Rationella rotteorem

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 22 november 2021; kontroller kräver 4 redigeringar .

I algebra definierar satsen för rationella rötter (även testet för rationella rötter ) ett ramverk för de rationella rötterna till ett polynom av formen:

$a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{0}=0$

med heltalskoefficienter och . _ $a_{i}$ $a_{0},a_{n}\neq 0$

Satsen säger att varje rationell rot , där och är samprimtal , uppfyller villkoret att $x=p/q$ $sid$ $q$

$sid$ är en divisor av den fria termen , $a_{0}$

$q$ är divisor för den ledande koefficienten . $en$

Den rationella rotsatsen är ett specialfall av Gauss lemma .

Applikation

Satsen används för att hitta alla rationella rötter till ett polynom, om det finns några. Med dess hjälp bestäms ett ändligt antal möjliga lösningar som ska testas genom substitution. Om en rationell rot hittas kan det ursprungliga polynomet delas utan rest med för att erhålla ett polynom av mindre grad vars rötter också är rötterna till det ursprungliga polynomet. $x=r$ $xr$

Kubikekvation

Kubikekvation i allmän form:

$ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$

med heltalskoefficienter har tre lösningar i komplexa tal . Om testet för rationella rötter inte avslöjar några, är det enda sättet att uttrycka lösningar att använda kubrötter . Men om åtminstone en rationell lösning r hittas leder omsättning av ( x - r) inom parentes till en andragradsekvation , som kan lösas genom diskriminanten .

Bevis

Låta:

$P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0},a_{0 },...a_{n}\in Z$ .

Antag att för vissa coprime heltal och : $P(p/q)=0$ $sid$ $q$

$P\left({\frac {p}{q}}\right)=a_{n}\left({\frac {p}{q}}\right)^{n}+a_{n- 1}\left({\frac {p}{q}}\right)^{n-1}+...+a_{1}\left({\frac {p}{q}}\right)+ a_{0}=0$ .

Om vi multiplicerar båda sidor av ekvationen med , tar ut parenteser och överför den fria termen med motsatt tecken till höger sida av ekvationen, får vi: $q^{n}$ $sid$

$p(a_{n}p^{n-1}+a_{n-1}qp^{n-2}+...+a_{1}q^{n-1})=-a_ {0}q^{n}$ .

Det kan ses att det är en divisor . Men och är coprimtal, vilket betyder att det också måste vara en divisor . $sid$ ${\displaystyle a_{0}q^{n))$ $sid$ $q$ $sid$ $a_{0}$

Om vi tvärtom överför den ledande termen till höger sida av ekvationen och sätter den inom parentes, får vi: $q$

$q(a_{n-1}p^{n-1}+a_{n-2}qp^{n-2}+...+a_{0}q^{n-1})= -a_{n}p^{n}$ .

Låt oss dra en slutsats om delbarhet med [1] . $en$ $q$

Exempel

Exempel 1

Varje rationell rot av ett polynom

$2x^{3}+x-1$

måste ha en divisor på ett i täljaren och en divisor på två i nämnaren. Således är de möjliga rationella rötterna och . Men ingen av dem vänder uttrycket till noll, därför har polynomet inga rationella rötter. $\pm {\frac {1}{2))$ $\pm 1$

Exempel 2

Varje rationell rot av ett polynom

$x^{3}-7x+6$

måste ha en divisor på sex i täljaren och en divisor på en i nämnaren, från vilken de möjliga rötterna är . Av dessa , och vrid uttrycket till noll, vilket är rötterna till polynomet. $\pm 1,\pm 2,\pm 3,\pm 6$ $ett$ $2$ $-3$

Anteckningar

↑ Arnold, Denise. 4 enheter matematik . - Melbourne: Edward Arnold, 1993. - 306 sidor sid. - ISBN 0340543353 , 9780340543351.

Litteratur

Miller CD, Lial ML, Schneider DI Fundamentals of college algebra . — 3:e upplagan. — Scott & Foresman/Little & Brown Higher Education, 1990. — S. 216–221 . - ISBN 0-673-38638-4 .
Jones PS, Bedient JD De historiska rötterna till elementär matematik . - Dover Courier Publications, 1998. - S. 116-117. — ISBN 0-486-25563-8 .
Larson R. Calculus: en tillämpad metod . - Cengage Learning, 2007. - S. 23–24. - ISBN 978-0-618-95825-2 .