Delbarhet

Delbarhet är ett av de grundläggande begreppen i aritmetik och talteori som är förknippat med divisionsoperationen . Ur mängdteorin är delbarheten av heltal en relation definierad på mängden heltal .

Definition

Om det för något heltal och ett heltal finns ett sådant heltal , så säger de att talet är delbart med eller som delar $a$ $b$ $q$ $bq=a,$ $a$ $b$ $b$ $a.$

I det här fallet kallas talet för talets divisor , utdelningen blir en multipel av talet , och talet kallas kvoten för att dividera med . $b$ $a$ $a$ $b$ $q$ $a$ $b$

Även om egenskapen delbarhet definieras på hela uppsättningen av heltal , är det vanligtvis bara delbarheten av naturliga tal som beaktas . I synnerhet räknar funktionen av antalet divisorer av ett naturligt tal endast dess positiva divisorer.

Notation

$a\,\vdots \,b$ betyder [1] , som är delbart med , eller att talet är en multipel av . $a$ $b$ $a$ $b$

$b/mitten av a$ betyder att delar , eller, vad är samma: - divisor . $b$ $a$ $b$ $a$

Relaterade definitioner

Varje naturligt tal större än 1 har minst två naturliga delare: 1 och själva talet. I det här fallet kallas naturliga tal som har exakt två divisorer primtal , och de med fler än två divisorer kallas sammansatta . Enheten har exakt en divisor och är varken primtal eller sammansatt.
Varje naturligt tal större än har minst en primtalsdelare . $ett$
En riktig divisor för ett tal är vilken divisor som helst förutom själva talet. Primtal har exakt en riktig divisor, en.
Begreppet triviala divisorer används också : detta är själva talet och enheten. Således kan ett primtal definieras som ett tal som inte har några andra divisorer än triviala.
Oavsett delbarheten av ett heltal med ett heltal kan ett tal alltid delas med med en rest , det vill säga representeras som: $a$ $b\neq 0$ $a$ $b$ $a=b\,q+r,$ var . $0\leqslant r<|b|$

I denna relation kallas talet den ofullständiga kvoten , och talet är resten av divisionen med . Både kvoten och resten är unikt definierade.

q

r

a

b

Ett tal är jämnt delbart med om och endast om resten av division med är noll.

a

b

a

b

Alla tal som delar båda och kallas deras gemensamma divisor ; det största av dessa tal kallas den största gemensamma divisorn . Varje par av heltal har minst två gemensamma delare: och . Om det inte finns några andra gemensamma divisorer kallas dessa tal relativt primtal . $a$ $b$ $+1$ $-ett$
Två heltal och sägs vara lika delbart med ett heltal om antingen och , och är delbart med , eller varken , eller är delbart med det. $a$ $b$ $m$ $a$ $b$ $m$ $a$ $b$
Ett tal sägs vara en multipel av ett tal om det är delbart med utan rest. Om ett tal är delbart utan rest med tal och , då kallas det deras gemensamma multipel . Det minsta naturliga talet kallas den minsta gemensamma multipeln av talen och . $a$ $b$ $a$ $b$ $c$ $a$ $b$ $c$ $a$ $b$

Egenskaper

Obs: Alla formler i det här avsnittet antar att det är heltal.

a,\,b,\,c

Alla heltal är en nolldelare och kvoten är noll:

\quad0\,\vdots\,a.

Vilket heltal som helst är delbart med ett:

\quad a\,\vdots\,1.

Endast noll är delbart med noll:

a\,\vdots \,0\quad \Högerpil \quad a=0

och kvoten är inte definierad i detta fall.

En är bara delbar med en:

1\,\vdots \,a\quad \Högerpil \quad a=\pm 1.

För vilket heltal som helst finns det ett heltal för vilket $a\neq 0$ $b\neq a,$ $b\,\vdots\,a.$

Om och då Det följer också att om och då $a\,\vdots \,b$ $\left|b\right|>\left|a\right|,$ $a\,=\,0.$ $a\,\vdots \,b$ $a\neq 0$ $\left|a\right|\geqslant \left|b\right|.$

För att vara nödvändig och tillräcklig för att $a\,\vdots \,b$ $\left|a\right|\vdots \left|b\right|.$

Om då $a_{1}\,\vdots \,b,\,a_{2}\,\vdots \,b,\,\dots ,\,a_{n}\,\vdots \,b,$ $\left(a_{1}+a_{2}+\dots +a_{n}\right)\,\vdots \,b.$

Delbarhetsrelationen för naturliga tal är en relation av icke-strikt ordning och i synnerhet är det:
- reflexmässigt , det vill säga vilket heltal som helst är delbart med sig självt: $\quad a\,\vdots \,a.$
- transitiv , alltså om och då $a\,\vdots \,b$ $b\,\vdots\,c,$ $a\,\vdots\,c.$
- antisymmetrisk , dvs om och då $a\,\vdots \,b$ $b\,\vdots\,a,$ $a\,=\,b.$

I heltalssystemet gäller endast de två första av dessa tre egenskaper; till exempel, och men . Det vill säga, delbarhetsförhållandet för heltal är bara en förbeställning .

2\,\vdots-2

-2\,\vdots \,2,

2\neq -2

Antal divisorer

Antalet positiva delare av ett naturligt tal , vanligtvis betecknat är en multiplikativ funktion , för vilken den asymptotiska Dirichlet-formeln är sann : $n,$ $\tau(n),$

\sum _{n=1}^{N}\tau (n)=N\ln N+(2\,\gamma -1)N+O\left(N^{\theta}\right).

Här är Euler-Mascheroni-konstanten , och för Dirichlet har detta resultat förbättrats många gånger om och är för närvarande det mest kända resultatet (erhölls 2003 av Huxley). Det minsta värdet av , där denna formel kommer att förbli sann, är dock okänt (det är bevisat att det inte är mindre än ). [2] [3] [4] $\gamma$ $\theta$ ${\frac {1}{2}}.$ $\theta ={\frac {131}{416}}$ $\theta$ ${\frac {1}{4))$

I detta fall växer medeldelaren för ett stort antal n i genomsnitt som , vilket upptäcktes av A. Karatsuba [5] . Enligt datoruppskattningar av M. Korolev . ${\frac {c_{1}n}{{\sqrt {\ln n))))$ $c_{1}={\frac {1}{\pi }}\prod _{p}\left({\frac {p^{3/2}}{\sqrt {p-1}}} \ln \left(1+{\frac {1}{p}}\right)\right)\approx 0{,}7138067$

Generaliseringar

Begreppet delbarhet generaliserar till godtyckliga ringar , såsom Gaussiska heltal eller en polynomring .

Se även

Länkar

Video om delbarhet

Anteckningar

↑ Vorobyov, 1988 , sid. 7.
↑ A. A. Bukhshtab. Talteori . - M . : Utbildning, 1966.
↑ I. M. Vinogradov. Analytisk talteori // Matematisk uppslagsverk. — M.: Sovjetiskt uppslagsverk . - 1977-1985. (ryska)
↑ Weisstein, Eric W. Dirichlet Divisor Problem (engelska) på Wolfram MathWorld- webbplatsen .
↑ V. och Arnold. Dynamik, statistik och projektiv geometri för Galois-fält. - M. : MTSNMO, 2005. - S. 70. - 72 sid.

Litteratur

Vinogradov I.M. Fundamentals of Number Theory. M.-L.: Stat. ed. teknisk och teoretisk litteratur, 1952, 180 sid.
Vorobyov N. N. Tecken på delbarhet . - 4:e uppl. - M. : Nauka, 1988. - T. 38. - 96 sid. - ( Populära föreläsningar om matematik ). — ISBN 5-02-013731-6 .
Delbarhet // Encyclopedic Dictionary of a Young Mathematician / Comp. A.P. Savin. - M . : Pedagogy , 1985. - S. 95 . — 352 sid.

Ordböcker och uppslagsverk	Stor dansk Britannica (online)

Tal efter delbarhetsegenskaper
Allmän information	Faktorisering av heltal Delbarhet enhetsdelare Delningsfunktion primtal Grundläggande sats för aritmetik Aritmetiskt tal
Faktoriseringsformer	primtal Sammansatt tal Semiprime rektangulärt tal Sfeniskt tal Kvadratlöst tal Full multipel Perfekt examen Achilles nummer jämnt antal Vanligt nummer grovt antal ovanligt antal
Med begränsade delare	perfekt nummer Lite otillräckliga siffror Lite överflödiga siffror Multiperfekt nummer Hemiperfekta siffror hyperperfekt siffra super perfekt nummer enhetligt primtal semiperfekt nummer pararytmiskt tal Erdős-Nicolas nummer
Tal med många delare	Överskjutande siffror Primitiva överskottstal Mycket redundanta nummer Superredundanta nummer Enormt överflödiga siffror superkompositnummer Ett mycket supersammansatt tal konstigt nummer
Relaterat till alikvotsekvenser	heligt nummer vänliga siffror offentliga nummer Kvasivänliga siffror
Övrig	Inte tillräckligt med siffror kompisnummer sublimerade tal Malmnummer ödmjukt nummer Lika siffror extravagant nummer