Liouvilles teorem om avgränsade hela analytiska funktioner

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 26 september 2021; kontroller kräver 2 redigeringar .

Liouvilles sats om avgränsade hela analytiska funktioner: om en hel funktion av komplexa variabler är begränsad, dvs. $F Z)$ $z=(z_{1},\dots ,z_{n})$

|f(z)|\leqslant M<\infty ,

det vill säga en konstant. $F Z)$

Generaliseringar

If är en hel funktion i , och för vissa $F Z)$ ${\mathbb C}^{n}$ $r\in \mathbb {R}$

|f(z)|\leqslant C(1+|z|^{r}),

det vill säga ett polynom i gradvariabler som mest .

F Z)

(z_{1},\dots ,z_{n})

r

Om är en verklig övertonsfunktion i hela talrymden , $u(x)$ $\mathbb {R} ^{n}$

u(x)<C(1+|x|^{r}),

det vill säga ett harmoniskt polynom i variablerna.

u(x)

Historik

Denna proposition, en av de grundläggande i teorin om analytiska funktioner , publicerades tydligen först 1844 av Cauchy för fallet . Liouville förklarade det i föreläsningar 1847 , därav namnet. $n=1$

Bevis (för fallet ) ${\mathbb C}^{1}$

Låt vara avgränsad på det komplexa planet , dvs. $F Z)$

\exists M\,\forall z\,|f(z)|\leqslant M.

Vi använder Cauchy-integralformeln för derivatan : $F Z)$

f'(z)={\frac {1}{2\pi i}}\oint \limits _{C_{R}}{\frac {f(\xi )}{(\xi -z) ^{2}}}\,d\xi ,

där är en cirkel med radie som innehåller punkten , eller . $C_{R}$ $R$ $z$ $|\xi -z|=R$

Vi har

|f'(z)|\leqslant {\frac {1}{2\pi }}{\frac {M}{R^{2}}}2\pi R={\frac {M}{ R}}.

Därför, på grund av det faktum att Cauchy-integralformeln är giltig för alla konturer, har vi , och därför och därför är en konstant. Teoremet har bevisats. $\lim _{R\to \infty }{\frac {M}{R}}=0$ $f'(z)=0$ $F Z)$