Kompakt utrymme

Ett kompakt rum är en viss typ av topologiska rum som generaliserar egenskaperna för avgränsning och stängning i euklidiska rum till godtyckliga topologiska rum.

I allmän topologi liknar kompakta utrymmen ändliga mängder i mängdteorin i sina egenskaper .

Definition

Ett kompakt utrymme är ett topologiskt utrymme , i vilket hölje som helst av öppna uppsättningar det finns ett ändligt undertäcke [1] .

Ursprungligen kallades denna egenskap bicompact (denna term introducerades av P. S. Aleksandrov och P. S. Uryson ), och räknebara öppna lock användes i definitionen av kompakthet . Därefter visade sig den mer allmänna egenskapen bikompakthet vara mer populär och kom gradvis att kallas helt enkelt kompakthet. Nu används termen "bikompakthet" huvudsakligen endast av topologer från P. S. Aleksandrovs skola. För utrymmen som uppfyller det andra axiomet av räknebarhet , är den ursprungliga definitionen av kompakthet likvärdig med den moderna [2] .

Bourbaki och hans anhängare inkluderar i definitionen av kompakthet Hausdorffs rymdegenskap [2] .

Exempel på kompakta uppsättningar

Slutna avgränsade uppsättningar i . $\mathbb {R} ^{n}$
Finita delmängder av topologiska utrymmen.
Ascoli-Arzela-satsen ger en karakterisering av kompakta mängder i rymden av verkliga funktioner på ett metriskt kompakt utrymme med normen : stängningen av en uppsättning funktioner i är kompakt om och endast om den är enhetligt avgränsad och ekvikontinuerligt kontinuerlig . $C(X)$ $X$ $\|f\|=\sup _{x}|f(x)|$ $F$ $C(X)$ $F$
The Stone Space of Boolean Algebras .
Kompaktifiering av ett topologiskt utrymme.

Relaterade definitioner

En delmängd av ett topologiskt utrymme T som är ett kompakt utrymme i topologin som induceras av T kallas en kompakt mängd .
En uppsättning sägs vara prekompakt (eller kompakt med avseende på T ) om dess förslutning i T är kompakt [3] .
Ett utrymme kallas sekventiellt kompakt om någon sekvens i det har en konvergent undersekvens.
Ett lokalt kompakt utrymme är ett topologiskt utrymme där varje punkt har en stadsdel vars stängning är kompakt.
Ett avgränsat kompakt utrymme är ett metriskt utrymme där alla slutna bollar är kompakta.
Ett pseudokompakt rum är ett Tikhonov- rum där varje kontinuerlig verklig funktion är avgränsad.
Ett räknebart kompakt utrymme är ett topologiskt utrymme i vilket varje räknebart hölje av öppna uppsättningar innehåller ett ändligt undertäcke.
Ett svagt räknat kompakt utrymme är ett topologiskt utrymme där varje oändlig mängd har en gränspunkt.
Ett H-slutet utrymme är ett Hausdorff-utrymme som är stängt i något omgivande Hausdorff-utrymme [4] .

Termen " kompakt " används ibland för ett mätbart kompakt utrymme, men ibland helt enkelt som en synonym för termen "kompakt utrymme". Också " kompakt " används ibland för ett Hausdorff kompakt utrymme [5] . Vidare kommer vi att använda termen " kompakt " som en synonym för termen "kompakt utrymme".

Egenskaper

Egenskaper motsvarande kompaktitet:
- Ett topologiskt utrymme är kompakt om och endast om varje centrerad familj av slutna mängder, det vill säga en familj där skärningspunkterna för finita underfamiljer är icke-tomma, har en icke-tom skärningspunkt [6] .
- Ett topologiskt utrymme är kompakt om och bara om varje riktning i det har en gränspunkt.
- Ett topologiskt utrymme är kompakt om och bara om varje filter i det har en gränspunkt.
- Ett topologiskt utrymme är kompakt om och bara om varje ultrafilter konvergerar till åtminstone en punkt.
- Ett topologiskt utrymme är kompakt om och endast om varje oändlig delmängd i det har minst en punkt för fullständig ackumulering i . $X$ $X$
Andra allmänna egenskaper:
- För varje kontinuerlig mappning är bilden av en kompakt uppsättning en kompakt uppsättning.
- Weierstrass sats . Varje kontinuerlig reell funktion på ett kompakt utrymme är avgränsad och når sina maximala och minimivärden.
- En sluten delmängd av en kompakt uppsättning är kompakt.
- En kompakt delmängd av ett Hausdorff-utrymme är stängt .
- Ett kompakt Hausdorff-utrymme är normalt .
- Ett Hausdorff-utrymme är kompakt om och bara om det är regelbundet och H-stängt [4] .
- Ett Hausdorff-utrymme är kompakt om och endast om var och en av dess slutna delmängder är H-sluten [4] .
- Tikhonovs teorem: Produkten av en godtycklig (inte nödvändigtvis ändlig) mängd kompakta mängder (med produkttopologin ) är kompakt.
- Varje kontinuerlig en-till-en-mappning från en kompakt uppsättning till ett Hausdorff-utrymme är en homeomorfism .
- Kompakta uppsättningar "beter sig som punkter" [7] . Till exempel: i ett Hausdorff-utrymme har två icke-korsande kompakta uppsättningar icke-korsande grannskap, i ett vanligt utrymme har alla icke-korsande kompakta och slutna uppsättningar icke-korsande grannskap, i ett Tikhonov-utrymme alla icke-korsande kompakta och slutna uppsättningar är funktionellt separerbara .
- Varje ändligt topologiskt utrymme är kompakt.

Egenskaper för kompakta metriska utrymmen:
- Ett metriskt utrymme är kompakt om och bara om någon sekvens av punkter i det innehåller en konvergent delsekvens.
- Hausdorffs kompakthetsteorem ger nödvändiga och tillräckliga villkor för kompaktheten hos en mängd i ett metriskt utrymme.
- För finita dimensionella euklidiska rum är ett delrum kompakt om och bara om det är avgränsat och stängt . Utrymmen med denna egenskap sägs tillfredsställa Heine-Borel-egenskapen [8] .
- Lebesgues lemma : För varje kompakt metriskt utrymme och öppet lock finns det ett positivt tal så att varje delmängd vars diameter är mindre än , finns i en av uppsättningarna . Ett sådant nummer kallas Lebesgue-numret. $\{V_{\alpha }\},\ \alpha \i A$ $r$ $r$ $V_{\alpha }$ $r$

Se även

Kompaktering

Anteckningar

↑ Viro et al., 2012 , sid. 97.
↑ 1 2 Viro et al., 2012 , sid. 98.
↑ Kolmogorov, Fomin, 1976 , sid. 105.
↑ 1 2 3 Kelly, 1968 , sid. 209.
↑ Engelking, 1986 , sid. 208.
↑ Se även Lemma om kapslade segment
↑ Engelking, 1986 , sid. 210.
↑ Se även Bolzano-Weierstrass teorem#Bolzano-Weierstrass teorem och begreppet kompakthet

Litteratur

Kolmogorov, A. N. , Fomin, S. V. Delar av teorin om funktioner och funktionell analys. - 4:e upplagan -M .:Nauka, 1976. (ryska)
Viro, O. Ya. , Ivanov, O. A. , Netsvetaev, N. Yu. , Kharlamov, V. M. Elementär topologi. - 2:a uppl., korrigerad .. -M .: MTSNMO, 2012. -ISBN 978-5-94057-894-9. (ryska)
Protasov, V. Yu. Maxima and Minima in Geometry. -M.: MTSNMO, 2005. - 56 sid. - (Bibliotek "Mathematical Education", nummer 31). (ryska)
Schwartz, L. Analysis. -M .:Mir, 1972. - T. I. (ryska)
Kelly, J.L. Allmän topologi. — M .: Nauka , 1968. (ryska)
Engelking, R. Allmän topologi. — M .: Mir , 1986. — 752 sid. (ryska)
Arkhangelsky, A.V. Bikompakt utrymme //Matematisk uppslagsverk. —M.: Sovjetiskt uppslagsverk, 1977-1985. (ryska)
Voitsekhovsky, M. I. Compact space // Mathematical Encyclopedia . — M .: Sovjetiskt uppslagsverk, 1977-1985. (ryska)

Ordböcker och uppslagsverk	Stor katalanska Universalis