Kontinuerlig visning

Kontinuerlig mappning ( kontinuerlig funktion ) är en mappning från ett utrymme till ett annat, där nära punkter i definitionsdomänen går till nära punkter i värdeintervallet.

Den mest allmänna definitionen är formulerad för mappningar av topologiska utrymmen : en mappning anses vara kontinuerlig om den omvända bilden av en öppen uppsättning är öppen. Kontinuiteten i kartläggningar av andra typer av utrymmen - metriska utrymmen , normerade utrymmen och liknande utrymmen - är en direkt följd av den allmänna (topologiska) definitionen, men formuleras med hjälp av strukturer definierade i motsvarande utrymmen - metrik , normer och så vidare .

I matematisk analys och komplex analys , där numeriska funktioner och deras generaliseringar till fallet med flerdimensionella rum beaktas, introduceras kontinuiteten för en funktion på gränsernas språk : sådana definitioner av kontinuitet var historiskt sett de första och tjänade som grunden för bildandet av ett allmänt begrepp.

Förekomsten av kontinuerliga mappningar mellan utrymmen gör det möjligt att "överföra" egenskaperna hos ett utrymme till ett annat: till exempel är en kontinuerlig bild av ett kompakt utrymme också kompakt.

En kontinuerlig mappning som har en invers och även en kontinuerlig mappning kallas homeomorfism . Homeomorfism genererar en ekvivalensrelation på klassen av topologiska utrymmen ; utrymmen som är homeomorphic till varandra har samma topologiska egenskaper, och egenskaperna i sig som bevaras under homeomorphisms kallas topologiska invarianter .

Definitioner

Den mest allmänna definitionen ges i topologi .

Kontinuitet i topologiska utrymmen

En mappning från ett topologiskt utrymme till ett topologiskt utrymme sägs vara kontinuerlig om den omvända bilden av en öppen uppsättning är öppen, det vill säga: $f\kolon X\till Y$ $(X,\mathcal{T}_X)$ $(Y,\mathcal{T}_Y)$

\forall V\in {\mathcal {T}}_{Y}\quad f^{{-1}}(V)\in {\mathcal {T}}_{X}

. Kontinuitet på underrymden

Om vi betraktar någon delmängd av mängden , så induceras på denna mängd på ett naturligt sätt topologin , som består av alla möjliga skärningar av mängden med mängderna som ingår i topologin . $A$ $X$ ${\mathcal {T}}_{A}$ $A$ ${\mathcal {T}}_{X}$

En karta som är kontinuerlig på uppsättningen kommer att vara kontinuerlig på vilken som helst av dess delmängder i betydelsen av topologin som induceras på den. $f\kolon X\till Y$ $X$

Kontinuitet vid punkt

Kontinuitet vid en punkt är formulerad på grannskapsspråket och förbinder systemet av grannskap i en punkt i definitionsdomänen med systemet av grannskap för motsvarande punkt i värdedomänen.

En mappning kallas kontinuerlig vid en punkt om det för något område av punkten finns en grannskap till punkten så att . $f\kolon X\till Y$ $x$ $V$ $f(x)$ $U$ $x$ $f(U)\delmängd V$

En mappning är kontinuerlig på någon uppsättning om och endast om den är kontinuerlig vid varje punkt i den givna uppsättningen. [ett]

Om domänen för en funktion uppfyller det första räknebarhetsaxiomet , särskilt för metriska utrymmen, är kontinuitet vid en punkt ekvivalent med den så kallade sekventiella kontinuiteten: om , då . I det allmänna fallet stängs sekventiellt kontinuerliga inversa bilder av sekventiellt slutna uppsättningar sekventiellt, vilket är analogt med den ekvivalenta definitionen av kontinuerliga mappningar som de under vilka de inversa bilderna av slutna uppsättningar är stängda. $\lim _{{n\to \infty }}x_{n}=x$ $\lim _{{n\to \infty }}f(x_{n})=f(x)$

Motsvarande definitioner

Följande påståenden är likvärdiga:

prototypen för varje öppen uppsättning är öppen;
den omvända bilden av varje sluten uppsättning är stängd;
den omvända bilden av varje grannskap av en punkt i mappningsområdet är en grannskap av motsvarande punkt i definitionsdomänen;
bilden av stängningen av en uppsättning ingår i stängningen av bilden av denna uppsättning;
stängningen av förbilden av en uppsättning ingår i förbilden av stängningen.

Således kan var och en av dessa formuleringar användas som en definition av kontinuiteten i en kartläggning.

Kontinuitet i metriska och normerade utrymmen

I metriska utrymmen ges topologin av en familj av öppna kulor med olika "radii" definierade av en metrisk, så den allmänna definitionen är formulerad i termer av denna metrik (" epsilon-delta " definition):

En mappning från ett metriskt utrymme till ett metriskt utrymme sägs vara kontinuerlig vid en punkt om det för varje existerar så att för varje sådan som , gäller följande olikhet: . $f\kolon X\till Y$ $(X,\rho _{X})$ $(Y,\rho _{Y})$ $a$ $\varepsilon >0$ $\delta>0$ $x\i X$ $\rho _{X}(x,a)<\delta$ $\rho _{Y}(f(x),f(a))<\varepsilon$

För normerade linjära rum (inklusive Hilbert och finitdimensionella euklidiska rum) ges metriken av en norm, så samma definition ges i termer av en norm.

Låt, vara en kartläggning mellan normerade rum med normer och resp. En funktion är kontinuerlig vid en punkt om det för något tal finns ett tal så att för alla punkter så att olikheten gäller , $f\kolon {N_{1}}\till {N_{2}}$ $\|{*}\|_{1}$ $\|{*}\|_{2}$ $f$ $a$ $\varepsilon >0$ $\delta>0$ $x\in N_{1}$ $\|xa\|_{1}<\delta$ $\|f(x)-f(a)\|_{2}<\varepsilon$

Metriska utrymmen (och därmed normerade utrymmen) uppfyller det första axiomet för räknebarhet, så denna definition är ekvivalent med definitionen av sekventiell kontinuitet.

Kontinuerliga funktioner (funktioner)

I fallet med en talaxel är normen vanligtvis modulen för talet, så definitionen av kontinuiteten för det funktionella (eller ), där är ett godtyckligt topologiskt utrymme , är som följer: $f:X\högerpil {\mathbb {R}}$ $\mathbb {C}$ $X$

En funktion kallas kontinuerlig vid en punkt om det för någon finns en grannskap till denna punkt så att villkoret är uppfyllt . $f$ $a\in X$ $\varepsilon >0$ $\Sigma _{a}$ $\forall x\in \Sigma _{a}$ $|f(x)-f(a)|<\varepsilon$

Uppsättningen av funktionaliteter (funktioner) kontinuerligt på betecknas vanligtvis med . Ett specialfall av kontinuerliga funktionaler är kontinuerliga funktioner av ett numeriskt argument. $X$ $C(X)$

Kontinuerlig numerisk funktion

Låt (eller ). En funktion är kontinuerlig vid en punkt om det för något tal finns ett tal så att villkoret för alla punkter innebär . $f\colon {\mathbb {R}}\supset E\to {\mathbb {R}}$ $\mathbb {C}$ $f$ $a$ $\varepsilon >0$ $\delta>0$ $x\i E$ $|xa|<\delta$ $|f(x)-f(a)|<\varepsilon$

Med andra ord, en funktion är kontinuerlig vid en gränspunkt för mängden om den har en gräns vid en given punkt och denna gräns sammanfaller med värdet på funktionen vid en given punkt: $f$ $a$ $E$

f\in C(\{a\})\Leftrightarrow \lim \limits _{{x\to a}}f(x)=f(a)

En funktion är kontinuerlig på en uppsättning om den är kontinuerlig vid varje punkt i den givna uppsättningen. I det här fallet säger de att klassen fungerar och skriver: eller, mer detaljerat, . $f$ $E$ $f$ $C^{0}$ $f\in C^{0}(E)$ $f\in C^{0}(E,\mathbb {R} )$

Egenskaper för kontinuerliga mappningar

Den fullständiga förbilden av alla öppna (stängda) uppsättningar under en kontinuerlig mappning är en öppen (stängd) uppsättning

Bilden av en kompakt uppsättning under en kontinuerlig mappning är en kompakt uppsättning .

En kontinuerlig numerisk funktion på en kompakt uppsättning är begränsad och når sina övre och nedre gränser . Denna egenskap följer av den föregående.

Bilden av en ansluten uppsättning under en kontinuerlig mappning är en ansluten uppsättning .

Tietzes sats . Varje kontinuerlig funktion med verkligt värde definierad på en sluten delmängd av ett normalt utrymme kan utökas till en kontinuerlig funktion i hela utrymmet.

Sammansättningen av kontinuerliga mappningar är också en kontinuerlig mappning.
Summan, skillnaden och produkten av kontinuerliga verkliga funktioner är kontinuerliga.
Kontinuiteten i en linjär kartläggning från ett linjärt topologiskt rum till ett annat antyder dess begränsning. I fallet med normerade utrymmen är kontinuiteten i en linjär mappning ekvivalent med dess avgränsning.
Stone-Weierstrass-satsen (en generalisering av den klassiska Weierstrass-satsen ). Låt vara ett utrymme av kontinuerliga funktioner på ett kompakt Hausdorff topologiskt utrymme . Låta vara en delmängd som innehåller konstanter, stängd med avseende på sammansättning och linjär kombination av funktioner, och som också innehåller gränserna för dess enhetligt konvergerande sekvenser av funktioner. I det här fallet, om och endast om , existerar så att . $C(X)$ $X$ $B(X)$ $C(X)$ $B(X)=C(X)$ $\forall x_{1},x_{2}\i X$ $f\in B$ $f(x_{1})\not =f(x_{2})$

Relaterade definitioner

En homeomorfism är en kontinuerlig en-till-en kartläggning från ett topologiskt utrymme till ett annat med också en kontinuerlig invers kartläggning.
Enhetlig kontinuitet

Se även

Länkar

Matematiska etuder Arkiverade 18 oktober 2011 på Wayback Machine Cartoon om kontinuitet

Anteckningar

↑ I matematisk analys formuleras begreppet kontinuitet först lokalt , någon gång, och kontinuitet på en mängd definieras som kontinuitet vid varje punkt i den givna mängden.

Litteratur

Kelly JL Kapitel 3. Produkter och faktorrum // Allmän topologi = Allmän topologi. - 2:a uppl. - M . : Nauka, 1981. - S. 119-151. — 438 sid.