Segre bilaga

Segre-inbäddningen används i projektiv geometri för att behandla den direkta produkten av två projektiva utrymmen som ett projektivt grenrör . Uppkallad efter den italienske matematikern Beniamino Segre [1] .

Definition

Segre-mappningen definieras som mappningen

\sigma :P^{n}\ gånger P^{m}\till P^{{(n+1)(m+1)-1}},\

som skickar ett ordnat par av punkter till en punkt vars homogena koordinater är de parvisa produkterna av de homogena koordinaterna för de ursprungliga punkterna (skrivna i lexikografisk ordning ):

\sigma :([x_{0}:x_{1}:\cdots :x_{n}],[y_{0}:y_{1}:\cdots :y_{m}])\mapsto [x_{0 }y_{0}:x_{0}y_{1}:\cdots :x_{i}y_{j}:\cdots :x_{n}y_{m}].\

Bilden av denna kartläggning är en projektiv variant som kallas en Segre-variant .

Beskrivning på språket för linjär algebra

Enligt den universella egenskapen för tensorprodukten , för vektorutrymmena U och V (över samma fält k ), finns det en naturlig mappning från deras kartesiska produkt till tensorprodukten :

\varphi :U\ gånger V\till U\otider V.\

Som regel är denna mappning inte injektiv eftersom för alla , och icke-noll $u\i U$ $v\in V$ $c\in k,$

\varphi (u,v)=u\otimes v=cu\otimes c^{{-1}}v=\varphi (cu,c^{{-1}}v).\

Kartläggningen inducerar en morfism av projektiviseringar av motsvarande linjära utrymmen: $\varphi$

\sigma :P(U)\ gånger P(V)\till P(U\o gånger V).\

Denna morfism är inte bara en injektiv mappning i betydelsen mängdteori , den är också en sluten nedsänkning i betydelsen algebraisk geometri (detta betyder att bilden av en mappning kan ges som mängden nollor i ett system av polynomekvationer). Detta förklarar anledningarna till att denna kartläggning kallas Segre-inbäddningen .

Det är lätt att beräkna dimensionerna för motsvarande utrymmen: om sedan och sedan projektivisering minskar dimensionerna med en, motsvarar detta fall kartläggningen ${\mathrm {dim}}\;U=n+1,\;{\mathrm {dim}}\;V=m+1,$ ${\mathrm {dim}}\;(U\otimes V)=mn+m+n+1,$ ${\mathbb P}^{n}\ gånger {\mathbb P}^{m}\till {\mathbb P}^{{nm+n+m)).$

Egenskaper

Om vi betecknar de homogena koordinaterna på bilden av Segre-inbäddningen som och skriver dem som en matris , så kommer Segre-grenröret att innehålla exakt "matriser" av rang 1, det vill säga matriser där alla mindreåriga i storlek är lika med noll. Således definieras Segre-grenröret som uppsättningen av vanliga nollor av formens ekvationer $z_{{ij}}$ $2 gånger 2$

z_{{i,j}}z_{{k,l}}-z_{{i,l}}z_{{k,j}},\

var

i\neq k,j\neq l.

Fibrerna i ett Segre-grenrör (det vill säga uppsättningar av formen eller för en fast punkt ) är linjära delrum i bilden. $\sigma (\cdot ,p)$ $\sigma (p,\cdot )$ $sid$

Exempel

Quadric

I fallet n = m = 1 är Segre-avbildningen inbäddningen av produkten av den projektiva linjen och sig själv i ett tredimensionellt projektivt utrymme. I homogena koordinater är bilden av denna mappning uppsättningen av lösningar av den algebraiska ekvationen

\det \left({\begin{matrix}z_{0}&z_{1}\\z_{2}&z_{3}\end{matrix}}\right)=z_{0}z_{3}-z_{ 1}z_{2}=0.

Sålunda, i ett komplext projektivt utrymme, är en Segre-variant en vanlig quadric utan singulariteter. I ett verkligt projektivt utrymme är detta en quadric av signatur i affina koordinater; det motsvarar en enarkshyperboloid och en hyperbolisk paraboloid . Båda dessa kvadricker är exempel på styrda ytor . $(2.2),$

Veronese sort

Bilden av diagonalen under Segre-mappningen är en veronesisk variant av grad två: $\Delta \subset P^{n}\ gånger P^{n}$

\nu _{2}:P^{n}\till P^{{n^{2}+2n}}.\

Anteckningar

↑ Segre inbäddning // Mathematical Encyclopedia (i 5 volymer). - M . : Soviet Encyclopedia , 1984. - T. 4. - S. 1101.

Litteratur

Harris J. Algebraisk geometri. Inledande kurs. — M.: MTsNMO, 2005.
Hassett, Brendan (2007) Introduction to Algebraic Geometry, sid 154, Cambridge University Press - ISBN 978-0-521-87094-8 .