Driftskalkyl

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 24 maj 2021; verifiering kräver 1 redigering .

Operationell kalkyl är en av metoderna för matematisk analys , som i vissa fall tillåter att lösa komplexa matematiska problem med hjälp av enkla medel.

Historik

I mitten av 1800-talet kom ett antal verk om den så kallade symbolkalkylen och dess tillämpning på lösningen av vissa typer av linjära differentialekvationer . Kärnan i den symboliska kalkylen är att funktionerna hos differentieringsoperatören tas i beaktande och korrekt tolkas ( operatorteori ). Bland verken om symbolisk kalkyl är det värt att notera den detaljerade monografin av professor-matematiker Mikhail Vashchenko-Zakharchenko , "Symbolic Calculus and its Application to the Integration of Linear Differential Equations" , publicerad 1862 i Kiev . Den ställer in och löser huvuduppgifterna för metoden, som senare blev känd som den operativa. $p={d\över dt}$

År 1892 dök den engelska vetenskapsmannen Oliver Heavisides verk ägnade åt tillämpningen av metoden för symbolisk kalkyl för att lösa problem i teorin om utbredningen av elektriska vibrationer i ledningar. Till skillnad från sina föregångare, definierade Heaviside inversoperatorn unikt, med antagande och räkning för . Heavisides arbete lade grunden för den systematiska tillämpningen av den symboliska eller operationella kalkylen för att lösa fysiska och tekniska problem. ${\frac {1}{p}}f(t)=\int \limits _{{0}}^{{t}}\!f(u)\,du$ $f(u)=0$ $u<0$

Den operativa kalkylen som utvecklats allmänt i Heavisides verk fick dock ingen matematisk motivering, och många av dess resultat förblev obevisade. En rigorös motivering gavs mycket senare, när ett samband etablerades mellan den funktionella Laplace-transformen och differentieringsoperatorn, nämligen om det finns en derivata för vilken och existerar , då . ${\bar {f}}(p)=L\left[f(t)\right]=\int \limits _{{0}}^{\infty }\!e^{{-pt}}f( t)\,dt$ ${d\över dt}.$ $f^{\prime }(t)$ $L\vänster[{df \över dt}\höger]$ $f(0)=0$ $L\vänster[{df \over dt}\right]=p{\bar {f}}(p)$

På 1950-talet fortsatte Jan Mikusinskys teoretiska underbyggande av operationskalkyl , hans idéer kännetecknas av ett originellt utseende och innovativt tillvägagångssätt, hans version av operationskalkyl kallades "operationskalkyl enligt Mikusinsky". Denna metod kan användas för att lösa differentialekvationer och är baserad på användningen av faltningsoperationen med Fouriertransformen .

Bildegenskaper

Linjäritet

Originalet av den linjära kombinationen av funktioner är lika med den linjära kombinationen av bilder med samma koefficienter.

a\cdot f(t)+b\cdot g(t)\quad \Rightarrow \quad a\cdot F(p)+b\cdot G(p),

där a och b är godtyckliga komplexa tal .

Likhetsteorem

f(at)\quad \Rightarrow \quad {\frac {1}{a}}F\left({\frac {p}{a}}\right),

där a>0.

Att särskilja originalet

f(t)\quad \Högerpil \quad F(p);

f'(t)\quad \Högerpil \quad pF(p)-f(0);

f''(t)\quad \Rightarrow \quad p^{2}F(p)-pf(0)-f'(0);

f'''(t)\quad \Rightarrow \quad p^{3}F(p)-p^{2}f(0)-pf'(0)-f''(0);

...

f^{{(n)}}(t)\quad \Rightarrow \quad p^{n}F(p)-p^{{n-1}}f(0)-p^{{n-2} }f'(0)-p^{{n-3}}f''(0)-...-f^{{(n-1)}}(0).

Bilddifferentiering

-tf(t)\quad \Högerpil \quad F'(p).

Integrering av originalet

\int \limits _{0}^{t}f(t)dt\quad \Rightarrow \quad {\frac {1}{p}}F(p).

Bildintegration

{\frac {f(t)}{t}}\quad \Rightarrow \quad \int \limits _{p}^{\infty }F(p)dp.

Förskjutningssats

e^{{at}}f(t)\quad \Högerpil \quad F(pa).

Fördröjningssats

f(t-\tau )\quad \Rightarrow \quad e^{{-p\tau }}F(p).

Multiplikationssats (varvningar)

\int \limits _{0}^{t}f(\tau )g(t-\tau )d\tau \quad \Rightarrow \quad F(p)\cdot G(p).

Bilder av olika funktioner

Original	Bild	Original	Bild	Original	Bild
$C$	${\frac {C}{p}}$	$t\cdot \sin ~\omega t$	${\displaystyle {\frac {2p\omega }{(p^{2}+\omega ^{2})^{2))))$	$t\cdot \operatörsnamn {sh} ~\omega t$	${\displaystyle {\frac {2p\omega }{(p^{2}-\omega ^{2})^{2))))$
${\displaystyle e^{at))$	${\frac {1}{pa}}$	$t\cdot \cos~\omega t$	${\displaystyle {\frac {p^{2}-\omega ^{2}}{(p^{2}+\omega ^{2})^{2))))$	$t\cdot \operatörsnamn {ch} ~\omega t$	${\displaystyle {\frac {p^{2}+\omega ^{2}}{(p^{2}-\omega ^{2})^{2))))$
$\sin ~\omega t$	${\displaystyle {\frac {\omega }{p^{2}+\omega ^{2))))$	$\operatörsnamn {sh} ~\omega t$	${\displaystyle {\frac {\omega }{p^{2}-\omega ^{2))))$	$t^{n}$	${\displaystyle {\frac {n!}{p^{n+1))))$
$\cos ~\omega t$	${\displaystyle {\frac {p}{p^{2}+\omega ^{2))))$	$\operatörsnamn {ch} ~\omega t$	${\displaystyle {\frac {p}{p^{2}-\omega ^{2))))$	$t^{a}$	${\displaystyle {\frac {\Gamma (a+1)}{p^{a+1))))$
$e^{at}\sin ~\omega t$	${\displaystyle {\frac {\omega }{(pa)^{2}+\omega ^{2))))$	$e^{at}\operatörsnamn {sh} ~\omega t$	${\displaystyle {\frac {\omega }{(pa)^{2}-\omega ^{2))))$	$e^{at}t^{n}$	${\displaystyle {\frac {n!}{(pa)^{n+1))))$
$e^{at}\cos ~\omega t$	${\displaystyle {\frac {pa}{(pa)^{2}+\omega ^{2))))$	$e^{at}\operatörsnamn {ch} ~\omega t$	${\displaystyle {\frac {pa}{(pa)^{2}-\omega ^{2))))$

Tillämpning av operatörsmetoder inom elektroteknik

Utmana

Figuren visar en switchad RL-krets . Vid någon tidpunkt t=0 stängs nyckeln K. Bestäm beroendet av strömmen i RL-kretsen i tid.

Beslut med den traditionella metoden

Enligt Kirchhoffs andra lag beskrivs kretsen av följande differentialekvation:

U=iR+L{\frac {di}{dt}},

där den första termen beskriver spänningsfallet över motståndet R och den andra termen beskriver spänningsfallet över induktorn L.

Vi gör en förändring av variabeln och bringar ekvationen till formen: $i=ab$

U=Rab+L(a'b+ab');\qquad U=a(Rb+Lb')+La'b.

Eftersom en av faktorerna a, b kan väljas godtyckligt väljer vi b så att uttrycket inom parentes är lika med noll:

Rb+Lb'=0.

Separera variabler:

{\frac {b'}{b}}=-{\frac {R}{L));\qquad \ln b=-{\frac {R}{L}}t;\qquad b= e^{-{\frac {R}{L}}t}.

Med hänsyn till det valda värdet på b reduceras differentialekvationen till formen

U=La'e^{-{\frac {R}{L}}t};\qquad a'={\frac {Ue^({\frac {R}{L}}t}}{ L}};

Integrering får vi

a={\frac {L}{R}}\cdot {\frac {Ue^({\frac {R}{L}}t}}{L}}+C={\frac {Ue^ {{\frac {R}{L}}t}}{R}}+C;\qquad

Vi får uttrycket för strömmen

i=ab=\left({\frac {Ue^({\frac {R}{L}}t}}{R}}+C\right)\cdot e^{-{\frac {R }{L}}t}={\frac {U}{R}}+Ce^{-{\frac {R}{L}}t};

Värdet på integrationskonstanten hittas från villkoret att det för tillfället t=0 inte fanns någon ström i kretsen:

i(0)=0;\qquad {\frac {U}{R}}+C=0;\qquad C=-{\frac {U}{R}}.

Äntligen får vi

i={\frac {U}{R}}\left(1-e^{-{\frac {R}{L}}t}\right).

Lösning genom operatörsmetod

Hitta bilder av var och en av termerna i differentialekvationen:

i\Rightarrow I;\qquad U\Rightarrow {\frac {U}{p);\qquad iR\Rightarrow IR;\qquad L{\frac {di}{dt))\Rightarrow L\left[ pI -i(0)\right]=pLI.

[ett]

$U\högerpil {\frac {U}{p}}$ erhålls eftersom förändringen i U över tiden uttrycks av funktionen U = H(t)U (omkopplaren stängdes vid tidpunkten t = 0), där H(t) är Heaviside- stegfunktionen (enhetsfunktion), ( H (t) = 0 vid t < 0 och H(t) = 1 för t = 0 och t > 0, och bilden H(t) är 1/ p ).

Vi får följande bild av differentialekvationen

{\frac {U}{p}}=RI+pLI=I(R+pL).

Från det sista uttrycket finner vi bilden av strömmen:

I={\frac {U}{p(R+pL)))

Således reduceras lösningen till att hitta den ursprungliga strömmen från den kända bilden. Låt oss expandera den högra sidan av ekvationen till elementära bråk:

{\frac {U}{p(R+pL)}}={\frac {A}{p}}+{\frac {B}{R+pL}}={\frac {A(R +pL)+Bp}{p(R+pL)}}={\frac {AR+p(AL+B)}{p(R+pL))));

AR=U;\qquad A={\frac {U}{R));

AL+B=0;\qquad B=-AL=-{\frac {UL}{R));

I={\frac {U}{Rp}}-{\frac {UL}{R(R+pL)))={\frac {U}{Rp}}-{\frac {U}{ R({\frac {R}{L}}+p)}}={\frac {U}{R}}\left({\frac {1}{p}}-{\frac {1}{{ \frac {R}{L}}+p}}\höger).

Låt oss hitta de ursprungliga elementen i det sista uttrycket:

{\frac {1}{p}}\Leftarrow 1;\qquad {\frac {1}({\frac {R}{L}}+p}}\Leftarrow e^{-{\frac { R}{L}}t}.

Äntligen får vi

i={\frac {U}{R}}\left(1-e^{-{\frac {R}{L}}t}\right).

Slutsats

Driftskalkyl är extremt praktiskt inom elektroteknik för att beräkna de dynamiska lägena för olika kretsar. Beräkningsalgoritmen är följande.

1) Vi betraktar alla element i kretsen som motstånd Z i , vars värden hittas baserat på bilderna av övergångsfunktionerna för motsvarande element.

Till exempel, för ett motstånd:

u=iR;\quad \Rightarrow \quad U=IR\quad \Rightarrow \quad Z_{R}=R.

För induktans:

u=L{\frac {di}{dt}}\quad \Rightarrow \quad U=IpL\quad \Rightarrow \quad Z_{L}=pL.

För behållare:

u={\frac {1}{C}}\int idt\quad \Rightarrow \quad U={\frac {I}{pC}}\quad \Rightarrow \quad Z_{C}={\frac {1 st}}.

2) Med hjälp av de angivna resistansvärdena hittar vi bilder av strömmar i kretsen med standardmetoder för beräkning av kretsar som används inom elektroteknik.

3) Med bilder av strömmarna i kretsen hittar vi originalen, som är lösningen av differentialekvationerna som beskriver kretsen.

Tillämpning av operationell kalkyl

Operatörsmetoder används i teorin om elektriska kretsar , teorin om automatisk styrning , teorin om signaler och teoretisk mekanik . Övergången till bilder låter dig gå från att lösa differentialekvationer till algebraiska. Driftskalkyl låter dig arbeta med diskontinuerliga funktioner , till exempel saxfunktionen , momentum, deltafunktionen och andra. Denna funktion skiljer operationell kalkyl från matematisk analys med dess kontinuitet och differentiering vid varje punkt .

Anteckningar

Det är intressant att notera att uttrycken som erhållits ovan för operatörmotståndet för olika element, upp till transformation

p\rightarrow j\omega

sammanfaller med motsvarande uttryck för resistanser i AC-kretsar:

Z_{R}=R;\qquad Z_{L}=j\omega L;\qquad Z_{C}={\frac {1}{j\omega C)).

Anteckningar

↑ I utländsk litteratur betecknas den komplexa variabeln p vanligtvis med bokstaven s .

Litteratur

Sidorov Yu. V., Fedoryuk MV, Shabunin MI Föreläsningar om teorin om funktioner för en komplex variabel. - 1989. - S. 479. - ISBN 5-02-013954-8 .
Bracewell R. Hartley Transform. - 1990. - S. 172.
Decch G. Laplace Transform . - 1971. - S. 288 .

Ditkin V. A., Prudnikov A. P. Operationell kalkyl. - 1975. - S. 408.
Kontorovich MI Driftskalkyl . - 1955. - S. 229 .
Martynenko V. S. Operationell kalkyl. - 1990. - S. 359.
Mikusinsky Jan. Operatörskalkyl . - 1956. - S. 363 .
Shostak R. Ya. Operationell kalkyl. - 1972. - S. 274.

Shtokalo I. Z. Driftskalkyl. - 1972. - S. 304.

Eiderman V. Ya. Operationell kalkyl . - " Fizmatlit ", 2002. - S. 256 . — ISBN 5-9221-0283-4 .

Panteleev A. V., Yakimova A. S. Teorin om funktioner för en komplex variabel och operationell kalkyl i exempel och problem : en handledning. - " Högt. skola ”, 2001. - S. 445 . — ISBN 5-06-004135-2 .