Existenssats

En existenssats är ett påstående som fastställer under vilka förutsättningar en lösning på ett matematiskt problem eller ett matematiskt objekt existerar, till exempel en derivata, en obestämd integral, en bestämd integral, en lösning på en ekvation etc. När man bevisar existenssatser, information från mängdlära används . Existenssatser spelar en mycket viktig roll i olika tillämpningar av matematik, till exempel vid matematisk modellering av olika fenomen och processer. Den matematiska modellen är inte adekvat för det specifika beskrivna fenomenet, förekomsten av motsvarande matematiska problem följer inte av att det finns en lösning på ett verkligt problem. Beviset på existenssatser är nödvändiga innan man löser olika matematiska problem, som att beräkna en integral eller integrera en differentialekvation. Existenssatser låter dig avgöra om integralen som beräknas existerar och hur många lösningar en differentialekvation har . Om det är möjligt att bevisa existenssatsen, lösningens unikhet och riktigheten av själva problemformuleringen, så innebär detta ett mycket viktigt första steg för att lösa problemet.

Exempel

Ett nödvändigt och tillräckligt villkor för att funktionen ska vara integrerbar: för att integralsumman ska konvergera till gränsen vid , krävs att summan av alla intervall där fluktuationen är större än , för alla med ett lämpligt val , kan . göras godtyckligt liten. $s$ $\Delta x_{{max}}\högerpil 0$ $\sigma$ $\sigma$ $d$
Weierstrass' Bounded Increasing Sequence Theorem .
En existenssats för transcendentala tal , som bevisas från överväganden om en mängds kardinalitet .
Brouwers fixpunktssats .
En existenssats för en lösning på Cauchy-problemet (i synnerhet Peanos sats ).
Kinesisk restsats .
Satser om diofantiska approximationer av irrationella tal (t.ex. Dirichlets sats om diofantiska approximationer ).
Dirichlets sats om primtal i aritmetisk progression .
Picards sats (integralekvationer) .

Konstruktivitet av existenssatser

För existenssatser övervägs ofta frågan om deras konstruktionsbarhet eller effektiviteten av att konstruera föremålet vars existens bevisas. En sats där ett objekt är konstruerat uttryckligen anses mer meningsfullt än ett så kallat sats som hävdar att det finns något objekt, men som inte alls säger hur det ska konstrueras. Satser av den första typen kallas konstruktiva existenssatser, satser av den andra typen kallas rena existenssatser. Konstruktiva existenssatser är vanligtvis svårare att bevisa än motsvarande rena existenssatser, eller så existerar de helt enkelt inte i något skede av matematikens utveckling.

I intuitionismen är existenssatser formulerade i en svagare formulering.

Litteratur

L. S. Freiman Existence theorems, M., Nauka, 1971, 133 s., vol. 22000 exemplar
L. D. Kudryavtsev Thoughts on modern mathematics and its study, M., Nauka, 1977, 108 s., shooting gallery. 100 000 exemplar
Alexandrov P. S. , Kolmogorov A. N. Introduktion till teorin om funktioner för en reell variabel.
Petrovsky IG Föreläsningar om teorin om vanliga differentialekvationer.
Petrovsky IG Föreläsningar om partiella differentialekvationer.
Courant R. , Hilbert D. Metoder för matematisk fysik
Smirnov V.I. Kurs i högre matematik.
Fikhtengol'ts G. M. Kurs för differential- och integralkalkyl.