Fält (algebra)

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 14 juli 2022; kontroller kräver 4 redigeringar .

Ett fält i allmän algebra är en uppsättning för vars element operationerna addition , med det motsatta värdet , multiplikation och division (förutom division med noll ) definieras, och egenskaperna för dessa operationer är nära egenskaperna för vanliga numeriska operationer . Det enklaste fältet är fältet för rationella tal (bråk). Elementen i ett fält är inte nödvändigtvis siffror, så även om fältoperationsnamnen är hämtade från aritmetic , kan definitionerna av operationerna vara långt ifrån aritmetiska.

Fältet är huvudämnet för studiet av fältteori . Rationella , reella , komplexa tal, rationella funktioner [1] och rester modulo ett givet primtal bildar fält .

Historik

Inom ramen för begreppet ett fält , arbetade Galois implicit 1830 , med hjälp av idén om en algebraisk förlängning av ett fält, lyckades han hitta ett nödvändigt och tillräckligt villkor för att en ekvation i en variabel skulle lösas i radikaler . Senare, med hjälp av Galois-teorin , bevisades omöjligheten att lösa sådana klassiska problem som att kvadrera en cirkel , treskära en vinkel och dubbla en kub .

En explicit definition av fältbegreppet tillskrivs Dedekind (1871), som använde den tyska termen Körper (kropp). Begreppet "fält" ( engelska fält ) introducerades 1893 av den amerikanske matematikern Eliakim Hastings Moore [2] .

Eftersom fältet är det närmaste av alla allmänna algebraiska abstraktioner till vanliga tal, används fältet i linjär algebra som en struktur som universaliserar begreppet en skalär , och huvudstrukturen för linjär algebra, det linjära rummet , definieras som en konstruktion över en godtycklig fält. Även fältteori utgör till stor del den instrumentella grunden för sådana avsnitt som algebraisk geometri och algebraisk talteori .

Formella definitioner

Formellt är ett fält en algebra över en mängd som bildar en kommutativ grupp genom addition över med ett neutralt element och en kommutativ grupp genom multiplikation över icke-nollelement , med den fördelande egenskapen multiplikation med avseende på addition. $F$ $+$ $F$ ${\boldsymbol {0}}$ $F\setminus \{{\boldsymbol {0}}\}$

Om vi utökar definitionen, kallas en mängd med de algebraiska operationerna addition och multiplikation införda på den ( , det vill säga ) ett fält om följande axiom är sanna: $F$ $+$ $*$ $+\kolon F\ gånger F\till F,\quad *\kolon F\ gånger F\till F$ $\förallt a,b\i F\quad (a+b)\i F,\;a*b\i F$ $\left\langle F,+,*\right\rangle$

Kommutativitet för addition: . $\forall a,b\in F\quad a+b=b+a$
Tilläggsassociativitet: . $\forall a,b,c\i F\quad (a+b)+c=a+(b+c)$
Förekomst av ett nullelement: . $\exists {\boldsymbol {0}}\i F\colon \forall a\in F\quad a+{\boldsymbol {0}}=a$
Förekomsten av det motsatta elementet: . $\forall a\i F\;\exists (-a)\i F\colon a+(-a)={\boldsymbol {0))$
Kommutativitet av multiplikation: . $\forall a,b\in F\quad a*b=b*a$
Associativitet av multiplikation: . $\forall a,b,c\in F\quad (a*b)*c=a*(b*c)$
Förekomst av ett enda element: . $\exists e\in F\setminus \{{\boldsymbol {0}}\}\colon \forall a\in F\quad a*e=a$
Existens av inverst element för element som inte är noll: . $(\forall a\in F\colon a\neq {\boldsymbol {0)))\;\exists a^{-1}\in F\colon a*a^{-1}=e$
Multiplikationsfördelning med avseende på addition: . $\forall a,b,c\in F\quad (a+b)*c=(a*c)+(b*c)$

Axiom 1-4 motsvarar definitionen av en kommutativ grupp genom addition över ; axiomen 5-8 motsvarar definitionen av en kommutativ grupp genom multiplikation över ; Axiom 9 förbinder operationerna addition och multiplikation med en distributiv lag. $+$ $F$ $*$ $F\setminus \{{\boldsymbol {0}}\}$

Axiom 1-7 och 9 är definitionen av en kommutativ ring med identitet.

Alla ovanstående axiom, med undantag för kommutativiteten för multiplikation, motsvarar också definitionen av en kropp .

I samband med andra strukturer (historiskt framträdande senare) kan ett fält definieras som en kommutativ ring som är en divisionsring . Strukturhierarkin är som följer:

Kommutativa ringar ⊃ Integritetsdomäner ⊃ Faktoriella ringar ⊃ Huvudsakliga idealdomäner ⊃ Euklidiska ringar ⊃ Fält.

Relaterade definitioner

Över fält introduceras de grundläggande allmänna algebraiska definitionerna på ett naturligt sätt: ett delfält är en delmängd som i sig är ett fält med avseende på begränsningen av operationer från huvudfältet till det, och en förlängning är ett fält som innehåller det givna som ett underfält.

Fälthomomorfismen introduceras också på ett naturligt sätt: som en kartläggning sådan att , och . I synnerhet kan inget inverterbart element under homomorfismen gå till noll, eftersom därför kärnan i varje fälthomomorfism är noll, det vill säga fälthomomorfismen är en inbäddning . $f$ $f(a+b)=f(a)+f(b)$ $f(ab)=f(a)\cdot f(b)$ $f(1)=1$ $f(a)\cdot f(a^{-1})=f(a\cdot a^{-1})=1$

Karakteristiken för fältet är densamma som egenskapen för ringen : det minsta positiva heltal så att summan av kopior av en är noll: $n$ $n$

\underbrace {1+\dots +1} _{n}=n1=0.

Om ett sådant nummer inte finns, anses egenskapen vara lika med noll. Problemet med att bestämma egenskapen löses vanligtvis med begreppet ett enkelt fält - ett fält som inte innehåller sina egna underfält, på grund av det faktum att vilket fält som helst innehåller exakt ett av de enkla fälten.

Galoisfält är fält som består av ett ändligt antal element. Uppkallad efter deras första upptäcktsresande Évariste Galois .

Egenskaper

Fältets egenskap är alltid eller ett primtal . $0$
- Karaktärsfältet innehåller ett underfält som är
isomorft till fältet för rationella tal . $0$ $\mathbb {Q}$
Fältet för en enkel egenskap innehåller ett underfält som är isomorft till fältet av rester . $sid$ $\mathbb {Z} _{p}$

Antalet element i ett ändligt fält är alltid lika med potensen av ett primtal.

p^{n}

Dessutom, för valfritt antal av formen finns det ett unikt (upp till isomorfism ) fält av element, vanligtvis betecknat med . $p^{n}$ $p^{n}$ $\mathbb {F} _{p^{n}}$

Det finns inga nolldelare i fältet .

Varje ändlig undergrupp av en multiplikativ fältgrupp är cyklisk . I synnerhet är den multiplikativa gruppen av element som inte är noll i ett ändligt fält isomorf till .

\mathbb {F} _{q}

\mathbb {Z} _{q-1}

Ur algebraisk geometris synvinkel är fält punkter, eftersom deras spektrum består av exakt en punkt - den ideala {0}. Faktum är att fältet inte innehåller andra riktiga ideal : om ett element som inte är noll tillhör ett ideal, är alla multiplar av det, det vill säga hela fältet, i idealet. Omvänt innehåller en kommutativ ring som inte är ett fält ett icke-inverterbart (och icke-noll) element a . Då sammanfaller inte huvudidealet som genereras av a med hela ringen och finns i något maximalt (och därför enkelt ) ideal; och följaktligen innehåller spektrumet för denna ring åtminstone två punkter.

Fältexempel

Fält med egenskap lika med 0

$\mathbb {Q}$ är rationella tal ,
$\mathbb {R}$ är reella tal ,
$\mathbb {C}$ är komplexa tal ,
$\mathbb {A}$ är algebraiska tal över fältet för rationella tal (ett underfält i fältet ). $\mathbb {C}$
Tal av formen , , i förhållande till de vanliga operationerna för addition och multiplikation. Detta är ett exempel på ett kvadratiskt fält som bildar ett underfält i . $a+b{\sqrt {2}}$ $a,b\in \mathbb {Q}$ $\mathbb {R}$
$\mathbb {F} (x)$ är fältet för rationella funktioner i formen , där och är polynom över något område av karakteristisk 0 (i detta fall , , , och har inga gemensamma divisorer, förutom konstanter). $f(x)/g(x)$ $f$ $g$ $\mathbb {F}$ $g\neq 0$ $f$ $g$

Fält med kännetecken som inte är noll

Alla ändliga fält har en annan egenskap än noll. Sista fältexempel:

$\mathbb {Z} _{p}$ är fältet av rester modulo , där är ett primtal. $sid$ $sid$
$\mathbb {F} _{q}$ är ett ändligt fält av element, där är ett primtal, är ett naturligt tal. Alla finita fält har denna form. $q=p^{k}$ $sid$ $k$

Det finns exempel på oändliga fält med egenskaper som inte är noll.

Se även

Algebraiskt stängt fält

Anteckningar

↑ Lev Dmitrievich Kudryavtsev. Kurs i matematisk analys. Volym 1
↑ De tidigaste kända användningarna av några av orden i matematik (F) . Hämtad 28 september 2019. Arkiverad från originalet 24 januari 2021. (obestämd)

Litteratur

Bourbaki N. Algebra. Del 2. Polynom och fält. Beställda grupper. — M .: Nauka, 1965.
Leng S. Algebra. — M .: Mir, 1968. — 564 sid.
P. Aluffi. Kapitel VII // Algebra: Kapitel 0. - American Mathematical Society, 2009 . - (Forskarstudier i matematik). — ISBN 0-8218-4781-3 .
Galois, Evariste. Sur la théorie des nombres (neopr.) // Bulletin des Sciences mathématiques. - 1830. - T. XIII . - S. 428 .
L. V. Kuzmin. Fält // Mathematical Encyclopedia : [i 5 volymer] / Kap. ed. I. M. Vinogradov . - M . : Soviet Encyclopedia, 1977-1985.

Ordböcker och uppslagsverk	Stor katalanska Stor norsk Stor ryss Britannica (online) Brockhaus