Noll till noll makt

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 23 september 2021; kontroller kräver 17 redigeringar .

Uttrycket 0⁰ ( noll till nollpotensen ) anses av många läroböcker vara vagt och meningslöst [1] [2] . Detta beror på det faktum att en funktion av två variabler i en punkt har en irreducerbar diskontinuitet . I själva verket längs den positiva riktningen på axeln där den är lika med ett, och längs den positiva riktningen på axeln där den är lika med noll. Därför kan ingen konvention om värdet 0⁰ ge en funktion som är kontinuerlig vid noll. ${\displaystyle f(x,y)=x^{y))$ $(0, 0)$ $x,$ $y=0,$ $Y,$ $x=0,$

Överenskommelse 0 0 = 1: Förespråkarnas argument

Vissa författare föreslår att man accepterar överenskommelsen att den är lika med 1. Flera argument förs för detta alternativ. Till exempel expansionen till en serie av exponenten: $0^{0}$

e^{x}=1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!)}}

kan skrivas kortare om vi accepterar : $0^{0}=1$

e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!)}}

(konventionen i fråga används när ). $x=0,\ n=0$

Om 0 hänvisar till naturliga tal , kan höjning till en naturlig potens definieras enligt följande:

a^{n}=1\cdot \underbrace {a\cdot a\cdot \ldots \cdot a} _{n},

och att sedan höja valfritt tal (inklusive noll) till nollpotensen ger 1.

En annan motivering för överenskommelsen bygger på Bourbakis "Mängdteori" [3] : antalet olika mappningar av en n - elementmängd till ett m - element ett är lika med när vi får en mappning från en tom mängd till en tom en, och den är unik. Detta kan naturligtvis inte betraktas som ett bevis (konventionerna behöver inte bevisas), särskilt eftersom själva konventionen inte används i mängdlära. $0^{0}=1$ $m^{n},$ $m=n=0$ $0^{0}=1$

I vilket fall som helst är konventionen rent symbolisk, och den kan inte användas i vare sig algebraiska eller analytiska transformationer på grund av funktionens diskontinuitet vid denna tidpunkt. I ljuset av modern matematisk analys är det inte alls lämpligt att tala om en överenskommelse i detta fall, detta uttryck kan och bör endast förstås i betydelsen av den begränsande övergången i avslöjandet av osäkerhet. Ett exempel för analytiska beräkningar: uttrycket där är ett godtyckligt positivt reellt tal. När vi får typosäkerhet och , om vi inte skiljer mellan den begränsande formen (där var och en av nollorna anger tendensen till noll) och värdet (där var och en av nollorna är noll), kan vi felaktigt anta att gränsen är 1 Faktum är att detta uttryck är identiskt lika med Detta betyder att en infinitesimal till en infinitesimal potens kan, i gränsen, ge vilket värde som helst, inte nödvändigtvis ett. Liknande misstag kan göras om konventionen används i algebraiska transformationer. $0^{0}=1$ $(a^{-1/t})^{t},$ $a$ $t\to 0$ $0^{0},$ $0^{0}$ $0^{0}$ $a^{-1}.$

Historia om olika synpunkter

Debatten om definitionen har pågått sedan åtminstone början av 1800-talet. Många matematiker accepterade sedan konventionen , men 1821 räknades Cauchy [4] till osäkerheter som På 1830-talet publicerade Libri [5] [6] ett föga övertygande argument för (se Heaviside funktion § Historia ), och Möbius [7 ] ställde sig på hans sida och förklarade felaktigt att närhelst . Recensenten, som skrev under sitt namn helt enkelt som "S", gav ett motexempel , vilket lugnade debatten lite. Fler historiska detaljer finns i Knuth (1992) [8] . $0^{0}$ $0^{0}=1$ $0^{0}$ ${\frac {0}{0)).$ $0^{0}=1$ $\lim _{t\to 0^{+}}f(t)^{g(t)}=1$ $\lim _{t\to 0^{+}}f(t)=\lim _{t\to 0^{+}}g(t)=0$ ${\displaystyle (e^{-1/t})^{t))$

Senare författare tolkar situationen ovan på olika sätt. Vissa hävdar att det bästa värdet för beror på sammanhanget, och därför är det problematiskt att definiera det en gång för alla [9] . Enligt Benson (1999), "Valet att bestämma är baserat på bekvämlighet snarare än korrekthet. Om vi avstår från att definiera , då blir vissa påståenden onödigt besvärliga. <...> Konsensus är att använda definitionen , även om det finns läroböcker som avstår från att definiera " [10] . $0^{0}$ $0^{0},$ $0^{0}$ $0^{0}=1$ $0^{0}$

Vissa matematiker tycker att det borde definieras som 1. Till exempel säger Knuth (1992) med tillförsikt att " det borde finnas 1", och gör en skillnad mellan värdet på , som borde vara 1, som föreslagits av Libri, och gränsformen ( en förkortning för limit where ), vilket nödvändigtvis är en tvetydighet, som påpekats av Cauchy: "Både Cauchy och Libri hade rätt, men Libri och hans försvarare förstod inte varför sanningen var på deras sida" [8] . $0^{0}$ $0^{0}$ $0^{0}$ $0^{0}$ ${\displaystyle f(x)^{g(x)))$ $f(x),g(x)\to 0$

Den auktoritativa sajten MathWorld , med hänvisning till Knuths åsikt, anger ändå att värdet vanligtvis anses odefinierat, trots att konventionen tillåter att i vissa fall förenkla skrivningen av formler [11] . I Ryssland karaktäriserar den stora ryska uppslagsverket , den stora sovjetiska uppslagsverket , Mathematical Encyclopedic Dictionary, Vygodskys Handbook of Elementary Mathematics, skolböcker och andra källor det otvetydigt som ett uttryck som inte är vettigt (osäkerhet). $0^{0}$ $0^{0}=1$ $0^{0}$

Avslöjande av osäkerhet 0 0

Givet två funktioner och tenderar till noll, då kan gränsen i det allmänna fallet, som visas ovan, vara vad som helst. Så ur denna synvinkel är en osäkerhet. För att hitta gränsen i det här fallet använder de metoderna för avslöjande av osäkerhet , som regel, först tar de logaritmen för det givna uttrycket: , och använder sedan L'Hopital-regeln . $f(x)$ $g(x)$ ${\displaystyle f(x)^{g(x)))$ $0^{0}$ ${\displaystyle f(x)^{g(x)))$ ${\displaystyle \ln \left(f(x)^{g(x)}\right)={\frac {g(x)}{\frac {1}{\ln f(x)))))$

Under vissa förutsättningar kommer dock denna gräns alltid att vara lika med en. Nämligen, om funktionerna och är analytiska vid en punkt (det vill säga i vissa grannskap sammanfaller punkterna med deras Taylor-serie ), och , och i en grannskap , då är gränsen som den högra tenderar mot noll lika med 1 [12] [13] [14] . $f$ $g$ $0$ $0$ $f(0)=g(0)=0$ $f(x)>0$ $(0,\delta )$ ${\displaystyle f(x)^{g(x)))$ $x$

Till exempel, på detta sätt kan du omedelbart verifiera det

\lim _{x\to 0^{+}}x^{x}=1,

\lim _{x\to 0^{+}}(\sin x)^{\operatörsnamn {tg} x}=1,

\lim _{x\to 0^{+}}\left(e^{x+1}-e\right)^{x}=1.

Samtidigt bör man inte glömma att om åtminstone en av funktionerna inte expanderar till en Taylor-serie vid punkten 0 eller är identiskt lika med 0, så kan gränsen vara vad som helst, eller så finns den inte. Till exempel, $f(x)$

\lim _{x\to 0^{+}}x^{a/\ln x}=e^{a},

\lim _{x\to 0^{+}}\left(e^{-1/x}\right)^{x}=e^{-1},

\lim _{x\to 0^{+}}0^{x}=0.

Komplext fall

För komplexa tal är uttrycket för ]somdefinierasochflervärdigtförformen . $u, v$ $u^{v}$ $u\neq 0$ $e^{v\operatörsnamn {Ln} u}$ $\operatorname {Ln} 0$ $0^{0},$ $0^{z},$ $z\neq 0$ $0^{z}=0$

I datorer

IEEE 754-2008-standarden , som beskriver formatet för att representera flyttal , definierar tre exponentieringsfunktioner [18] :

Funktion för att höja till en heltalspotens: . Enligt standarden, för alla , inklusive när det är noll eller oändligt. $\operatörsnamn {pown} (x,y)$ $\operatörsnamn {pown} (x,0)=1$ $x$ $x$ NaN
Funktion för att höja till en godtycklig makt: - väsentligen lika med . Returnerar " inte ett nummer " enligt standarden . $\operatörsnamn {power} (x,y)$ ${\displaystyle \exp {\big (}y\ln(x){\big )))$ $\operatörsnamn {powr} (\pm 0,\pm 0)$ NaN
En funktion för att höja till en godtycklig potens, som är specifikt definierad för heltal: . Enligt standarden, för alla (samma som ). Denna konvention som helhet har en rimlig motivering (se nedan), men frågan kan uppstå när . $\operatörsnamn {pow} (x,y)$ $\operatörsnamn {pow} (x,\pm 0)=1$ $x$ $\operatörsnamn {pown} (x,0)$ x=NaN

I många programmeringsspråk är noll till nollpotens lika med 1. Till exempel i C++ : pow(0, 0) == 1i Haskell är detta sant för alla tre standardexponentieringsoperationer: 0^0 == 1, 0^^0 == 1, 0**0 == 1. Detsamma gäller den vanliga MS Windows-kalkylatorn.

Även om det är välkänt att detta är en tvetydighet, är beteendet hos vissa funktioner som återkommer i det här fallet inte resultatet av en överenskommelse eller ett fel, det har en logik. Faktum är att i datoraritmetik är numeriska data uppdelade i heltal och reellt. Detta kan implicit användas i vissa funktioner som implementerar exponentieringsoperationen. Detta görs till exempel i Windows-kalkylatorn och fungerar i C++. Olika algoritmer används för heltalsexponenter och reella exponenter, och exponentieringsfunktionen analyserar exponenten: om det är ett heltal beräknas exponenten enligt en annan algoritm, där negativa och nollbaser för exponenten är tillåtna. Om exponenten tillhör mängden heltal och är lika med 0, och basen är ett reellt tal, bör operationen endast definieras som . Eftersom 0 i exponenten är exakt, gäller passagen till gränsen endast basen och (till skillnad från fallet när exponenten också är reell) är unikt definierad och lika med . Det föregående gäller fullt ut vid beräkning av uttrycket . $0^{0}$ $ett$ pow $0^{0}$ $\lim _{x\to 0}x^{0}$ $ett$ ${\displaystyle (\pm \infty )^{0))$

Litteratur

Maktfunktion // Stor sovjetisk uppslagsbok . - M . : Soviet Encyclopedia, 1969-1978.
Kraftfunktion // Great Russian Encyclopedia : [i 35 volymer] / kap. ed. Yu. S. Osipov . - M . : Great Russian Encyclopedia, 2004-2017.

Anteckningar

↑ BRE .
↑ TSB, 1969-1978 : “För kraftfunktionen ... är inte definierad för ; är ingen mening." $x=0$ $x^{a}$ $a<0$ $0^{0}$
↑ N. Bourbaki . Mängdteori // Elements of Mathematics, Springer-Verlag, 2004, III, § 3.5.
↑ Augustin-Louis Cauchy . Cours d'Analyse de l'École Royale Polytechnique (1821). I hans Oeuvres Complètes , serie 2, volym 3.
↑ Guillaume Libri . Note sur les valeurs de la fontction 0 0 x , Journal für die reine und angewandte Mathematik 6 (1830), 67-72.
↑ Guillaume Libri . Mémoire sur les fonctions upphör, Journal für die reine und angewandte Mathematik 10 (1833), 303-316.
↑ A. F. Mobius. Beweis der Gleichung 0 0 = 1, nach JF Pfaff (tyska) // Journal für die reine und angewandte Mathematik : magazin. - 1834. - Bd. 12 . - S. 134-136 .
↑ 1 2 Donald E. Knuth, Two notes on notation, Amer. Matematik. Månatlig 99 nr. 5 (maj 1992), 403-422 (arXiv: math/9205211 Arkiverad 20 november 2018 på Wayback Machine [math.HO]).
↑ Till exempel: Edwards och Penny (1994). Calculus , 4:e upplagan, Prentice-Hall, sid. 466; Keedy, Bittinger och Smith (1982). Algebra två . Addison-Wesley, sid. 32.
↑ Donald C. Benson, Bevisets ögonblick: Matematiska uppenbarelser . New York Oxford University Press (UK), 1999. ISBN 978-0-19-511721-9 .
↑ Weisstein, Eric W. Power . wolfram mathworld . Hämtad 5 oktober 2018. Arkiverad från originalet 12 september 2018. (obestämd)
↑ Louis M. Rotando; Henry Korn. Den obestämda formen 0 0 // Matematik Tidskrift : tidskrift . - 1977. - Januari ( vol. 50 , nr 1 ). - S. 41-42 . - doi : 10.2307/2689754 .
↑ sci.math FAQ: Vad är 0^0? . www.faqs.org. Hämtad 30 augusti 2019. Arkiverad från originalet 2 december 2010. (obestämd)
↑ Leonard J. Lipkin. På den obestämda blanketten 0 0 // The College Mathematics Journal. - 2003. - T. 34 , nr. 1 . - S. 55-56 . — ISSN 0746-8342 . - doi : 10.2307/3595845 . Arkiverad från originalet den 13 oktober 2019.
↑ "Eftersom log(0) inte existerar är 0 z odefinierad. För Re( z ) > 0 definierar vi det godtyckligt som 0". ( George F. Carrier, Max Krook och Carl E. Pearson , Functions of a Complex Variable: Theory and Technique, 2005, s. 15).
↑ "För z = 0 , w ≠ 0 , definierar vi 0 w = 0 , medan 0 0 inte är definierad". Mario Gonzalez , Classical Complex Analysis, Chapman & Hall, 1991, sid. 56.
↑ "Låt oss börja med x = 0 . Här är x x odefinierat". Mark D. Meyerson , The x x Spindle, Mathematics Magazine 69 , nr. 3 (juni 1996), 198-206.
↑ IEEE Computer Society. IEEE-standard för flytpunktsaritmetik § 9.2.1 : journal . — IEEE, 2008. — 29 augusti. - ISBN 978-0-7381-5753-5 . - doi : 10.1109/IEEEESTD.2008.4610935 .