om och är topologiska vektorrum , och mappningarna mellan dem inte bara är kontinuerliga, utan också linjära, så räcker det med att kontrollera detta villkor vid ett par punkter . $\varepsilon$ $\delta$ $X$ $Y$ $D\subset C(X,Y)$ $X$ $Y$ $D$ $x\i X$ $y\i Y$ $W\ni y$ $V\ni x$ $f\in D$ $V$ $W$ $(x,y)\in X\ gånger Y$ $X$ $Y$ $(0_{X},0_{Y})$

Artzel-Ascolis sats

Arzela-Ascolis sats säger att för kompakta metriska utrymmen är equicontinuity ekvivalent med relativ kompaktitet , utrustad med en metrisk $D$ $D$ $\delmängd$ $C(X,\;Y)$

\rho (f,\;g)=\max _{x\in X}d_{Y}(f(x),\;g(x))

Litteratur

Kolmogorov A. N., Fomin S. V., Elements of theory of functions and functional analysis, 5:e upplagan, M., 1981;
Edwards R., Funktionsanalys, övers. från engelska, IT., 1969.