System av linjära differentialekvationer

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 10 juni 2015; kontroller kräver 2 redigeringar .

Ett system av linjära differentialekvationer (SLDE) är ett system av vanliga differentialekvationer som är linjärt med avseende på alla önskade funktioner och deras derivator av alla ordningsföljder. Ett sådant system kan konverteras till ett linjärt system av första ordningen av den kanoniska formen, vilket vanligtvis definieras som SLDE. $y_{i}(x)$

Definition

Om det finns en derivata i differentialekvationssystemet kan du lägga till en ny önskad funktion som bestäms av en ny linjär ekvation . Genom att ersätta i de återstående ekvationerna exkluderas derivatan ur systemet. Sekventiell exekvering av dessa operationer för ett linjärt system leder till ett linjärt system av första ordningen. I ett linjärt system kan varje derivata elimineras genom substitution från alla utom en av ekvationerna. Därför definieras ett system av linjära differentialekvationer vanligtvis som ett system av formen [1] $n$ $y_{i}^{(k+1)},k>0$ $y_{{n+1}}$ $y_{i}^{(k)}=y_{n+1}$ $y_{i}^{(k+1)}=y_{n+1}'$ ${\displaystyle y_{i}^{(k+1)))$

y'_{j}=\sum _{k=1}^{n}{p_{jk}(x)y_{k}}+f_{j}(x),j=1,2, \dots ,n

Linjär differentialekvation

Givet en linjär differentialekvation av ordning $n$

y_{0}^{(n)}=\summa _{k=0}^{n-1}{p_{k}(x)y_{0}^{(k)))+f_{ j}(x)

sedan kan den med den ovan beskrivna metoden omvandlas till ett ekvationssystem av följande form $n$

{\begin{cases}y'_{0}=y_{1}\\y'_{1}=y_{2}\\\cdots \\y'_{n-2}=y_{ n-1}\\y'_{n-1}=\summa _{k=0}^{n-1}{p_{k}(x)y_{k}}+f_{j}(x) \end{cases}}

Lösning SLDU

Den allmänna lösningen av en homogen SLDE erhållen genom att likställa alla till noll ges av formlerna $f_{j}(x)$

{\displaystyle y_{j}=\sum _{k=1}^{n}{C_{k}y_{jk}(x)))

där är linjärt oberoende partiella lösningar av ett homogent system, det vill säga sådana att determinanten är åtminstone vid en punkt. Vid konstanta koefficienter bör särskilda lösningar av ett homogent system sökas i formen ${\displaystyle y_{j1},y_{j2},\dots ,y_{jn))$ $||y(x)_{ij}||\neq 0$ ${\displaystyle p(x)_{jk}=a_{jk))$

y_{j}(x)=(A_{j0}+A_{j1}x+\dots +A_{jn_{k}-1}x^{n_{k}-1})e^{\lambda _{j}x}

var är de osäkra koefficienterna, är rötterna till den karakteristiska ekvationen ${\displaystyle A_{js))$ $\lambda _{j}$

{\begin{vmatrix}a_{11}-\lambda &a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}-\lambda &\cdots &a_{2n}\\\ vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nn}-\lambda \end{vmatrix}}=0

och är mångfalden av dessa rötter. En fullständig analys av alla möjliga fall görs med metoderna för linjär algebra . För att lösa SLDE med konstanta koefficienter används också metoder för operationell kalkylering . ${\displaystyle n_{k))$

Anteckningar

↑ Matematisk encyklopedisk ordbok . - M . : "Ugglor. uppslagsverk" , 1988. - S. 316 .

Litteratur

Stepanov V. V., Course of differentialekvationer, 9:e upplagan, M., 1966
Pontryagin L.S., Ordinära differentialekvationer, 4:e upplagan, M., 1974.