Hadamard exempel

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 24 september 2018; kontroller kräver 2 redigeringar .

Hadamards exempel illustrerar möjligheten av en felaktig formulering av det klassiska Cauchy-problemet .

Tänk på följande Cauchy-problem för Laplace-ekvationen :

u_{{tt}}(x,t)=-u_{{xx}}(x,t),~t>0

;

u\mid _{{t=0}}=0,~~u_{t}\mid _{{t=0}}={\frac {1}{k}}\sin {kx}

Då är det lätt att visa att lösningen av en sådan ekvation blir funktionen:

u_{k}(x,t)={\frac {\operatörsnamn {sh}\,kt}{k^{2))}\sin {kx}

När det är klart att genom ; därför måste lösningen också närma sig noll. Men i det allmänna fallet, när . Det vill säga att det inte finns något kontinuerligt beroende av initialdata och därför är problemet felaktigt inställt. $k\högerpil +\infty$ ${\frac {1}{k}}\sin {kx}\rightarrows 0$ $x$ $x\neq \pi n,n=0,\pm 1,\dots ,u_{k}(x,t)\inte \to 0,~k\rightarrow \infty$

Se även

Initial- och randvillkor

Litteratur

Sobolev S. L. Ekvationer av matematisk fysik. - Vilken upplaga som helst.
Vladimirov V. S. , Zharinov V. V. Ekvationer av matematisk fysik. - Fizmatlit, 2004. - ISBN 5-9221-0310-X .

Länkar

Rätthet enligt Hadamard