Peanos teorem

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 17 december 2018; verifiering kräver 1 redigering .

Peano-satsen (ibland Cauchy-Peano-satsen ) är en sats om förekomsten av en lösning på en vanlig differentialekvation , som säger att

Låt funktionen vara kontinuerlig i totalen av variabler i någon region och vara den maximala i denna region. Om , så finns det åtminstone en lösning av ekvationen på intervallet som uppfyller initialvillkoret . $f(t,x)$ $|t-t_{0}|\leqslant a,|x-x_{0}|\leqslant b$ $\beta$ $|f(t,x)|$ $h=\min(a,{\frac {b}{\beta )))$ $[t_{0}-h,t_{0}+h]$ ${\frac {dx}{dt}}=f(t,x)$ $x(t_{0})=x_{0}$

Bevis

En ekvation med ett initialt villkor är ekvivalent med en integralekvation . ${\frac {dx}{dt}}=f(t,x)$ $x(t_{0})=x_{0}$ $x(t)=x_{0}+\int \limits _{{t_{{0}}}}^{t}f(\tau ,x(\tau ))d\tau$

Betrakta en operator A definierad av jämlikhet i utrymme på bollen , som kommer att vara en sluten konvex uppsättning i detta utrymme. $A(x)\equiv x_{0}+\int \limits _{{t_{{0}}}}^{t}f(\tau ,x(\tau ))d\tau$ $C[t_{{0}}-h,t_{{0}}+h]$ $S_{b}:||x-x_{0}||\leqslant b$

Operatören A är helt kontinuerlig på denna kula. Om sekvensen som hör till bollen konvergerar enhetligt till funktionen , då, på grund av kontinuiteten i funktionen , har vi det enhetligt på . Med enhetlig konvergens är passagen till gränsen under integraltecknet laglig, så att operatören A är kontinuerlig på kulan . ${\mathcal {f}}x_{n}(t){\mathcal {g}}$ $|x-x_{0}|\leqslant b$ $x(t)\i S_{b}$ $f(t,x)$ $f(t,x_{n}(t))\högerpil f(t,x(t))$ $[t_{0}-h,t_{0}+h]$ $Ax_{n}\rightarrow Yxa$ $S_{b}$

För alla element är ojämlikheten sann , det vill säga uppsättningen av operatörsvärden är begränsad. $x(t)\i S_{b}$ $|Ax(t)|\leqslant |x_{0}|+|\int \limits _{{t_{{0}}}}^{t}f(\tau ,x(\tau ))d\tau \ leqslant |x_{0}|+\beta |h|$ $A$

Om och är några punkter i segmentet , då kommer vi att ha för vilken funktion som helst , det vill säga uppsättningen av värden för operatören är ekvikontinuerlig. $t_{1}$ $t_{2}$ $[t_{0}-h,t_{0}+h]$ $x(t)\i S_{b}$ $|Ax(t_{{2}})-Ax(t_{{1}})|\leqslant |\int \limits _{{t_{{1}}}}^{{t_{{2}}}} f(\tau ,x(\tau ))d\tau |\leqslant \beta |t_{{2}}-t_{{1}}|$ $A$

I kraft av Arzela-satsen drar vi slutsatsen av detta att operatören omvandlar bollen till en kompakt uppsättning. $A$ $S_{b}:||x-x_{0}||\leqslant b$

Detta bevisar operatörens fullständiga kontinuitet . $A$

Operatören förvandlar bollen till sig själv. Verkligen ,. $A$ $S_{b}:||x-x_{0}||\leqslant b$ $|Ax(t)-x_{0})|\leqslant |\int \limits _{{t_{{0}}}}^{{t}}f(\tau ,x(\tau ))d\tau |\leqslant \beta h\leqslant \beta {\frac {b}{\beta }}=b$

Operatören uppfyller alltså alla villkor i Schauders sats. Det finns en fast punkt för denna operatör, det vill säga en funktion sådan att . $A$ ${\tilde {x}}(t)$ ${\tilde {x}}(t)\equiv x_{0}+\int \limits _{{t_{{0}}}}^{{t}}f(\tau ,{\tilde {x}} (\tau))d\tau$

Denna funktion kommer att vara lösningen av ekvationen som uppfyller initialvillkoret . ${\tilde {x}}(t)$ ${\frac {dx}{dt}}=f(t,x)$ $x(t_{0})=x_{0}$

Se även

Existens- och unikhetssats för en lösning av en vanlig differentialekvation

Litteratur

Krasnov M.L. Integral Ekvationer, Moskva, Nauka, 1975.