Homogen funktion

En homogen gradfunktion är en numerisk funktion så att för vilken som helst av funktionens domän och för vilken som helst , är likheten sann: $q$ $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ $\mathbf {v} \in \mathbb {R} ^{n}$ $f$ $\lambda \in \mathbb {R}$

f(\lambda \mathbf {v} )=\lambda ^{q}f(\mathbf {v} ).\qquad \qquad (*)

Parametern kallas homogenitetsordningen . Det antyds att om det ingår i funktionens domän så ingår även alla synpunkter i funktionens domän. $q$ $\mathbf {v} \in \mathbb {R} ^{n}$ $\lambda \mathbf {v}$

Det finns också

positivt homogena funktioner för vilka jämlikhet endast gäller för positiva $(*)$ $\lambda$ $(\lambda >0),$
absolut homogena funktioner som jämlikheten gäller
$f(\lambda \mathbf {v} )=|\lambda |^{q}f(\mathbf {v} ),$
gränsligt homogena funktioner , för vilka likhet endast gäller för vissa distingerade värden $(*)$ $\lambda ,$
komplexa homogena funktioner för vilka likhet är sant för och eller (liksom för komplexa exponenter ). $f:\mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C}$ $(*)$ $\mathbf {v} \in \mathbb {C} ^{n}$ $\lambda \in \mathbb {R}$ $\lambda \in \mathbb {C}$ $q\in \mathbb {C}$

Alternativ definition av en homogen funktion

I vissa matematiska källor kallas funktioner för homogena, vilket är lösningen av den funktionella ekvationen

f ( λ v ) = g ( λ ) f ( v ) {\displaystyle f(\lambda \mathbf {v} )=g(\lambda )f(\mathbf {v} )}

f(\lambda \mathbf {v} )=g(\lambda )f(\mathbf {v} )

med en förutbestämd funktion och först då är det bevisat att lösningens unika karaktär kräver ett ytterligare villkor att funktionen inte är identiskt lika med noll och att funktionen tillhör en viss klass av funktioner (till exempel var kontinuerlig eller monoton) . Men om en funktion är kontinuerlig åtminstone vid en punkt med ett värde som inte är noll, måste det vara en kontinuerlig funktion för alla värden , och för en bred klass av funktioner är fallet det enda möjliga.

g(\lambda )

g(\lambda )=\lambda ^{q}.

{\displaystyle g(\lambda )=\lambda ^{q))

f(\mathbf {v} )

g(\lambda )

f(\mathbf {v} )

g(\lambda )

\lambda ,

f(\mathbf {v} )

{\displaystyle g(\lambda )\equiv \lambda ^{q))

Logisk grund:

En funktion som är identiskt lika med noll uppfyller den funktionella ekvationen för alla val av funktion, men detta degenererade fall är inte av särskilt intresse. $f(\lambda \mathbf {v} )=g(\lambda )f(\mathbf {v} )$ $g(\lambda ),$

Om värdet vid något tillfälle är då: ${\mathbf {v}}_{0}$ $f(\mathbf {v} _{0})\neq 0,$

$g(\lambda _{1}\lambda _{2})f(\mathbf {v} _{0})=f(\lambda _{1}\lambda _{2}\mathbf {v} _{0})=g(\lambda _{1})f(\lambda _{2}\mathbf {v} _{0})=g(\lambda _{1})g(\lambda _{2 })f(\mathbf {v} _{0})$ , var: ∀ λ ett , λ 2 : g ( λ ett λ 2 ) = g ( λ ett ) g ( λ 2 ) ; {\displaystyle \forall \lambda _{1},\lambda _{2}:g(\lambda _{1}\lambda _{2})=g(\lambda _{1})g(\lambda _{ 2});} $\forall \lambda _{1},\lambda _{2}:g(\lambda _{1}\lambda _{2})=g(\lambda _{1})g(\lambda _{ 2});$
$g(\lambda _{1}\lambda _{2})=g(\lambda _{1})g(\lambda _{2})\Leftrightarrow G(\mu _{1}+\mu _{2})=G(\mu _{1})+G(\mu _{2}),$ var $\mu =\log \lambda ,G(\mu )=\log g(\exp(\mu )).$

Den funktionella Cauchy-ekvationen har en lösning i form av en linjär funktion: dessutom, för en klass av kontinuerliga eller en klass av monotona funktioner, är denna lösning unik. Därför, om det är känt att en kontinuerlig eller monoton funktion, då $G(\mu _{1}+\mu _{2})=G(\mu _{1})+G(\mu _{2})$ $G(t)=q\cdot t,$ $g(\lambda )$ $g(\lambda )\equiv \lambda ^{q}.$

Bevis på det unika med lösningen av den funktionella Cauchy-ekvationen 1. Med rationella sådana är det sant eftersom:

t=m/n

G(t\mu )=t\cdot G(\mu ),

a) dvs

G(2\mu )=G(\mu +\mu )=G(\mu )+G(\mu )=2G(\mu ),

G(2\mu )=2G(\mu );

b) det vill säga

2G(\mu /2)=G(\mu /2)+G(\mu /2)=G(\mu /2+\mu /2)=G(\mu ),

G(\mu /2)=(1/2)G(\mu );

etc.; 2. Eftersom de irrationella talen, som godtyckligt kan "klämmas" mellan två rationella, för kontinuerliga eller för monotona funktioner, måste relationen också vara uppfylld för irrationella

G(t\mu )=t\cdot G(\mu )

t;

3. Det sista steget: förhållandet ska ställas in

G(t\mu )=t\cdot G(\mu )

\mu =1.

Obs: för bredare klasser av funktioner kan den funktionella ekvationen som övervägs också ha andra, mycket exotiska lösningar (se artikeln "Hamels grund" ). Bevis på kontinuitet om den är kontinuerlig åtminstone vid en punkt

g(\lambda ),

f(\mathbf {v} )

Låt funktionen vara kontinuerlig vid en fast punkt och överväg identiteten $f(\mathbf {v} )$ $\mathbf {v} _{0},$ $f(\mathbf {v} _{0})\neq 0.$

f((1+\varepsilon )\lambda _{0}\mathbf {v} _{0})=g((1+\varepsilon )\lambda _{0})f(\mathbf {v} _{0})=g(\lambda _{0})f((1+\varepsilon )\mathbf {v} _{0}).

När värdet tenderar att på grund av kontinuiteten av funktionen vid punkten Sedan betyder detta att det tenderar att , det vill säga att funktionen är kontinuerlig vid punkten Eftersom den kan väljas av vem som helst, då är den kontinuerlig på alla punkter . $\varepsilon \to 0$ $f((1+\varepsilon )\mathbf {v} _{0})$ $f(\mathbf {v} _{0})$ $f(\mathbf {v} )$ $\mathbf {v} _{0}.$ $f(\mathbf {v} _{0})\neq 0,$ $g((1+\varepsilon )\lambda _{0})$ $g(\lambda _{0}),$ $g(\lambda )$ $\lambda _{0}.$ $\lambda _{0}$ $g(\lambda )$

Följd: Om en homogen funktion är kontinuerlig vid en punkt, kommer den också att vara kontinuerlig vid alla punkter i formuläret (inklusive när ). $f(\mathbf {v} )$ $\mathbf {v} _{0},$ $f(\mathbf {v} )$ ${\displaystyle \lambda \mathbf {v} _{0))$ $f(\mathbf {v} _{0})=0$

Egenskaper

Om det är homogena funktioner av samma ordning, kommer deras

linjära kombination med konstanta koefficienter att vara en homogen funktion av samma ordning

f_{1},f_{2},\dots

q,

q.

Om det är homogena funktioner med beställningar, kommer deras produkt att vara en homogen funktion med ordning

f_{1},f_{2},\dots

q_{1},q_{2},\dots ,

q=q_{1}+q_{2}+\dots .

Om är en funktion av homogen ordning, så kommer dess te potens (inte nödvändigtvis heltal), om det är vettigt (det vill säga om är ett heltal, eller om värdet är positivt), en homogen ordningsfunktion på motsvarande domän. I synnerhet, om är en homogen funktion av ordningen , så kommer det att vara en homogen funktion av ordningen och definitionsdomänen vid de punkter där är definierad och inte är lika med noll.

f

q,

m

m

f

mq

f

q

1/f

(-q)

f

Om är en homogen ordningsfunktion och är homogena ordningsfunktioner, så kommer överlagringen av funktioner att vara en homogen ordningsfunktion

f\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)

p,

h_{k}\left(y_{1},y_{2},\dots ,y_{m}\right)

q,

F\left(y_{1},y_{2},\dots ,y_{m}\right)=f\left(h_{1},h_{2},\dots ,h_{n}\ höger)

sid.

Om är en homogen funktion av gradvariabler och hyperplanet tillhör dess definitionsdomän, så kommer variablernas funktion att vara en homogen funktion av grad

f\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)

n

p,

x_{1}=x_{2}=\dots =x_{j}=0

\left(nj\right)

g\left(x_{j+1},x_{j+2},\dots ,x_{n}\right)=f\left(0,\dots ,0,x_{j+1}, \dots ,x_{n}\right)

sid.

Logaritmen för en noll-ordningens homogen funktion eller logaritmen för modulen för en noll-ordningens homogen funktion är en noll-ordningens homogen funktion. Logaritmen för en homogen funktion eller logaritmen för modulen för en homogen funktion är en homogen funktion om och endast om homogenitetsordningen för själva funktionen är noll.

Modulen för en homogen funktion eller modulen för en absolut homogen funktion är en absolut homogen funktion. Modulen för en homogen funktion eller modulen för en positivt homogen funktion är en positivt homogen funktion. Modulen för en noll-ordningens homogen funktion är en noll-ordningens homogen funktion. En absolut homogen funktion av ordningen noll är en homogen funktion av ordningen noll, och vice versa.

En godtycklig funktion av en nollordningens homogen funktion är en nollordningens homogen funktion.

Om är positivt homogena ordningsfunktioner där a är en positivt homogen ordningsfunktion, så kommer funktionen att vara en positiv homogen ordningsfunktion på alla punkter där ekvationssystemet , ..., har en lösning. Om det dessutom är ett udda heltal kan positiv homogenitet ersättas med vanlig homogenitet. Följd: om det finns en kontinuerlig eller monoton funktion och är en homogen eller positivt homogen funktion, där är en homogen eller positivt homogen funktion av

icke-noll ordning, då är en potensfunktion på alla punkter där ekvationen har en lösning. I synnerhet är den enda monotona eller kontinuerliga funktionen av en variabel som är en homogen ordningsfunktion . (Beviset duplicerar argumenten från avsnittet "Alternativ definition av en homogen funktion" i denna artikel. Om vi dessutom tar bort begränsningen att funktionen är kontinuerlig eller monoton, så kan det finnas andra, mycket exotiska lösningar för , se artikeln "Hamels grund" .)

h_{k}\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)

p,

p\neq 0,

f\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)=g\left(h_{1},h_{2},\dots,h_{m}\ höger)

q,

g\left(y_{1},y_{2},\dots ,y_{m}\right)

q/p

y

y_{1}=h_{1}\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)

y_{m}=h_{m}\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)

p

g(y)

g\left(f\left(x_{1},x_{2},\dots,x_{n}\right)\right)

f\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)

{\displaystyle g(y)=cy^{m))

y

y=f\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)

{\displaystyle f(x)=cx^{q))

q

g(y)

g(y)

Om en funktion är ett

polynom i variabler, så kommer det att vara en homogen funktion av grad om och endast om är ett homogent polynom av grad . I synnerhet måste homogenitetsordningen i detta fall vara ett naturligt tal eller noll. (För beviset måste man gruppera monomer av polynomet med samma homogenitetsordningar , ersätta resultatet med likhet och använda det faktum att potensfunktioner med olika exponenter, inklusive icke-heltalsexponenter, är linjärt oberoende.) Påståendet kan generaliseras till fallet med linjära kombinationer av monomer av formen med icke-heltalsindex.

f

n

q

f

q.

q

cx_{1}^{{i_{1}}}x_{2}^{{i_{2}}}\cdots x_{n}^{{i_{n}}}

{\displaystyle k_{j}=i_{1}+i_{2}+\dots +i_{n))

(*)

\lambda ^{k_{1)),\lambda ^{k_{2)),\dots

cx_{1}^{{i_{1}}}x_{2}^{{i_{2}}}\cdots x_{n}^{{i_{n}}}

Om den ändliga produkten av polynom är en homogen funktion, är varje faktor ett homogent polynom . (För bevisets skull väljer vi monomer i varje faktor med minsta och maximala homogenitetsordningar . Eftersom efter multiplikation det resulterande polynomet måste bestå av

monomer med samma homogenitetsordning, då för varje faktor minsta och maximala homogenitetsordningen måste vara samma nummer.) Påståendet kan generaliseras till fallet med linjära kombinationer av monomialer av formen med icke-heltalsindex.

cx_{1}^{{i_{1}}}x_{2}^{{i_{2}}}\cdots x_{n}^{{i_{n}}}

{\displaystyle k=i_{1}+i_{2}+\dots +i_{n))

cx_{1}^{{i_{1}}}x_{2}^{{i_{2}}}\cdots x_{n}^{{i_{n}}}

Om täljaren och nämnaren för en rationell bråkfunktion är

homogena polynom , kommer funktionen att vara homogen med en homogenitetsordning lika med skillnaden mellan täljarens och nämnarens homogenitetsordning. Om en rationell bråkfunktion är homogen är dess täljare och nämnare, upp till en gemensam faktor, homogena polynom . Påståendet kan generaliseras till fallet med en bråk-rationell relation av linjära kombinationer av monomialer av formen med icke-heltalsindex.

f={\frac {P_{n}(x_{1},\dots ,x_{n})}{Q_{m}(x_{1},\dots ,x_{m)))))

cx_{1}^{{i_{1}}}x_{2}^{{i_{2}}}\cdots x_{n}^{{i_{n}}}

En homogen funktion av icke-noll grad vid noll är lika med noll om den definieras där: (Den erhålls genom att ersätta värdet med likhet eller, i fallet med en negativ grad av homogenitet, värdet ) En homogen funktion av grad noll, om den är definierad till noll, kan ta vilket värde som helst vid denna punkt.

f(\mathbf {0} )=0.

(*)

\lambda =0

\mathbf {v} =0.

Om en homogen funktion av grad noll är kontinuerlig vid noll, så är den en konstant (godtycklig). Om en homogen funktion med negativ grad är kontinuerlig vid noll, så är den identiskt noll. (En transformation kan bringa vilken punkt som helst så nära du vill till noll. Därför, om funktionen vid noll är kontinuerlig, kan du uttrycka värdet på funktionen i punkten genom dess värde i punkten med hjälp av relationen )

\mathbf {v'} =\lambda \mathbf {v}

\mathbf{v}

\mathbf{v}

\mathbf {0}

\lim _{\lambda \to 0}\lambda ^{q}f(\mathbf {v} )=f(\mathbf {0} ).

En homogen funktion av positiv grad vid noll tenderar till noll i vilken riktning som helst som går in i dess definitionsdomän, och en homogen funktion av negativ grad tenderar till oändlighet, vars tecken beror på riktningen, om inte funktionen är identiskt noll längs den givna riktning. En homogen funktion med positiv grad är kontinuerlig vid noll eller kan utökas till kontinuerlig vid noll om dess definitionsdomän inkluderar ett område med noll. En homogen funktion av grad noll kan vara antingen diskontinuerlig eller kontinuerlig vid noll, och om diskontinuerlig är en riktningsberoende konstant längs varje stråle med en vertex i origo, om riktningen ligger inom dess definitionsdomän. (Det erhålls genom att ersätta värdet med jämlikhet )

\varepsilon

(*)

\lambda \to 0.

Om en homogen funktion vid noll är

analytisk (d.v.s. expanderar till en konvergent Taylor-serie med en konvergensradie som inte är noll), så är den ett polynom ( homogent polynom ). Speciellt i detta fall måste homogenitetsordningen vara ett naturligt tal eller noll. (För att bevisa det räcker det med att representera funktionen som en Taylor-serie , gruppera termerna i Taylor-serien med samma homogenitetsordningar , ersätta resultatet med likhet och använda den potensfunktionerna med olika exponenter, inklusive icke-heltal ettor, är linjärt oberoende.)

f

cx_{1}^{{i_{1}}}x_{2}^{{i_{2}}}\cdots x_{n}^{{i_{n}}}

{\displaystyle k_{j}=i_{1}+i_{2}+\dots +i_{n))

(*)

\lambda ^{k_{1)),\lambda ^{k_{2)),\dots

Funktionen , där är en funktion av variabler, är en homogen funktion med homogenitetsordningen Funktionen var är en funktion av variabler, är en absolut homogen funktion med homogenitetsordningen

f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=x_{1}^{q}\cdot h(x_{2}/x_{1},x_{3 }/x_{1},...,x_{n}/x_{1})

h(t_{2},t_{3},...,t_{n})

(n-1)

q.

f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=|x|^{q}\cdot h(x_{2}/x_{1},x_{3} /x_{1},...,x_{n}/x_{1}),

h(t_{2},t_{3},...,t_{n})

(n-1)

q.

Eulers relation : för differentierbara homogena funktioner är skalärprodukten av deras gradient och vektorn för deras variabler proportionell mot själva funktionen med en koefficient lika med homogenitetsordningen: eller, i ekvivalent notation, Erhållen genom differentiering av likhet med avseende på

\mathbf {v} \cdot \nabla f(\mathbf {v} )=qf(\mathbf {v} )

\sum x_{k}f'_{x_{k))=qf.

(*)

\lambda

\lambda =1.

Om är en differentierbar homogen funktion med homogenitetsordningen , så är dess första partiella derivator med avseende på var och en av de oberoende variablerna homogena funktioner med homogenitetsordningen . För att bevisa det räcker det att skilja på höger och vänster sida av identiteten och få identiteten

f(x_{1},x_{2},...,x_{n})

q

f'_{x_{k}}(x_{1},x_{2},...,x_{n})

q-1

x_k

f(\lambda x_{1},\lambda x_{2},\ldots ,\lambda x_{n})=\lambda ^{q}f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})

f'_{x_{k))(\lambda x_{1},\lambda x_{2},\ldots ,\lambda x_{n})=\lambda ^{q-1}f'_{ x_{k}}(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}).

Om är en homogen funktion med homogenitetsordningen , så är dess integral (under förutsättning att en sådan integral existerar) över vilken oberoende variabel som helst som börjar från noll homogena funktioner med homogenitetsordningen . Bevis: (här ersättningen av integrationsvariabeln är gjord ).

f(x_{1},x_{2},...,x_{n})

q

F(x_{1},x_{2},...,x_{n})=\int _{0}^{x_{1}}f(t,x_{2},... ,x_{n})dt

q+1.

F(\lambda x_{1},\lambda x_{2},...,\lambda x_{n})=

\int _{0}^{\lambda x_{1}}f(t,\lambda x_{2},...,\lambda x_{n})dt=

\lambda \int _{0}^{x_{1}}f(\lambda t',\lambda x_{2},...,\lambda x_{n})dt'=

\lambda ^{q+1}\int _{0}^{x_{1}}f(t',x_{2},...,x_{n})dt'=

\lambda ^{q+1}F(x_{1},x_{2},...,x_{n})

t=\lambda t'

Om är en homogen funktion med homogenitetsordningen , så är dess

bråkderivata ( olika integral ) av ordningen , beräknad som för vilken oberoende variabel som helst som börjar från noll (förutsatt att motsvarande integral finns, för vilken det krävs att välja ) homogena funktioner med homogenitetsordningen Betrakta funktionen . Sedan (här görs ändringen av integrationsvariabeln ). Efter -faldig differentiering med avseende på variabeln blir funktionen homogen ordning en homogen funktion med ordningen homogenitet .

f(x_{1},x_{2},...,x_{n})

q

\alfa

G(x_{1},x_{2},...,x_{n})={\frac {1}{\Gamma (n-\alpha ))){\frac {d^{n }}{dx_{1}^{n}}}\int _{0}^{x_{1}}(x_{1}-t)^{n-\alpha -1}f(t,x_{2 },...,x_{n})\,dt

n>\alpha

q-\alpha .

H(x_{1},x_{2},...,x_{n})=\int _{0}^{x_{1}}(x_{1}-t)^{n- \alpha -1}f(t,x_{2},...,x_{n})\,dt

H(\lambda x_{1},\lambda x_{2},...,\lambda x_{n})=

\int _{0}^{\lambda x_{1}}(\lambda x_{1}-t)^{n-\alpha -1}f(t,\lambda x_{2},.. .,\lambda x_{n})\,dt=

\lambda \int _{0}^{x_{1}}(\lambda x_{1}-\lambda t')^{n-\alpha -1}f(\lambda t',\lambda x_ {2},...,\lambda x_{n})\,dt'=

\lambda ^{q+n-\alpha }\int _{0}^{x_{1}}(x_{1}-t')^{n-\alpha -1}f(t', x_{2},...,x_{n})dt'=

\lambda ^{q+n-\alpha }H(x_{1},x_{2},...,x_{n})

t=\lambda t'

n

x_{1}

H(x_{1},x_{2},...,x_{n})

q+n-\alpha

q-\alpha

Om är en homogen funktion med homogenitetsordningen , då är dess dimensionella faltning med en generaliserad Abelsk kärna, beräknad som (under förutsättning att motsvarande integral existerar) en homogen funktion med homogenitetsordningen . Bevis: , där ändringen av integrationsvariabler görs . (Obs: endast en del av variablerna kan reduceras.)

f(x_{1},x_{2},...,x_{n})

q

n

H(x_{1},x_{2},...,x_{n})=\int _{0}^{x_{1}}\dots \int _{0}^{x_{ n}}(x_{1}^{k_{1}}-t_{1}^{k_{1}})^{\left(\mu _{1}-1\right)/k_{1}} \dots (x_{n}^{k_{n}}-t_{n}^{k_{n}})^{\left(\mu _{n}-1\right)/k_{n}}f (t_{1},...,t_{n})\,dt_{1}\dots dt_{n}

{\displaystyle q+\mu _{1}+\dots +\mu _{n))

H(\lambda x_{1},\lambda x_{2},...,\lambda x_{n})=

\int _{0}^{\lambda x_{1}}\dots \int _{0}^{\lambda x_{n}}(\lambda ^{k_{1}}x_{1}^ {k_{1}}-t_{1}^{k_{1}})^{\left(\mu _{1}-1\right)/k_{1}}\dots (\lambda ^{k_{ n}}x_{n}^{k_{n}}-t_{n}^{k_{n}})^{\left(\mu _{n}-1\right)/k_{n}}f (t_{1},...,t_{n})\,dt_{1}\dots dt_{n}=

\lambda ^{n}\int _{0}^{x_{1}}\dots \int _{0}^{x_{n}}(\lambda ^{k_{1}}x_{1 }^{k_{1}}-\lambda ^{k_{1}}t_{1}'^{k_{1}})^{\left(\mu _{1}-1\right)/k_{ 1}}\dots (\lambda ^{k_{n}}x_{n}^{k_{n}}-\lambda ^{k_{n}}t_{n}'^{k_{n}})^ {\left(\mu _{n}-1\right)/k_{n}}f(\lambda t_{1}',...,\lambda t_{n}')\,dt_{1}' \dots dt_{n}'=

\lambda ^{q+\mu _{1}+\dots +\mu _{n}}\int _{0}^{x_{1}}\dots \int _{0}^{x_{ n}}(x_{1}^{k_{1}}-t_{1}'^{k_{1}})^{\left(\mu _{1}-1\right)/k_{1} }\dots (x_{n}^{k_{n}}-t_{n}'^{k_{n)))^{\left(\mu _{n}-1\right)/k_{n} }f(t_{1}',...,t_{n}')\,dt_{1}'\dots dt_{n}'=

\lambda ^{q+\mu _{1}+\dots +\mu _{n}}H(x_{1},x_{2},...,x_{n})

t_{k}=\lambda t_{k}'

Teorem . Vilken homogen funktion som helst med en homogenitetsordning kan representeras i formen $q$

f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=x_{1}^{q}\cdot h(x_{2}/x_{1},x_{3 }/x_{1},...,x_{n}/x_{1}),

var är någon funktion av variabler. Vilken absolut homogen funktion som helst med homogenitetsordningen kan representeras som $h(t_{2},t_{3},...,t_{n})$ $(n-1)$ $q$

f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=|x|^{q}\cdot h(x_{2}/x_{1},x_{3} /x_{1},...,x_{n}/x_{1}),

var är någon funktion av variabler. $h(t_{2},t_{3},...,t_{n})$ $(n-1)$

Bevis.

Ta en homogen funktion av grad noll. Sedan, när vi väljer, får vi en viss version av den nödvändiga relationen: $g(x_{1},x_{2},...,x_{n})$ $\lambda =1/x_{1}$

g(x_{1},x_{2},...,x_{n})=g(\lambda x_{1},\lambda x_{2},...,\lambda x_{n })=g(1,x_{2}/x_{1},...,x_{n}/x_{1})=h(x_{2}/x_{1},...,x_{ n}/x_{1}).

För en homogen funktion av grad , kommer funktionen att visa sig vara en homogen funktion av grad noll. Därför _ $f(x_{1},x_{2},...,x_{n})$ $q\neq 0,$ $g(x_{1},x_{2},...,x_{n})=f(x_{1},x_{2},...,x_{n})/x_{1 }^{q}$ $g(x_{1},...,x_{n})=h(x_{2}/x_{1},...,x_{n}/x_{1})$ $f(x_{1},...,x_{n})=x_{1}^{q}\cdot h(x_{2}/x_{1},...,x_{n} /x_{1}).$

Följd. Vilken homogen gradfunktion som helst (absolut homogen gradfunktion ) kan representeras i formuläret $q$ $q$

f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=\phi (x_{1},x_{2},...,x_{n})\cdot h (\phi _{1}(x_{1},x_{2},...,x_{n}),\phi _{2}(x_{1},x_{2},...,x_ {n}),...,\phi _{n-1}(x_{1},x_{2},...,x_{n})),

där är någon lämplig funktion av variabler, är en fast homogen funktion av grad (en fast absolut homogen funktion av grad ), och , ..., är fasta funktionellt oberoende homogena funktioner på noll grad. För ett fast val av funktioner definierar denna representation en en-till-en-överensstämmelse mellan homogena gradfunktioner hos variabler och funktioner hos variabler. $h(t_{1},t_{2},...,t_{n-1})$ $(n-1)$ $\phi (x_{1},x_{2},...,x_{n})$ $q$ $q$ $\phi _{1}(x_{1},x_{2},...,x_{n}),$ $\phi _{2}(x_{1},x_{2},...,x_{n}))$ $\phi _{n-1}(x_{1},x_{2},...,x_{n}))$ ${\displaystyle \phi ,\phi _{1},\phi _{2},...,\phi _{n-1))$ $f(x_{1},x_{2},...,x_{n})$ $q$ $n$ $h(t_{1},t_{2},...,t_{n-1})$ $(n-1)$

Eulers sats för homogena funktioner . För att en differentierbar funktion ska vara en homogen funktion med homogenitetsordningen är det nödvändigt och tillräckligt att Eulerrelationen håller $f(x_1,x_2,...,x_n)$ $q,$

\summa x_k f'_{x_k}(x_1,x_2,...,x_n) = qf(x_1,x_2,...,x_n).

Bevis.

Nödvändighet erhålls från differentieringen av jämlikheten för För att bevisa tillräcklighet tar vi funktionen för ”fryst” Låt oss differentiera den med avseende på $(*)$ $\lambda =1.$ $\varphi (\lambda )=\lambda ^{-q}f(\lambda x_{1},\lambda x_{2},...,\lambda x_{n})$ $x_{1},x_{2},...,x_{n}.$ $\lambda :$

\varphi '(\lambda )=-q\lambda ^{-q-1}f(\lambda x_{1},\lambda x_{2},...,\lambda x_{n})+ \lambda ^{-q}\sum f'_{x_{k}}(\lambda x_{1},\lambda x_{2},...,\lambda x_{n})x_{k}.

I kraft av villkoret, erhåller vi och konstanten bestäms från villkoret Som ett resultat $\sum (\lambda x_{k})\cdot f'_{x_{k))(\lambda x_{1},\lambda x_{2},...,\lambda x_{n}) =qf(\lambda x_{1},\lambda x_{2},...,\lambda x_{n})$ $\varphi '(\lambda )=0$ $\varphi (\lambda )=c=konst.$ $c$ $\varphi (1)=f(x_{1},x_{2},...,x_{n}).$ $\lambda ^{q}\varphi (\lambda )=f(\lambda x_{1},\lambda x_{2},...,\lambda x_{n})=\lambda ^{q} f(x_{1},x_{2},...,x_{n}).$

Följd. Om funktionen är differentierbar och vid varje punkt i rymden är homogenitetsrelationen giltig i ett visst värdeintervall , så är den giltig för alla $(*)$ $\lambda \in \left[\lambda _{0}-\varepsilon ,\lambda _{0}+\varepsilon \right]\subset \left[0,\infty \right),$ $\lambda>0.$

Bevis.

Differentiera relationen med avseende på punkten $(*)$ $\lambda$ $\lambda =\lambda _{0}:$

\sum x_{k}f'_{x_{k))(\lambda _{0}x_{1},\lambda _{0}x_{2},...,\lambda _{0 }x_{n})=q\lambda _{0}^{q-1}f(x_{1},x_{2},...,x_{n})={\frac {q}{\ lambda _{0}}}f(\lambda _{0}x_{1},\lambda _{0}x_{2},...,\lambda _{0}x_{n}).

Detta betyder att Euler-relationen gäller vid punkten, och på grund av punktens godtycklighet är punkten också godtycklig. Genom att upprepa ovanstående bevis för Eulers sats om en homogen funktion får vi att homogenitetsrelationen håller vid en punkt, och för en godtycklig punkt kan man välja en sådan punkt att punkten sammanfaller med vilken som helst förutbestämd punkt i rymden. Därför, vid varje punkt i rymden, är relationen uppfylld för någon ${\displaystyle y_{k}=\lambda _{0}x_{k))$ $(x_{1},x_{2},...,x_{n})$ $(y_{1},y_{2},...,y_{n})$ $(y_{1},y_{2},...,y_{n})$ $\lambda >0.$ $(x_{1},x_{2},...,x_{n})$ $(y_{1},y_{2},...,y_{n})$ $(*)$ $\lambda >0.$

Lambda homogena funktioner

Låt en vektor ges En funktion av variabler kallas -homogen med ordningen av homogenitet om för någon och någon identitet $\mathbf {\lambda } =(\lambda _{1},\lambda _{2},...,\lambda _{n}).$ $n$ $f(x_{1},x_{2},...,x_{n})$ $\lambda$ $q$ $t>0$ ${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},x_{2},...,x_{n})\in {\mathbb {R} }^{n))$

f(t^{\lambda _{1}}x_{1},t^{\lambda _{2}}x_{2},...,t^{\lambda _{n}}x_ {n})=t^{q}f(x_{1},x_{2},...,x_{n}).

För -homogena funktioner går över till vanliga homogena funktioner. Ibland, istället för homogenitetsordningen , introduceras graden av homogenitet , vilket bestäms utifrån relationen $\lambda _{k}=1$ $\lambda$ $q$ $m$

f(t^{\lambda _{1}}x_{1},t^{\lambda _{2}}x_{2},...,t^{\lambda _{n}}x_ {n})=t^{m{\frac {|\mathbf {\lambda } |}{n}}}f(x_{1},x_{2},...,x_{n}),

där För vanliga homogena funktioner är homogenitetsordningen och graden av homogenitet densamma. $|\mathbf {\lambda } |=\summa |\lambda _{k}|.$ $q$ $m$

Om de partiella derivatorna är kontinuerliga vid , så är för -homogena funktioner den relation som generaliserar

Euler - relationen och erhålls genom att differentiera identiteten för -homogenitet vid punkten sann :

f'_{x_{k}}(x_{1},x_{2},...,x_{n})

\mathbb {R} ^{n}

\lambda

\lambda

t=1

\sum \lambda _{x}x_{k}f'_{x_{k}}(x_{1},x_{2},...,x_{n})=qf(x_{1 },x_{2},...,x_{n}).

Liksom i fallet med vanliga homogena funktioner är denna relation nödvändig och tillräcklig för att funktionen ska vara en -homogen och en homogenitetsordning funktion med en vektor $f(x_{1},x_{2},...,x_{n})$ $\lambda$ $(\lambda _{1},\lambda _{2},...,\lambda _{n})$ $q.$ $\varphi (t)=t^{-q}f(t^{\lambda _{1}}x_{1},t^{\lambda _{2}}x_{2},... ,t^{\lambda _{n}}x_{n})$ $\varphi (t)\equiv \varphi (1).$

Om är -homogen funktion med vektor och homogenitetsordning , så är det också -homogen funktion med vektor och homogenitetsordning (följer av substitutionen till identitet för -homogenitet av den nya parametern ). På grund av detta, när man överväger -homogena funktioner, räcker det att begränsa oss till fallet . Speciellt kan normaliseringen väljas på ett sådant sätt att homogenitetsordningen är lika med ett förbestämt värde. Dessutom, utan förlust av allmänhet, kan vi anta det $f(x_{1},x_{2},...,x_{n})$ $\lambda$ $\mathbf {\lambda } =(\lambda _{1},\lambda _{2},...,\lambda _{n})$ $q$ $\lambda$ $\mathbf {\lambda } =(\alpha \lambda _{1},\alpha \lambda _{2},...,\alpha \lambda _{n})$ $\alpha q$ $\lambda$ ${\displaystyle t'\to t^{\alpha ))$ $\lambda$ $\sum |\lambda _{k}|=konst.$ $\sum |\lambda _{k}|$ $q$ $\lambda _{k}\neq 0.$

Vid förändring av variabler förvandlas en -homogen funktion med en vektor och en homogenitetsordning till en vanlig homogen funktion med en homogenitetsordning . Det följer att den allmänna representationen för -homogena funktioner med en vektor och homogenitetsordning är: $x_{k}=y_{k}^{\lambda _{k))$ $\lambda$ $f(x_{1},x_{2},...,x_{n})$ $\mathbf {\lambda } =(\lambda _{1},\lambda _{2},...,\lambda _{n})$ $q$ $g(y_{1},y_{2},...,y_{n})$ $q$ $\lambda$ $\mathbf {\lambda } =(\lambda _{1},\lambda _{2},...,\lambda _{n})$ $q$

f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=x_{1}^{q/\lambda _{1}}\cdot h(x_{2}^{ 1/\lambda _{2}}/x_{1}^{1/\lambda _{1}},x_{3}^{1/\lambda _{3}}/x_{1}^{1/ \lambda _{1}},\ldots ,x_{n}^{1/\lambda _{n}}/x_{1}^{1/\lambda _{1}}),

var är någon funktion av variabler. $h(t_{2},t_{3},...,t_{n})$ $(n-1)$

Källa: Ya. S. Bugrov, S. M. Nikolsky, Högre matematik: en lärobok för universitet (i 3 volymer), V.2: Differential- och integralkalkyl ( http://www.sernam.ru/lect_math2.php Arkivexemplar daterad oktober 1, 2012 på Wayback Machine ), avsnitt 8.8.4.

Euler-operator

Differentialoperatör

{\displaystyle x_{1}{\frac {\partial f}{\partial x_{1))}+x_{2}{\frac {\partial f}{\partial x_{2))}+\ldots + x_{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{n))))

kallas ibland Euler-operatorn, i analogi med Euler-identiteten för homogena funktioner. Av Eulers teorem för homogena funktioner, som ges ovan, följer att egenfunktionerna för denna operator är homogena funktioner och endast de, och egenvärdet för en sådan funktion är dess homogenitetsordning.

Följaktligen är de funktioner som gör Euler-operatorn till en konstant logaritmerna för homogena funktioner och endast de. Funktionerna som försvinner Euler-operatorn är nollordningens homogena funktioner och endast dem ( logaritmen för nollordningens homogena funktion är i sig en nollordningens homogen funktion).

På samma sätt för differentialoperatören

{\displaystyle \lambda _{1}x_{1}{\frac {\partial f}{\partial x_{1))}+\lambda _{2}x_{2}{\frac {\partial f}{ \partial x_{2))}+\ldots +\lambda _{n}x_{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{n))))

egenfunktioner är -homogena funktioner med en vektor och endast de, och egenvärdet är homogenitetsordningen för den -homogena funktionen. Denna differentialoperator omvandlas till en konstant genom

logaritmerna för -homogena funktioner med vektorn och inga andra funktioner.

\lambda

(\lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{n})

\lambda

\lambda

(\lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{n})

En ytterligare generalisering av Euler-operatorn är differentialoperatorn

\lambda _{1}x_{1}^{\mu _{1}}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}+\lambda _{2}x_{2} ^{\mu _{2}}{\frac {\partial f}{\partial x_{2}}}+\ldots +\lambda _{n}x_{n}^{\mu _{n}}{ \frac {\partial f}{\partial x_{n}}},

som reduceras till Euler-operatorn genom ändringen för kl . Även alla differentialoperatorer i formuläret reduceras till Euler-operatorn genom ändringen ${\displaystyle y_{1}{\frac {\partial f}{\partial y_{1))}+y_{2}{\frac {\partial f}{\partial y_{2))}+\ldots + y_{n}{\frac {\partial f}{\partial y_{n))))$ $y_{k}=\exp \left({\frac {x^{1-\mu _{k))}{\lambda _{k}\left(1-\mu _{k}\right )}}\höger)$ $\mu _{k}\neq 1;$ $y_{k}=x^{1/\lambda _{k))$ $\mu _{k}=1.$ $y_{k}=\exp \left(\int _{a_{k))^{x}{\frac {dt}{h_{k}(t)))\right)$ $h_{1}(x_{1}){\frac {\partial f}{\partial x_{1))}+h_{2}(x_{2}){\frac {\partial f}{ \partial x_{2))}+\ldots +h_{n}(x_{n}){\frac {\partial f}{\partial x_{n))}.$

Källa: Chi Woo, Igor Khavkine, Eulers teorem om homogena funktioner Arkiverad 2 augusti 2012 på Wayback Machine ( PlanetMath.org )

Boundedly Homogeneous Functions

En funktion sägs vara gränslöst homogen med en exponent för homogenitet med avseende på mängden positiva reella tal (kallad homogenitetsmängd) om identiteten gäller för alla och för alla $f(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}):\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ $q$ $\lambda$ ${\vec {x}}\in \mathbb {R} ^{n}$ $\lambda \in \Lambda$

f(\lambda {\vec {x)))=\lambda ^{q}f({\vec {x)))

Uppsättningen av homogenitet innehåller alltid enheten. Homogenitetsuppsättningen kan inte inkludera ett godtyckligt litet kontinuerligt segment - annars visar sig en gränslöst homogen funktion vara en vanlig homogen funktion (se avsnittet "Några funktionella ekvationer relaterade till homogena funktioner" nedan). Av intresse är därför de gränsligt homogena funktioner för vilka och för vilka homogenitetsmängden är rent diskret. $\lambda$ $\lambda$ $\lambda \in \left[\lambda _{0}-\varepsilon ,\lambda _{0}+\varepsilon \right]$ ${\displaystyle \Lambda \neq \{1\))$ $\lambda$

Exempel 1. Funktionen är gränslöst homogen med en exponent för homogenitet med avseende på mängden där är heltal. $f(x)=x^{q}\sin(\log |x|)$ $q$ $\Lambda =\{e^{2\pi m}\},$ $m$

Exempel 2. Funktionen är gränslöst homogen med en exponent för homogenitet med avseende på mängden där är heltal. $f(x,y,z)=(x^{2}+2y^{2}+3z^{2})^{q/2}\cos(\log {\sqrt {x^{2 }-xy+y^{2}}})$ $q$ $\Lambda =\{e^{2\pi k}\},$ $k$

Sats. För att en funktion som definieras vid ska vara gränslöst homogen med homogenitetsordningen är det nödvändigt och tillräckligt att den har formen $f(x_{1},x_{2},...,x_{n}),$ $x_{1}>0,$ $q,$

f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=x_{1}^{q}\cdot H(\log x_{1},x_{2}/x_ {1},x_{3}/x_{1},\ldots ,x_{n}/x_{1}),

där är en funktion som är

periodisk i en variabel med minst en period oberoende av. I detta fall består homogenitetsmängden av tal där är funktionens perioder oberoende av

H(y,t_{2},t_{3},\ldots ,t_{n})

y

t_{2},t_{3},\ldots ,t_{n}.

\lambda

\{e^{Y_{k))\},

Y_{k}

H(y,t_{2},t_{3},\ldots ,t_{n}),

t_{2},t_{3},\ldots ,t_{n}.

Bevis. Tillräckligheten verifieras direkt, nödvändigheten måste bevisas. Låt oss göra en förändring av variabler

x_{1},x_{2},...,x_{n}\to x_{1},t_{2},...,t_{n},

var

t_{k}=x_{k}/x_{1},

så Om vi nu betraktar funktionen så får vi från homogenitetsvillkoret för alla tillåtna likheten $f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=g(x_{1},t_{2},...,t_{n}).$ $h(x_{1},t_{2},...,t_{n})=g(x_{1},t_{2},...,t_{n})/x_{1 }^{q},$ $x_{1}$

h(\lambda x_{1},t_{2},...,t_{n})=h(x_{1},t_{2},t_{3},...,t_{ n}),

vilket kommer att vara giltigt när Om bara uppsättningen inte består av endast en, då efter bytet , funktionen $\lambda \in \Lambda .$ $\lambda$ $x_{1}=\exp(y)$

H(y,t_{2},...,t_{n})=H(\log x_{1},t_{2},...,t_{n})=h(x_{ 1},t_{2},...,t_{n})

visar sig vara periodisk i en variabel med en period som inte är noll för varje vald på ett fast sätt, eftersom ovanstående likhet innebär förhållandet $y$ $\log \lambda$ $\lambda \in \Lambda ,$

H(\log x_{1}+\log \lambda ,t_{2},...,t_{n})=H(\log x_{1},t_{2},..., t_{n}).

Uppenbarligen kommer det valda fasta värdet att vara perioden för funktionen på en gång för alla $\log \lambda$ $H(y,t_{2},...,t_{n})$ $t_{2},...,t_{n}.$

Konsekvenser:

Om det finns den minsta positiva perioden oberoende av så har homogenitetsmängden formen där är godtyckliga heltal. (Om är den minsta positiva perioden för funktionen, så är alla dess perioder, så talen kommer att inkluderas i homogenitetsmängden. Om det finns ett sådant homogenitetsvärde kommer något att visa sig vara en positiv period, oberoende av vilken vara mindre än ) $Y>0,$ $t_{2},t_{3},\ldots ,t_{n},$ $\lambda$ $\{e^{mY}\},$ $m=0,\pm 1,\pm 2,\dots$ $Y$ $H(y,...),$ $Y_{m}=mY$ $\{e^{mY}}\}$ $\lambda _{*}=e^{Y_{*)),$ $e^{mY}<e^{Y_{*}}<e^{(m+1)Y},$ $Y_{*}-mY$ $t_{2},...,t_{n},$ $Y.$
Om en funktion är en konstant med avseende på en variabel, så har den inte den minsta positiva perioden (vilket positivt tal som helst är dess period). I det här fallet är det inte beroende av variabeln och funktionen är en vanlig positivt homogen funktion (minst). Homogenitetsuppsättningen i detta fall är hela den positiva halvaxeln (åtminstone). $H(y,\ldots )$ $y,$ $H(y,\ldots )$ $y,$
$f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=x_{1}^{q}\cdot H(x_{2}/x_{1},x_{3 }/x_{1},\ldots ,x_{n}/x_{1})$
$\lambda$ $\lambda >0$
Exotiska fall är möjliga när en periodisk funktion inte har den minsta positiva perioden, men samtidigt inte är en konstant. Till exempel har

Dirichlet-funktionen , lika med 1 vid rationella punkter och lika med 0 vid irrationella punkter, en period av vilket rationellt tal som helst. I detta fall kan homogenitetsuppsättningen ha en ganska komplex struktur. Men om den periodiska funktionen för varje uppsättning värden har en gräns i variabeln åtminstone vid en punkt, har denna funktion antingen den minsta positiva perioden (och alla andra perioder är multiplar av den minsta positiva perioden) eller är en konstant i variabeln

H(y,...)

\lambda

{\displaystyle t_{2},t_{3},\ldots ,t_{n))

H(y,...)

y

y.

Begränsat homogena funktioner definierade vid har formen med en lämpligt vald funktion periodisk i variabeln

x<0,

f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=(-x_{1})^{q}\cdot H(\log(-x_{1}), x_{2}/x_{1},x_{3}/x_{1},\ldots ,x_{n}/x_{1})

H(y,t_{2},t_{3},\ldots ,t_{n}),

y.

Begränsat homogena funktioner definierade på hela den reella axeln minus punkten har formen med en korrekt vald funktion periodisk i variabeln (där notationen betonar att för intervallet av värden och för intervallet av värden , generellt sett, olika periodiska funktioner är valda, var och en med en definitionsdomän , men med nödvändigtvis samma period).

x=0,

f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=|x_{1}|^{q}\cdot H_{\pm }(\log |x_{1} |,x_{2}/x_{1},x_{3}/x_{1},\ldots ,x_{n}/x_{1}),

H_{\pm }(y,t_{2},t_{3},\ldots ,t_{n}),

y

H_{\pm }(\ldots )

x_{1}>0

x_{1}<0

H(y)

y\in (-\infty ,+\infty )

Formeln är universell, men återspeglar inte likheten mellan alla variabler. Det är möjligt att representera funktionen som där perioden för funktionen är lika med normaliseringsfaktorn inte beror på och funktionen är vald att vara fixerad. Med en sådan notation tar gränsligt homogena funktioner formen _ _

f(x_{1},...,x_{n})=x_{1}^{q}\cdot H(\log |x_{1}|,x_{2}/x_{1} ,\ldots ,x_{n}/x_{1}),

H(y,t_{2},\dots ,t_{n}\ldots )

G\left(w\cdot y+\log W(t_{2},\dots ,t_{n}),t_{2},\dots ,t_{n}\right),

G\left(t,t_{2},\dots ,t_{n}\right)

2\pi ,

w

t_{2},\dots ,t_{n},

W(t_{2},\dots ,t_{n})

f(x_{1},...,x_{n})=F(\log Q(x_{1},\ldots ,x_{n}),x_{1},\ldots,x_{ n}),

F(y,x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})

q

{\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n))

2\pi

y,

Q(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}),

w

x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},

\Lambda =\{e^{2\pi m/w}\},

m=0,\pm 1,\pm 2,\dots

Om vi expanderar den periodiska funktionen från föregående stycke till en Fourier-serie kan vi få uttrycket Denna formel är det mest generella sättet att skriva för bitvis-kontinuerliga gränslöst homogena funktioner med en ordning av homogenitet och en uppsättning av homogenitet . I synnerhet kommer inte att ersätta en fast funktion med en uppsättning godtyckliga homogena funktioner lägga till generalitet till denna formel, men diversifiera endast representationsformen för samma gränsligt homogena funktion.

F(y,x_{1},\ldots,x_{n})

A_{0}(x_{1},\ldots ,x_{n})+\summa A_{k}(x_{1},\ldots,x_{n})\cos k\log Q(x_ {1},\ldots ,x_{n})+B_{k}(x_{1},\ldots,x_{n})\sin k\log Q(x_{1},\ldots,x_{n} ),

A_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})

B_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})

q,

Q(x_{1},\ldots ,x_{n})

w,

\Lambda =\{e^{mY}\},

\Lambda =\{e^{2\pi m/w}\},

m

q

\Lambda =\{e^{2\pi m/w}\}.

Q(x_{1},\ldots ,x_{n})

Q_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})

Bibliografi: Konrad Schlude, Bemerkung zu beschränkt homogenen Funktionen . - Elemente der Mathematik 54 (1999).

Informationskälla: J.Pahikkala. Begränsat homogen funktion Arkiverad 23 augusti 2012 på Wayback Machine ( PlanetMath.org ).

Associerade homogena funktioner

[avsnittet ännu inte skrivet]

Källa: I. M. Gelfand, Z. Ya. Shapiro. Homogena funktioner och deras tillämpningar. Advances in Mathematical Sciences, vol. 10 (1955) nr. 3, sid. 3-70.

Ömsesidigt homogena funktioner

[avsnittet ännu inte skrivet]

Källa: I. M. Gelfand, Z. Ya. Shapiro. Homogena funktioner och deras tillämpningar. Advances in Mathematical Sciences, vol. 10 (1955) nr. 3, sid. 3-70.

Några funktionella ekvationer relaterade till homogena funktioner

1. Låt

f\left(\lambda x_{1},\lambda x_{2},\dots ,\lambda x_{n}\right)=C\left(\lambda \right)f\left(x_{1 },x_{2},\dots ,x_{n}\right)

för någon funktion på intervallet Vad ska funktionen vara $C\left(\lambda \right)$ $\lambda \in \left[\lambda _{0}-\varepsilon ,\lambda _{0}+\varepsilon \right].$ $f\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)?$

Lösning. Differentiera båda sidor av denna relation med avseende på Vi erhåller $\lambda .$

x_{1}{\frac {\partial f(\lambda x_{1},\dots ,\lambda x_{n})}{\partial (\lambda x_{1)))))+x_{ 2 }{\frac {\partial f(\lambda x_{1},\dots ,\lambda x_{n})}{\partial (\lambda x_{2)))))+\dots +x_{n} {\ frac {\partial f(\lambda x_{1},\dots ,\lambda x_{n})}{\partial (\lambda x_{n)))))={\frac {\partial C\left (\lambda \right)}{\partial \lambda }}f(x_{1},\dots ,x_{n}).

Låt oss särskilja båda sidorna av samma relation med avseende på att erhålla relationerna $x_{k},$

\lambda {\frac {\partial f(\lambda x_{1},\dots ,\lambda x_{n})}{\partial (\lambda x_{k)))))=C\left( \ lambda \right){\frac {\partial f(x_{1},\dots ,x_{n})}{\partial x_{k))}.

Härifrån

{\frac {1}{f(x_{1},\dots ,x_{n)))))\left(x_{1}{\frac {\partial f(x_{1},\dots , x_{n})}{\partial x_{1))}+\dots +x_{n}{\frac {\partial f(x_{1},\dots ,x_{n})}{\partial x_ { n}}}\right)={\frac {\lambda }{C\left(\lambda \right)}}{\frac {\partial C\left(\lambda \right)}{\partial \lambda } } .

Den högra sidan beror bara på den vänstra sidan beror bara på . Därför är de båda lika med samma konstant, vilket vi betecknar med . Det följer av villkoren och villkoren att alltså är en homogen funktion med en homogenitetsparameter. De degenererade fallen och behandlas separat och saknar intresse. $\lambda ,$ $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}$ $q.$ ${\frac {\lambda }{C\left(\lambda \right)}}{\frac {\partial C\left(\lambda \right)}{\partial \lambda }}=q$ $C\left(1\right)=1$ $C\left(\lambda \right)=\lambda ^{q}.$ $f\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)$ $q.$ $C\left(\lambda \right)\equiv 0$ $f\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)\equiv 0$

Notera. Det är inte nödvändigt att använda ett villkor , generellt sett, inte ursprungligen specificerat, och även att tvinga funktionen att betraktas utanför intervallet . Från jämlikhet $C\left(1\right)=1,$ $C\left(\lambda \right)$ $\lambda \in \left[\lambda _{0}-\varepsilon ,\lambda _{0}+\varepsilon \right].$

{\frac {1}{f))\left(x_{1}{\frac {\partial f}{\partial x_{1))}+x_{2}{\frac {\partial f} {\partial x_{2))}+\dots +x_{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{n))}\right)=q

enligt Eulers sats om homogena funktioner, följer det också att det är en homogen funktion med en homogenitetsparameter , och i synnerhet följer det att om homogenitetsrelationen är giltig för ett visst intervall, så är den giltig för alla $f\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)$ $q.$ $\lambda \in \left[\lambda _{0}-\varepsilon ,\lambda _{0}+\varepsilon \right],$ $\lambda>0.$

2. Låt

f\left(\lambda x_{1},\lambda x_{2},\dots ,\lambda x_{n}\right)=Cf\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)

för vissa fasta och godtyckliga värden Vad ska funktionen vara $C\neq 0,$ $\lambda \neq 1$ $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}.$ $f\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)?$

Lösning. Om då problemet reduceras till en funktionsekvation av lägre dimension $x_{1}=0,$

f\left(0,\lambda x_{2},\dots ,\lambda x_{n}\right)=Cf\left(0,x_{2},\dots,x_{n}\right) ,

tills det reduceras till fallet med ett uppenbart svar . Därför kan vi vidare endast överväga fallet $f\left(0,0,\dots ,0\right)=Cf\left(0,0,\dots ,0\right)$ $f\left(0,0,\dots ,0\right)=0.$ $x_{1}\neq 0.$

Vi gör en förändring av variabler.Då tar även den funktionella ekvationen formen $x_{1}=y,$ $x_{2}=t_{2}\cdot y,$ $x_{3}=t_{3}\cdot y,$ $x_{n}=t_{n}\cdot y.$ $f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})\to F(y,t_{2},\dots ,t_{n})$

F\left(\lambda y,t_{2},\dots ,t_{n}\right)=CF\left(y,t_{2},\dots ,t_{n}\right).

Vi bör separat överväga fallen och och och Låt och sedan, efter att ha tagit logaritmen för båda delarna av likheten och ersättningen, får vi villkoret $C>0$ $C<0,$ $\lambda >0$ $\lambda <0,$ $y>0$ $y<0.$ $C>0,$ $\lambda >0$ $y>0.$ $\log y\to t,$ $\log F(y,\dots )\to \Phi (t,\dots )$

\Phi \left(t+\log \lambda ,\dots \right)=\log C+\Phi \left(t,\dots \right),

därav följer att har formen var är en funktion som är periodisk i en variabel med en period . $\Phi \left(t,\dots \right)$ $\Omega \left(t,\dots \right)+{\frac {\log C}{\log \lambda }}t,$ $\Omega \left(t,\dots \right)$ $t$ $\log \lambda .$

f\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)=\Omega \left(\log x_{1},{\frac {x_{2}}{ x_{1}}},\dots {\frac {x_{n}}{x_{1}}}\right)\exp \left({\frac {\log C\cdot \log x_{1}}{ \log \lambda}}\right),

var är en funktion som är periodisk i en variabel med en period och uppfyller den erforderliga funktionella relationen för $\Omega \left(t,\dots \right)$ $t$ $\log \lambda ,$ $x_{1}>0.$

En ersättning används för halvaxeln , och efter liknande resonemang får vi det slutliga svaret: $x_{1}<0$ $\log(-y)\to t$

a) om då

x_{1}>0

f\left(x_{1},x_{2},\dots,x_{n}\right)=\Omega _{+}\left(\log(+x_{1}),x_{2 }/x_{1},\dots x_{n}/x_{1}\right)\exp \left({\frac {\log C\cdot \log(+x_{1})}{\log \lambda }}\höger),

b) om då

x_{1}<0

f\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)=\Omega _{-}\left(\log(-x_{1}),x_{2 }/x_{1},\dots x_{n}/x_{1}\right)\exp \left({\frac {\log C\cdot \log(-x_{1})}{\log \lambda }}\höger),

eller i kort form

f\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)=\Omega _{\pm }\left(\log |x_{1}|,{\frac {x_{2}}{x_{1}}},\dots {\frac {x_{n}}{x_{1}}}\right)\exp \left({\frac {\log C\cdot \ log |x_{1}|}{\log \lambda }}\right),

där notationen understryker att för och för dessa är, generellt sett, två olika periodiska funktioner och , var och en med en definitionsdomän och olika värden för denna domän, men samtidigt med samma period. $\Omega _{\pm }\left(\log |x_{1}|,\dots \right)$ $x_{1}>0$ $x_{1}<0$ $\Omega _{+}\left(t,\dots \right)$ $\Omega _{-}\left(t,\dots \right)$ $t\in (-\infty ,+\infty )$

Fallet förenklas av det faktum att från kedjan av relationer $C<0,$ $\lambda >0$

F\left(\lambda ^{2}y,t_{2},\dots ,t_{n}\right)=CF\left(\lambda y,t_{2},\dots ,t_{n }\right)=C^{2}F\left(y,t_{2},\dots ,t_{n}\right)

följer det fall vi redan har övervägt. Så funktionen kan skrivas som $f\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)$

f\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)=\Omega _{\pm }\left(\log |x_{1}|,{\frac {x_{2}}{x_{1}}},\dots {\frac {x_{n}}{x_{1}}}\right)\exp \left({\frac {\log |C|\ cdot \log |x_{1}|}{\log \lambda }}\right),

var är någon funktion som är periodisk i en variabel med en period Att ersätta detta uttryck i den ursprungliga ekvationen visar att det inte bara är en periodisk funktion med en period, utan en antiperiodisk funktion med en period $\Omega _{\pm }\left(t,\dots \right)$ $t$ $2\log \lambda .$ $\Omega _{\pm }\left(t,\dots \right)$ $2\log \lambda ,$ $\log \lambda :$

\Omega _{\pm }\left(t+\log \lambda ,\dots \right)=-\Omega _{\pm }\left(t,\dots \right)

(Uppenbarligen innebär anti-periodicitet med period periodicitet med period ). Det omvända är uppenbart: den angivna formeln med en antiperiodisk funktion uppfyller den nödvändiga funktionella ekvationen. $\log \lambda$ $2\log \lambda$ $\Omega _{\pm }\left(t,\dots \right)$

Fodralet har den extra egenskapen att halvaxlarna och halvaxlarna påverkar varandra. Betrakta fallet Sedan från kedjan av relationer $\lambda <0$ $y<0$ $y>0$ $y>0.$

F\left(\lambda ^{2}y,t_{2},\dots ,t_{n}\right)=CF\left(\lambda y,t_{2},\dots ,t_{n }\right)=C^{2}F\left(y,t_{2},\dots ,t_{n}\right)

det följer att för måste funktionen ha formen $x_{1}>0$ $f\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)$

f\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)=\Omega \left(\log |x_{1}|,{\frac {x_{2} }{x_{1}}},\dots {\frac {x_{n}}{x_{1}}}\right)\exp \left({\frac {\log |C|\cdot \log |x_ {1}|}{\log |\lambda |}}\right),

var är en funktion som är periodisk i en variabel med en period och en definitionsdomän. Sedan dess är varje positiv punkt en-till-en med en negativ punkt med värdet på funktionen lika med . Som ett resultat, med hänsyn till funktionens periodicitet , beräknas funktionen som $\Omega \left(t,\dots \right)$ $t$ $2\log |\lambda |$ $t\in (-\infty ,+\infty ).$ $\lambda <0,$ $x_{1}>0$ $\lambda x_{1}<0$ $Cf\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right).$ $\Omega \left(t,\dots \right)$ $f\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)$

a) kl

x_{1}>0:

f(x_{1},x_{2},\dots,x_{n})=\Omega \left(\log |x_{1}|,{\frac {x_{2}}{x_{ 1}}},\dots {\frac {x_{n}}{x_{1}}}\right)\exp \left({\frac {\log |C|\cdot \log |x_{1}| }{\log |\lambda |}}\right),

b) när

x_{1}<0:

f(x_{1},x_{2},\dots,x_{n})=tecken(C)\cdot \Omega \left(\log |x_{1}|+\log |\lambda | ,{\frac {x_{2}}{x_{1}}},\dots {\frac {x_{n}}{x_{1}}}\right)\exp \left({\frac {\log |C|\cdot \log |x_{1}|}{\log |\lambda |}}\right),

var är en funktion periodisk i en variabel med period Det är lätt att kontrollera att den funktion som definieras på detta sätt för fallet verkligen uppfyller den önskade funktionsekvationen både för $\Omega \left(t,\dots \right)$ $t$ $2\log |\lambda |.$ $f(x_{1},x_{2},\dots,x_{n})$ $\lambda <0$ $x_{1}>0,$ $x_{1}<0.$

Notera. Om någon funktion uppfyller den angivna funktionella ekvationen för vissa , är det lätt att se att den uppfyller samma funktionella ekvation för andra uppsättningar värden . Så, för fallet, kommer uppsättningen av sådana par att vara för alla heltalsvärden som inte är noll där heltal är valt så att värdet är den minsta positiva perioden för en funktion . Introduktion av notationen så att vi får villkoret som motsvarar gränslöst homogena funktioner. Ersättningen bringar representationen av gränsligt homogena funktioner till den vanliga formen. $C_{0},\lambda _{0},$ $\left(C,\lambda\right).$ $C_{0}>0,\lambda _{0}>0$ $\lambda _{k}=\lambda _{0}^{k/m},$ ${\displaystyle C_{k}=C_{0}^{k/m))$ $k=\pm 1,\pm 2,\dots ,$ $m$ $|\log \lambda _{0}|/m$ $\Omega _{\pm }\left(t,\dots \right).$ ${\displaystyle q=\log C_{0}/\log \lambda _{0))$ $C_{0}=\lambda _{0}^{q},$ $C_{k}\equiv \left(\lambda _{k}\right)^{q},$ $\exp \left({\frac {\log C\cdot \log x_{1}}{\log \lambda }}\right)\to x_{1}^{q}$

3. Ytterligare funktionella ekvationer finns i avsnitten "Associerade homogena funktioner" och "Ömsesidigt homogena funktioner" i denna artikel.

Homogena generaliserade funktioner

Generaliserade funktioner eller distributioner definieras som linjära kontinuerliga funktionaler definierade på utrymmet av "tillräckligt bra" funktioner. När det gäller homogena generaliserade funktioner är det lämpligt att använda utrymmet av funktioner som har derivator av vilken ordning som helst och som minskar snabbare än någon grad som "tillräckligt bra" funktioner. I detta fall är varje vanlig funktion som ärintegrerad i vilken finit domän som helst associerad med det funktionella $\mathbb{S}$ $\varphi (x)=\varphi (x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}),$ $\left|x\right|\to \infty$ ${\frac {1}{\left|x\right|}}.$ $f(x)$

T_{f}\left[\varphi \right]=\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)\varphi (x)dx,

definieras i rymden och uppenbarligen linjära och kontinuerliga. Generaliserade funktioner gör det möjligt att förenkla övervägandet av många analysfrågor (till exempel har varje generaliserad funktion derivator av vilken ordning som helst, tillåter en Fourier-transform, etc.), samt legitimera sådana exotiska objekt som -funktionen och dess derivator . $\varphi \in \mathbb {S}$ $\delta$

För vanliga integrerbara funktioner som är homogena med en exponent av homogenitet gäller den lätt verifierbara identiteten $f(x_{1},\dots,x_{n}),$ $q,$

T_{f}\left[\varphi \left({\frac {x_{1)){\lambda )),{\frac {x_{2)){\lambda )),\dots ,{\ frac {x_{n}}{\lambda }}\right)\right]=\lambda ^{q+n}T_{f}\left[\varphi \left(x_{1},x_{2},\ prickar ,x_{n}\right)\right].\qquad \qquad \qquad (**)

Denna identitet tas som definitionen av en generaliserad homogen funktion: en homogen generaliserad funktion med en exponent för homogenitet (allmänt sett komplex) är en linjär kontinuerlig funktion som definieras i rymden och som uppfyller identiteten (**). $q$ $\varphi \in \mathbb {S}$

De associerade homogena generaliserade funktionerna definieras på liknande sätt. Den associerade homogena generaliserade ordningens funktion med en exponent för homogenitet är en linjär kontinuerlig funktion som för alla uppfyller relationen $T_{k}\left[\varphi \right]$ $k$ $q$ $\lambda >0$

T_{k}\left[\varphi \left({\frac {x_{1)){\lambda )),{\frac {x_{2)){\lambda )),\dots ,{\ frac {x_{n}}{\lambda }}\right)\right]=\lambda ^{q+n}T_{k}\left[\varphi \left(x_{1},x_{2},\ prickar ,x_{n}\right)\right]+\lambda ^{q+n}\log \lambda \cdot T_{k-1}\left[\varphi \left(x_{1},x_{2} ,\dots ,x_{n}\right)\right],

där är någon adjoint homogen generaliserad funktion av ordningen med en exponent för homogenitet $T_{k-1}\left[\varphi \right]$ $(k-1)$ $q.$ $q$ $q.$

Exempel. En generaliserad funktion är en homogen generaliserad funktion med en exponent för homogenitet sedan $\delta (x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})$ $(-n)$ $\delta [\varphi ({x_{1}}/\lambda ,{x_{2}}/\lambda ,\dots ,{x_{n}}/\lambda )]=\varphi (0,0 ,\dots ,0)=\delta [\varphi (x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})].$

Studiet av homogena generaliserade funktioner gör det möjligt att ge meningsfull mening åt integraler med singular singulariteter som inte är integrerbara i vanlig mening. Betrakta till exempel en generaliserad funktion. Denna funktion är definierad för och, eftersom den är lätt att kontrollera, är en homogen generaliserad funktion med en exponent för homogenitet . Med ett fast val av testfunktionen kan värdet betraktas som en funktion av en komplex variabel och generellt sett kan den analytiskt fortsätta utanför det givna intervallet. Nämligen höger och vänster sida av jämlikheten $T_{q}^{+}\left[\varphi \right]=\int _{0}^{+\infty }x^{q}\varphi (x)dx.$ $Re(q)>-1$ $q.$ ${\displaystyle T_{q}^{+))$ $\varphi \left(x\right)$ $q$

\int _{0}^{+\infty }x^{q}\varphi (x)dx=\int _{1}^{+\infty }x^{q}\varphi (x)dx+ \int _{0}^{1}x^{q}\left(\varphi (x)-\sum _{k=0,n}x^{k}{\frac {\varphi ^{(k) }(0)}{k!}}\right)dx+\sum _{k=0,n}{\frac {\varphi ^{(k)}(0)}{k!(q+k+1) }},

är analytiska i variabeln och identiskt lika med varandra för . Men den högra sidan av jämlikheten är meningsfull och är också analytisk för . På grund av detta är den högra sidan av jämlikheten en analytisk fortsättning på den vänstra -hand sidan av jämlikheten för Som ett resultat av jämställdheten $q$ $Re(q)>-1.$ $Re(q)>-n.$ $Re(q)>-n.$

T_{q}^{+}[\varphi (x)]=\int _{1}^{+\infty }x^{q}\varphi (x)dx+\int _{0}^{ 1}x^{q}\left(\varphi (x)-\sum _{k=0,n}x^{k}{\frac {\varphi ^{(k)}(0)}{k! }}\right)dx+\sum _{k=0,n}{\frac {\varphi ^{(k)}(0)}{k!(q+k+1))),

definierar en linjär kontinuerlig funktionell som är en förlängning av den tidigare definierade funktionella upp till värden . Formlerna för och för ger samma resultat för samma värden där de båda är meningsfulla: denna definition är konsekvent. Den generaliserade funktionen som nu definieras för alla är fortfarande en homogen generaliserad funktion, eftersom homogenitetsrelationen bevaras under analytisk fortsättning. ${\displaystyle T_{q}^{+))$ $Re(q)>-n.$ $Re(q)>-n$ $Re(q)>-m$ $q,$ $T_{q}^{+},$ $q,$

Med hjälp bestäms de

regulariserade värdena av integralen som är meningsfulla för alla komplex . Undantag är heltalsvärden där den reguljära integralen är singular: den funktionella som funktion av en variabel i en punkt har en enkel pol med en rest

T_{q}^{+}\left[\varphi \right]

\int _{0}^{+\infty }x^{q}\varphi (x)dx,

q.

q=-1,-2,\dots ,-n,\dots ,

T_{q}^{+}\left[\varphi \right]

q

q=-n

\varphi ^{(n-1)}(0)/(n-1)!.

Enligt samma schema kan den angränsande homogena funktionen fortsätta analytiskt. Med dess hjälp bestäms regulariserade värden för integraler som är meningsfulla för $Re(q)\leq -1$ $T_{p,q}^{+}\left[\varphi \right]=\int _{0}^{+\infty }x^{q}\log ^{p}(x)\varphi (x)dx.$ $\int _{0}^{+\infty }x^{q}\log ^{p}(x)\varphi (x)dx,$ $Re(q)\leq -1.$

På ett liknande men mer komplext sätt konstrueras homogena generaliserade funktioner och associerade homogena generaliserade funktioner för fallet med variabler. Detaljer finns i bibliografin som citeras här. Teorin om homogena generaliserade funktioner gör det möjligt att konstruktivt förstå, som appliceras på utrymmet av generaliserade funktioner, vanliga funktioner som har icke-integrerbara singulariteter - beräkna integraler av sådana funktioner, hitta deras Fourier-transform, etc. $n$

Bibliografi: I. M. Gelfand, Z. Ya. Shapiro . Homogena funktioner och deras tillämpningar. Advances in Mathematical Sciences, vol. 10 (1955) nr. 3, sid. 3-70.

Homogen funktion

Alternativ definition av en homogen funktion

Egenskaper

Lambda homogena funktioner

Euler-operator

Boundedly Homogeneous Functions

Associerade homogena funktioner

Ömsesidigt homogena funktioner

Några funktionella ekvationer relaterade till homogena funktioner

Homogena generaliserade funktioner

Se även