Avslappningsmetod

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 23 november 2021; verifiering kräver 1 redigering .

Relaxationsmetoden (av lat. relaxatio här "reduktion") är en iterativ metod för att lösa system av linjära algebraiska ekvationer .

Beskrivning av metoden

System av linjära ekvationer

$\left\{ \begin{matrix} a_{11}x_1 + \ldots + a_{1n}x_n & = & b_1\\ a_{21}x_1 + \ldots + a_{2n}x_n & = & b_2\\ & \ldots & \\ a_{n1}x_1 + \ldots + a_{nn}x_n & = & b_n\\ \end{matris} \right.$

reducerat till formen [1]

$\left\{{\begin{matrix}P_{11}x_{1}+P_{12}x_{2}+\ldots +P_{1n}x_{n}+c_{1}&=&0 \\&\ldots &\\P_{n1}x_{1}+P_{n2}x_{2}+\ldots +P_{nn}x_{n}+c_{n}&=&0\\\end{ matris}}\höger.$

var , . Det vill säga alla = -1. $P_{ij}=-{\frac {a_{ij}}{a_{ii}}}$ $c_i = \frac{b_i}{a_{ii}}$ ${\displaystyle P_{ii))$

Rester finns : $R_{j}$

$\left\{{\begin{matrix}R_{1}^{(0)}&=&c_{1}-x_{1}^{(0)}+\sum \limits _{j=2 }^{n}P_{1j}x_{j}^{(0)}\\R_{2}^{(0)}&=&c_{2}-x_{2}^{(0)}+\ summa \limits _{j=1,j\neq 2}^{n}P_{2j}x_{j}^{(0)}\\&\ldots &\\R_{n}^{(0)} &=&c_{n}-x_{n}^{(0)}+\sum \limits _{j=1}^{n-1}P_{nj}x_{j}^{(0)}\\ \end{matris}}\right.$

Den initiala uppskattningen är vald . Vid varje steg är det nödvändigt att ställa in den maximala avvikelsen till noll: . $X^{(0)} = 0$ $R_{s}^{(k)}=\delta x_{s}^{(k)}\Rightarrow R_{s}^{(k+1)}=0,R_{i}^{( k+1)}=R_{i}^{(k)}+P_{är}\delta x_{s}^{(k)}$

Stoppvillkor: . $|R_j^{(k)}| < \varepsilon, \forall j = \overline{1, n}$

Svaret ges av formeln: . $x_i \approx x_i^{(0)} + \sum_j \delta x_i^{(j)}$

Anteckningar

↑ Salvadori M.J. Numeriska metoder inom teknik. - M. , Vuzovskaya kniga, 2007. - ISBN 5-9502-0186-8 - sid. 36-42

Metoder för att lösa SLAE
Direkta metoder	Matrismetod Gauss metod Gauss-Jordan-metoden Cramer metod LU-nedbrytning Cholesky nedbrytning Sopa metod
Iterativa metoder	Jacobi metod Gauss-Seidel-metoden Iterationsmetod Avslappningsmetod Konjugerad gradientmetod Bikonjugerad gradientmetod Stabiliserad bikonjugatgradientmetod
Allmän	invers matris Projektionsmetoder för att lösa SLAE Förkonditionering