Kvaternion

Kvaternion
Datum för stiftelse/skapande/förekomst	1843 [1]
Föregående i ordning	komplext tal
Nästa i ordning	Cayley algebra
Upptäckare eller uppfinnare	William Rowan Hamilton [1]
öppningsdatum	1843
Formel som beskriver en lag eller teorem	$i^{2}=j^{2}=k^{2}=ijk=-1$
Beskrivs i länken	treccani.it/enciclopedia…getpocket.com/explore/it… ( engelska )


Mediafiler på Wikimedia Commons

Kvaternioner (från lat. quaterni , fyra vardera ) - ett system av hyperkomplexa tal , som bildar ett vektorutrymme med dimension fyra över fältet av reella tal . Betecknas vanligtvis med symbolen . Föreslog av William Hamilton 1843 . $\mathbb {H}$

Kvaternioner är bekväma för att beskriva isometrier av tre- och fyrdimensionella euklidiska utrymmen och används därför i stor utsträckning inom mekanik . De används också i beräkningsmatematik - till exempel när man skapar tredimensionell grafik [2] .

Henri Poincare skrev om quaternions: "Deras utseende gav en kraftfull impuls till utvecklingen av algebra ; Med utgångspunkt från dem gick vetenskapen längs vägen för att generalisera begreppet tal och komma till begreppen en matris och en linjär operator som genomsyrar modern matematik. Det var en revolution inom aritmetiken, liknande den som Lobatsjovskij gjorde inom geometrin ” [3] .

Definitioner

Standard

Kvaternioner kan definieras som summan

q=a+bi+cj+dk

var finns reella tal $a,b,c,d$

i,j,k

är imaginära enheter med följande egenskap: , medan resultatet av deras parvisa produkt beror på sekvensordningen (är inte kommutativ ): , a .

i^{2}=j^{2}=k^{2}=ijk=-1

ij=k

ji=-k

Multiplikationstabell för grundläggande kvaternioner

1,i,j,k

X	ett	i	j	k
ett	ett	i	j	k
i	i	-ett	k	-j
j	j	-k	-ett	i
k	k	j	-jag	-ett

Som en vektor och en skalär

En quaternion är ett par där är en tredimensionell rymdvektor, och är en skalär, det vill säga ett reellt tal . $\left(a,{\vec {u}}\right),$ ${\vec {u}}$ $a$

Tilläggsoperationerna definieras enligt följande:

\left(a,{\vec {u}}\right)+\left(b,{\vec {v}}\right)=\left(a+b,{\vec {u}}+ {\vec {v}}\höger).

En produkt definieras enligt följande:

\left(a,{\vec {u}}\right)\left(b,{\vec {v}}\right)=\left(ab-{\vec {u}}\cdot {\ vec {v)),a{\vec {v}}+b{\vec {u}}+{\vec {u}}\ gånger {\vec {v}}\right),

där betecknar skalärprodukten och är vektorprodukten . $\cdot$ $\ gånger$

Särskilt,

\left(a,0\right)\left(0,{\vec {v}}\right)=\left(0,{\vec {v}}\right)\left(a,0\ höger)=\left(0,a{\vec {v}}\right),

\left(a,0\right)\left(b,0\right)=\left(ab,0\right),

\left(0,{\vec {u}}\right)\left(0,{\vec {v}}\right)=\left(-{\vec {u}}\cdot {\vec {v)),{\vec {u}}\ gånger {\vec {v}}\right).

Lägg märke till att:

Algebraiska operationer på kvaternioner har fördelningsegenskapen ;
Antikommutativiteten hos vektorprodukten antyder icke-kommutativiteten hos produkten av kvaternioner.

Genom komplexa tal

En godtycklig kvaternion kan representeras som ett par av komplexa tal i formen $\q=a+bi+cj+dk$

\ q=(a+bi)+(c+di)j

eller likvärdig

\ q=z_{1}+z_{2}j,\quad z_{1}=a+bi,\quad z_{2}=c+di,

var är komplexa tal, eftersom det gäller för både komplexa tal och kvaternioner, och . $\z_{1},z_{2}$ $\ i^{2}=-1$ $k=ij$

Genom matrisrepresentationer

Verkliga matriser

Kvaternioner kan också definieras som reella matriser av följande form med den vanliga matrisprodukten och summan:

{\begin{pmatrix}a&-b&-c&-d\\b&\;\;a&-d&\;\;c\\c&\;\;d&\;\;a&-b\\d&-c&\; \;b&\;\;a\end{pmatrix}}.

Med denna post:

den konjugerade kvaternionen motsvarar den transponerade matrisen: ${\bar q}\mapsto Q^{T}$ ;
den fjärde potensen av kvaternionmodulen är lika med determinanten för motsvarande matris: $\left|q\right|^{4}=\det F.$

Komplexa matriser

Alternativt kan kvaternioner definieras som komplexa matriser av följande form, med den vanliga matrisprodukten och summan:

{\begin{pmatrix}\;\;\alpha &\beta \\-{\bar \beta}&{\bar \alpha}\end{pmatrix))={\begin{pmatrix}\;\;a+ bi&c +di\\-c+di&a-bi\end{pmatrix}},

här och beteckna de komplexa konjugerade talen k och . ${\bar \alpha }$ ${\bar \beta }$ $\alfa$ $\beta$

Denna representation har flera anmärkningsvärda egenskaper:

ett komplext tal motsvarar en diagonal matris;
den konjugerade kvartärnionen motsvarar den konjugerade transponerade matrisen: ${\bar q}\mapsto {\bar Q}^{T}$ ;
kvadraten på kvaternionmodulen är lika med determinanten för motsvarande matris: $\left|q\right|^{2}=\det F.$

Relaterade objekt och operationer

För quaternion

q=a+bi+cj+dk

quaternion kallas den skalära delen och quaternion kallas vektordelen . Om då kvaternionen kallas rent skalär , och när - rent vektor . $a$ $q,$ $u=bi+cj+dk$ $u=0,$ $a=0$

Konjugation

För en quaternion är konjugatet : $q$

{\bar {q}}=a-bi-cj-dk.

Konjugatprodukten är produkten av konjugaten i omvänd ordning:

{\overline {pq}}={\bar {q}}{\bar {p}}.

För quaternions, jämställdheten

{\overline {p}}=-{\frac {1}{2}}(p+ipi+jpj+kpk).

Modul

Precis som för komplexa tal,

\left|q\right|={\sqrt {q{\bar q}}}={\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}}}

kallas en modul . If then kallas enheten quaternion . $q$ $\left|q\right|=1,$ $q$

Som normen för en quaternion anses dess modul vanligtvis: . $\vänster\|z\höger\|=\vänster|z\höger|$

Således kan ett mått införas på uppsättningen av kvaternioner. Kvaternioner bildar ett metriskt rymd som är isomorft med den euklidiska metriken. $\R^4$

Kvaternioner med modul som norm bildar en Banachalgebra .

Återföring av multiplikation (division)

Kvaternion, invers till multiplikation till , beräknas enligt följande: . $q$ $q^{{-1}}={\frac {{\bar q}}{\left|q\right|^{2}}}$

Algebraiska egenskaper

Uppsättningen av quaternions är ett exempel på en solid , det vill säga en ring med division och en. Uppsättningen av kvaternioner bildar en fyrdimensionell associativ divisionsalgebra över fältet av reella (men inte komplexa) tal.

Genom Frobenius-satsen är kropparna , , de enda finita dimensionella associativa divisionalgebror över fältet av reella tal. ${\mathbb R}$ ${\mathbb C}$ ${\mathbb H}$

Kvaternionmultiplikationens icke-kommutativitet leder till oväntade konsekvenser. Till exempel kan antalet olika rötter i en polynomekvation över en uppsättning kvaternioner vara större än ekvationens grad. I synnerhet har ekvationen oändligt många lösningar - dessa är alla enhetliga rent vektorkvaternioner. $q^{2}+1=0$

Fyra grundläggande kvaternioner och fyra motsatta i tecken bildar en grupp av kvaternioner ( av ordningen 8) genom multiplikation. Utsedda:

Q_{8}=\left\{\pm 1,\pm i,\pm j,\pm k\right\}.

Kvaternioner och rymdrotationer

Kvaternioner, som betraktas som en algebra över , bildar ett fyrdimensionellt verkligt vektorutrymme . Varje rotation av detta utrymme i förhållande till kan skrivas som , där och är ett par enhetskvaternioner, medan paret bestäms upp till ett tecken, det vill säga en rotation bestäms av exakt två par - och . Det följer av detta att Lie-gruppen av rotationer är faktorgruppen , där betecknar den multiplikativa gruppen av enhetskvaternioner. $\mathbb {R}$ $0$ $q\mapsto\xi q\zeta$ $\xi$ $\zeta$ $\left(\xi ,\zeta \right)$ $\left(\xi ,\zeta \right)$ $\left(-\xi ,-\zeta \right)$ ${\text{SO}}\left(\mathbb{R} ,4\right)$ $\R^4$ $S^{3}\ gånger S^{3}/\mathbb{Z } _{2}$ $S^{3}$

Rent vektorkvaternioner bildar ett tredimensionellt verkligt vektorrum. Varje rotation av utrymmet för rent vektorkvaternioner med avseende på kan skrivas som , där är någon enhetskvarternion. Följaktligen är i synnerhet diffeomorf till . $0$ $u\mapsto \xi u{\bar \xi }$ $\xi$ ${\text{SO}}\left(\mathbb{R} ,3\right)=S^{3}/\mathbb{Z } _{2}$ ${\text{SO}}\left(\mathbb{R} ,3\right)$ $\mathbb{R} {\mathrm {P}}^{3}$

"Hela" quaternions

Som norm för en kvaternion väljer vi kvadraten på dess modul: . $\left\|z\right\|=\left|z\right|^{2}$

Hurwitz- heltal kallas kvaternioner så att alla är heltal och har samma paritet. $a+bi+cj+dk$ $2a, 2b, 2c, 2d$

En heltalskvarternion kallas

även
udda
enkel

om dess norm har samma egenskap.

En heltalskvarternion kallas primitiv om den inte är delbar med något naturligt tal annat än , heltal (med andra ord ). $ett$ $\gcd \left(2a,2b,2c,2d\right)\leq 2$

Heltalsenhet quaternions

Det finns 24 heltalsenhetskvarternioner:

\pm 1

; ; ; ;

\pm jag

\pm j

\pm k

{\frac {\pm 1\pm i\pm j\pm k}{2)).

De bildar en grupp genom multiplikation, ligger i hörnen på en vanlig 4-dimensionell polyeder - en 3-kuboktaeder (inte att förväxla med en 3-dimensionell polyeder- kuboktaeder ).

Nedbrytning till primtalsfaktorer

För primitiva kvaternioner är en analog till aritmetikens grundläggande sats sann .

Sats. [4] För varje fast ordning av faktorer i sönderdelningen av quaternion normen till en produkt av positiva heltal, finns det en quaternion sönderdelning till en produkt av enkla quaternions sådan att . Dessutom är denna expansion unik modulo multiplikation med enheter, vilket innebär att alla andra expansioner kommer att ha formen $N(q)$ $N(q)=p_{1}p_{2}...p_{n}$ $q$ $q=q_{1}q_{2}...q_{n}$ $N(q_{i})=p_{i}$

q=\left(q_{1}\epsilon _{1}\right)\left({\bar \epsilon }_{1}q_{2}\epsilon _{2}\right)\left({\bar \epsilon }_{2}q_{3}\epsilon _{3}\right)...\left({\bar \epsilon }_{{n-1}}q_{n}\right)

där , , , … är heltalsenhetskvaternioner. $\epsilon_{1}$ $\epsilon_{2}$ $\epsilon _{3}$ $\epsilon_{{n-1}}$

Till exempel har en primitiv quaternion normen 60, vilket betyder att, modulo multiplikation med enheter, den har exakt 12 expansioner till en produkt av enkla quaternions, motsvarande 12 expansioner av talet 60 till produkter av primtal: $q=(1+i)^{2}(1+i+j)(2+i)$

$60=2\cdot 2\cdot 3\cdot 5\quad 60=2\cdot 2\cdot 5\cdot 3\quad 60=2\cdot 3\cdot 2\cdot 5\quad 60=2\cdot 5\cdot 2\cdot 3\quad 60=2\cdot 3\cdot 5\cdot 2\quad 60=2\cdot 5\cdot 3\cdot 2$

$60=3\cdot 2\cdot 2\cdot 5\quad 60=5\cdot 2\cdot 2\cdot 3\quad 60=3\cdot 2\cdot 5\cdot 2\quad 60=5\cdot 2\cdot 3\cdot 2\quad 60=3\cdot 5\cdot 2\cdot 2\quad 60=5\cdot 3\cdot 2\cdot 2$

Det totala antalet expansioner av en sådan quaternion är $24^{3}\cdot 12=165888$

Quaternion Variable Functions

Hjälpfunktioner

Kvaterniontecknet beräknas så här:

\operatorname {sgn} \,q={\frac {q}{\left|q\right|}}.

Kvaternion-argumentet är vinkeln i 4D-rymden mellan kvaternion och den verkliga enheten:

\arg q=\arccos {\frac {a}{\left|q\right|}}.

I det följande använder vi representationen av den givna kvaternionen i formuläret $q$

q=a+\left|\mathbf {u} \right|\mathrm {i} =\left|q\right|\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \,\mathrm {arg} \ ,q}.

Här är den verkliga delen av quaternion, . Samtidigt , därför , det verkliga raka planet som passerar genom och har strukturen av algebra av komplexa tal, vilket gör att vi kan överföra godtyckliga analytiska funktioner till fallet med kvaternioner. De uppfyller standardrelationerna om alla argument är av formen för en fast enhetsvektor . Om det krävs att överväga kvaternioner med olika riktningar blir formlerna mycket mer komplicerade, på grund av att kvartjonalgebra inte är kommutativ. $a$ ${\mathrm {i}}=\left|{\mathbf {u}}\right|^{{-1}}{\mathbf {u}}$ ${\mathrm {i}}^{2}=-1$ $q$ $a+b{\mathrm {i}}$ ${\mathrm {i}}$

Elementära funktioner

Standarddefinitionen av analytiska funktioner på en associativ normerad algebra är baserad på expansionen av dessa funktioner till potensserier. Argumenten som bevisar riktigheten av definitionen av sådana funktioner är helt analoga med det komplexa fallet och är baserade på beräkning av konvergensradien för motsvarande potensserie. Med tanke på ovanstående "komplexa" representation för en given kvartjon, kan motsvarande serie reduceras till den kompakta formen nedan. Här är bara några av de vanligaste analytiska funktionerna; på samma sätt kan vilken analytisk funktion som helst beräknas. Den allmänna regeln är: om för komplexa tal, var är kvartenionen då betraktad i den "komplexa" representationen . $f(a+b{\mathrm {i}})=c+d{\mathrm {i}}$ $f(q)=c+d{\mathbf {i))$ $q$ $q=a+b{\mathbf {i))$

Grad och logaritm

\exp q=\exp a\left(\cos \left|{\mathbf {u}}\right|+\sin \left|{\mathbf {u}}\right|{\hat ({\mathbf {u } }}}}\höger)

\ln q=\ln \left|q\right|+\arg q\,{\hat ({\mathbf {u)))))

Observera att, som vanligt vid komplex analys, visar sig logaritmen endast vara definierad upp till . $2\pi {\hat {{\mathbf {u))))$

Trigonometriska funktioner

\sin q=\sin a\,\operatörsnamn {ch}\left|{\mathbf {u}}\right|+\cos a\,\operatörsnamn {sh}\left|{\mathbf {u}}\right |{\hat {{\mathbf {u}}}}

\cos q=\cos a\,\operatörsnamn {ch}\left|{\mathbf {u}}\right|-\sin a\,\operatörsnamn {sh}\left|{\mathbf {u}}\right |{\hat {{\mathbf {u}}}}

\operatörsnamn {tg}\,q={\frac {\sin q}{\cos q))

Linjär visning

En quaternion algebra mappning kallas linjär om likheterna $f:\mathbb {H} \rightarrow \mathbb {H}$

f(x+y)=f(x)+f(y)

f(ax)=af(x)

x,y\in \mathbb {H} ,a\in \mathbb {R}

var är fältet för reella tal. If är en linjär mappning av quaternionalgebra, då för all mappning $\mathbb {R}$ $f$ $a,b\in \mathbb {H}$

(afb)(x)=af(x)b

är en linjär mappning. Om är identitetsmappningen ( ), så kan vi för vilken som helst identifiera tensorprodukten med mappningen $f$ $f(x)=x$ $a,b\in \mathbb {H}$ $a\otimes b$

(a\otimes b)\circ x=axb

För all linjär mappning finns det en tensor , , sådan att $f:\mathbb {H} \rightarrow \mathbb {H}$ $a\in \mathbb {H} \otimes \mathbb {H}$ ${\displaystyle a=a_{s0}\otimes a_{s1))$

{\displaystyle f(x)=a\circ x=(a_{s0}\otimes a_{s1})\circ x=a_{s0}xa_{s1))

Ovanstående likheter förutsätter summering över indexet . Därför kan vi identifiera den linjära avbildningen och tensorn . $s$ $f$ $a$

Vanliga funktioner

Det finns olika sätt att definiera reguljära funktioner för en kvartjonvariabel. Det mest explicita är övervägandet av kvaternioniskt differentierbara funktioner, medan man kan överväga höger -differentiera-bara och vänster- differentiera funktioner som inte sammanfaller på grund av icke-kommutativiteten av kvartärnionmultiplikation. Uppenbarligen är deras teori helt analog. Vi definierar en kvaternion-vänster differentierbar funktion som att ha en gräns $f$

{\frac {df}{dq}}=\lim _{{h\to 0}}\left[h^{{-1}}\left(f\left(q+h\right)-f\left (q\höger)\höger)\höger]

Det visar sig att alla sådana funktioner i något område av punkten har formen $q$

f=a+qb

där finns konstanta kvartioner. Ett annat sätt är baserat på användningen av operatörer $a,b$

{\frac {\partial }{\partial {\bar q))}={\frac {\partial }{\partial t))+{\vec i}{\frac {\partial }{\partial x)) +{\vec j}{\frac {\partial }{\partial y))+{\vec k}{\frac {\partial }{\partial z))

{\frac {\partial }{\partial q))={\frac {\partial }{\partial t))-{\vec i}{\frac {\partial }{\partial x))-{\vec j}{\frac {\partial }{\partial y}}-{\vec k}{\frac {\partial }{\partial z}}

och övervägande av sådana kvaternionfunktioner , för vilka [5] $f$

{\frac {\partial f}{\partial {\bar q))}=0

vilket är helt analogt med användningen av operatörer och i det komplexa fallet. I detta fall erhålls analoger av integral-Cauchy-satsen , teorin om rester , övertonsfunktioner och Laurent-serier för kvaternionfunktioner [6] . ${\frac {\partial }{\partial {\bar z))}$ ${\frac {\partial }{\partial z))$

Differentiering av mappningar

En kontinuerlig mappning kallas differentiabel på uppsättningen om ändringen i mappningen vid varje punkt kan representeras som $f:\mathbb {H} \rightarrow \mathbb {H}$ $U\subset \mathbb {H}$ $x\i U$ $f$

f(x+h)-f(x)={\frac {df(x)}{dx}}\circ h+o(h)

var

{\frac {df(x)}{dx}}:\mathbb {H} \rightarrow \mathbb {H}

en linjär karta av quaternion algebra och en kontinuerlig karta sådan att $\mathbb {H}$ $o:\mathbb {H} \rightarrow \mathbb {H}$

\lim _{a\rightarrow 0}{\frac {|o(a)|}{|a|}}=0

Den linjära mappningen kallas derivatan av mappningen . ${\frac {df(x)}{dx))$ $f$

Derivatan kan representeras som [7]

{\frac {df(x)}{dx}}={\frac {d_{s0}f(x)}{dx}}\ibland {\frac {d_{s1}f(x)}{ dx}}

Följaktligen har mappningsdifferentialen formen $f$

df=

{\frac {df(x)}{dx}}\circ dx=\left({\frac {d_{s0}f(x)}{dx}}\ibland {\frac {d_{s1} f(x)}{dx}}\right)\circ dx={\frac {d_{s0}f(x)}{dx}}dx{\frac {d_{s1}f(x)}{dx} }

Här antas summering efter index . Antalet termer beror på valet av funktion . Uttrycken och kallas komponenter av derivatan. $s$ $f$ ${\frac {d_{s0}df(x)}{dx))$ ${\frac {d_{s1}f(x)}{dx))$

För en godtycklig quaternion , jämlikheten $a$

{\frac {df(x)}{dx}}\circ a=\lim _{t\to 0}(t^{-1}(f(x+ta)-f(x)))

Typer av multiplikationer

Grassmann multiplikation

Detta är ett annat namn för den allmänt accepterade multiplikationen av kvaternioner ( ). $pq$

Euklidisk multiplikation

Den skiljer sig från den allmänt accepterade genom att istället för den första faktorn tas konjugatet till den: . Den är också icke-kommutativ. ${\bar p}q$

Punkt produkt

Liknande operationen med samma namn för vektorer:

p\cdot q={\frac {{\bar p}q+{\bar q}p}{2))

Denna operation kan användas för att välja en av koefficienterna, till exempel . $\left(a+bi+cj+dk\höger)\cdot i=b$

Definitionen av kvaternionmodulen kan modifieras:

\left|p\right|={\sqrt {p\cdot p}}

Extern produkt

\operatörsnamn {Ytter}\left(p,q\right)={\frac {{\bar p}q-{\bar q}p}{2))

Används inte särskilt ofta, men betraktas som ett komplement till prickprodukten.

Vektorprodukt

Liknar operationen med samma namn för vektorer. Resultatet är också en vektor:

p\ gånger q={\frac {pq-qp}{2))

Från historia

Kvaternionsystemet publicerades först av Hamilton 1843 . Vetenskapshistoriker har också hittat skisser om detta ämne i Gauss opublicerade manuskript som går tillbaka till 1819-1820 [ 9 ] . Euler ansåg också quaternions. B. O. Rodrigue (1840), när man övervägde rotationerna av en absolut stel kropp, härledde reglerna för att multiplicera kvartjoner [10] [11] .

Den snabba och extremt fruktbara utvecklingen av komplex analys under 1800-talet stimulerade matematikernas intresse för följande problem: att hitta en ny sorts tal, som i egenskaper liknar komplexa tal , men som inte innehåller en utan två imaginära enheter. Det antogs att en sådan modell skulle vara användbar för att lösa rumsliga problem inom matematisk fysik. Arbetet i denna riktning misslyckades dock. Hamilton [11] behandlade samma problem .

En ny typ av tal upptäcktes av den irländska matematikern William Hamilton 1843 , och det innehöll inte två, som förväntat, utan tre imaginära enheter. Hamilton arbetade först med dubletter (punkter i ett plan) och fick lätt fram regler för multiplikation motsvarande komplexa tal, men för punkter i rymden ( trippel ) kunde han inte få fram någon multiplikationsformel för sådana mängder. Till slut bestämde jag mig för att prova fyror – punkter i fyrdimensionell rymd. Hamilton kallade dessa siffror quaternions [12] . Senare bevisade Frobenius rigoröst ( 1877 ) en teorem enligt vilken det är omöjligt att utöka ett komplext fält till ett fält eller en kropp med två imaginära enheter [13] .

Utvecklingen av kvaternioner och deras tillämpningar i fysiken följde tre relaterade vägar: med den algebraiska strategin, vars apologeter var Cayley , Clifford , B. Pierce , C. Pierce och Frobenius; med teorin om komplexa kvaternioner, vars representanter var Clifford, Studi och Kotelnikov ; med fysik på grund av namnen Maxwell och Heaviside [14] . Trots de ovanliga egenskaperna hos nya siffror (deras icke-kommutativitet) gav denna modell snabbt praktiska fördelar. Maxwell använde kompakt quaternion notation för att formulera sina elektromagnetiska fältekvationer . [15] Senare, på basis av quaternion algebra, skapades tredimensionell vektoranalys ( Gibbs , Heaviside ) [16] . Användningen av kvaternioner har ersatts av vektoranalys från elektrodynamikens ekvationer. Den nära kopplingen mellan Maxwells ekvationer och kvaternioner är dock inte begränsad till elektrodynamik, eftersom formuleringen av SRT i termer av 4-vektorer konstruerades av Minkowski i teorin om SRT med användning av kvaternioner av A. W. Conway och Silberstein [ 17] . Efterkrigstiden för användningen av kvaternioner i fysiken är förknippad med den utbredda användningen av teorin om grupper och deras representationer i elementarpartikelfysik. Det är också möjligt att ersätta kvantmekanikens standard Hilbert-utrymme med dess definition över snedställningsfältet för quaternions [18] .

Modern applikation

Under 1900-talet gjordes flera försök att använda kvaternionmodeller inom kvantmekaniken [19] och relativitetsteorin [20] . Kvaternioner har funnit verklig tillämpning i modern datorgrafik och spelprogrammering [21] , såväl som i beräkningsmekanik [22] [23] , i tröghetsnavigering och kontrollteori [24] [25] . Sedan 2003 har tidskriften Hypercomplex Numbers in Geometry and Physics publicerats [26] .

I många tillämpningar har mer generella och praktiska medel än kvaternioner hittats. Till exempel, idag, för att studera rörelser i rymden, används oftast matriskalkyl [27] . Men där det är viktigt att specificera en tredimensionell rotation med det minsta antalet skalära parametrar, är användningen av Rodrigues-Hamilton-parametrarna (det vill säga de fyra komponenterna i rotationskvarternionen) ofta att föredra: en sådan beskrivning degenererar aldrig , och när man beskriver rotationer med tre parametrar (till exempel Euler-vinklar ) finns det alltid kritiska värden för dessa parametrar när beskrivningen degenererar [22] [23] .

Som en algebra över bildar kvaternioner ett verkligt vektorrum utrustat med en tredje rangstensor av typ (1,2), ibland kallad strukturtensor . Liksom alla tensorer av denna typ, mappar varje 1-form på och ett par vektorer från till ett reellt tal . För vilken fast 1-form som helst förvandlas den till en samvariant tensor av den andra rangen, som, i fallet med dess symmetri, blir den inre produkten på . Eftersom varje reellt vektorrum också är ett verkligt linjärt grenrör genererar en sådan inre produkt ett tensorfält som, förutsatt att det är icke-degenererat, blir ett (pseudo- eller korrekt) euklidiskt mått på . I fallet med quaternions är denna inre produkt obestämd , dess signatur är oberoende av 1-formen , och motsvarande pseudo-euklidiska mått är Minkowski-metriken [28] . Detta mått utökas automatiskt till Lie -gruppen av kvaternioner som inte är noll längs dess vänsterinvarianta vektorfält, och bildar det så kallade slutna FLRU-måttet (Friedmann-Lemaitre-Robertson-Walker) [29] , en viktig lösning på Einsteins ekvationer . Dessa resultat klargör vissa aspekter av problemet med kompatibilitet mellan kvantmekanik och allmän relativitet inom ramen för teorin om kvantgravitation [30] . $\scriptstyle \mathbb {R}$ $\scriptstyle \mathbb {H}$ $S$ $S$ $t$ $\scriptstyle \mathbb {H}$ $\left(a,b\right)$ $\scriptstyle \mathbb {H}$ $S\vänster(t,a,b\höger)$ $t$ $S$ $\scriptstyle \mathbb {H}$ $\scriptstyle \mathbb {H}$ $t$

Se även

Anteckningar

↑ 1 2 Hazewinkel M. , Gubareni N. M. Algebras, ringar och moduler (engelska) - Springer Science + Business Media , 2004. - P. 12. - ISBN 978-1-4020-2690-4
↑ Quaternions i spelprogrammering Arkiverad 25 juli 2009 på Wayback Machine ( GameDev.ru )
↑ Polak L. S. William Rowan Hamilton (med anledning av hans 150-årsdag) // Proceedings of the Institute of the History of Natural Science. - USSR:s vetenskapsakademi, 1956. - T. 15 (Historia om fysikaliska och matematiska vetenskaper) . - S. 273. .
↑ John C. Baez. Om kvaternioner och oktonioner: deras geometri, aritmetik och symmetri, av John H. Conway och Derek A. Smith . - Recension. Hämtad 7 februari 2009. Arkiverad från originalet 22 augusti 2011.
↑ R. Fueter Über die analytische Darstellung der regulären Funktionen einer Quaternionenvariablen, - Kommentar. matematik. Helv. 8, sid. 371-378, 1936.
↑ A. Sudbery Quaternionic Analysis, Institutionen för matematik, University of York, 1977.
↑ Uttrycket är inte ett bråk och ska behandlas som ett enda tecken. Denna notation föreslås för kompatibilitet med derivatanteckningen. Värdet på uttrycket när det ges är en kvaternion. ${\frac {d_{sp}f(x)}{dx))$ ${\frac {d_{sp}f(x)}{dx))$ $x$
↑ I ett brev till sin son Archibald daterat den 5 augusti 1865, skriver Hamilton: "... Men, naturligtvis, inskriptionen har redan raderats" ( L. S. Polak Variationsprinciper för mekanik, deras utveckling och tillämpning i fysik. - M. .: Fizmatgiz, 1960. - s. 103-104)
↑ Bourbaki N. . Matematikens arkitektur. Essäer om matematikens historia. - M . : Utländsk litteratur, 1963. - S. 68.
↑ Rodrigues Olinde. Geometriska lagar som styr ett fast systems rörelser i rymden, och förändringen i koordinater till följd av dessa rörelser, betraktade oberoende av orsakerna som kan orsaka dem = Des lois géométriques qui régissent les déplacements d'un système solide dans l'espace, et de la variation des coordonnées provenant de ces déplacements considérés indépendamment des causes qui peuvent les produire // Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. - 1840. - T. 5 . - S. 380-440 .
↑ 1 2 Berezin, Kurochkin och Tolkachev, 2003 , sid. 5.
↑ Mishchenko och Solovyov, 1983 , sid. 11-12.
↑ Mishchenko och Solovyov, 1983 , sid. femton.
↑ Berezin, Kurochkin och Tolkachev, 2003 , sid. 6-8.
↑ A. N. Krylov Recension av akademiker P. P. Lazarevs arbete. Arkiverad 3 maj 2017 på Wayback Machine
↑ Berezin, Kurochkin och Tolkachev, 2003 , sid. åtta.
↑ Berezin, Kurochkin och Tolkachev, 2003 , sid. 9.
↑ Berezin, Kurochkin och Tolkachev, 2003 , sid. tio.
↑ Kurochkin Yu. A. Quaternions och några av deras tillämpningar i fysik. Avhandlingsförtryck nr 109. - Institutet för fysik vid Vetenskapsakademin i BSSR. — 1976.
↑ Alexandrova N. V. Hamilton kalkyl av kvaternioner // Hamilton W. R. Utvalda verk: optik, dynamik, kvaternioner. - M . : Nauka, 1994. - (Vetenskapens klassiker). - S. 519-534.
↑ Pobegailo A.P. Tillämpning av kvaternioner i datorgeometri och grafik. - Minsk: BGU Publishing House, 2010. - 216 sid. — ISBN 978-985-518-281-9 . .
↑ 1 2 Wittenburg J. Dynamics of Solid State Systems. — M .: Mir, 1980. — 292 sid. - S. 25-26, 34-36.
↑ 1 2 Pogorelov D. Yu Introduktion till modellering av dynamiken i kroppssystem. - Bryansk: BSTU Publishing House, 1997. - 156 sid. — ISBN 5-230-02435-6 . . - S. 22-26, 31-36.
↑ Ishlinsky A. Yu. Orientering, gyroskop och tröghetsnavigering. — M .: Nauka, 1976. — 672 sid. - S. 87-103, 593-604.
↑ Chub V. F. Ekvationer för tröghetsnavigering och kvaternionteori för rum-tid . Hämtad 9 december 2013. Arkiverad från originalet 13 december 2013. (obestämd)
↑ Journal "Hyperkomplexa tal i geometri och fysik" . Hämtad 13 mars 2014. Arkiverad från originalet 26 september 2016. (obestämd)
↑ Klein F. föreläser om utvecklingen av matematik under 1800-talet . - M. - L. : GONTI, 1937. - T. I. - S. 229-231 .. - 432 sid.
↑ Vladimir Trifonov A Linear Solution of the Four-Dimensionality Problem // Euruphysics Letters, - IOP Publishing, V. 32, No. 8 / 12.1995. - P. 621-626 - DOI: 10.1209/0295-5075/32/8/001.
↑ Vladimir Trifonov Natural Geometry of Nonzero Quaternions // International Journal of Theoretical Physics, - Springer Nederländerna, V. 46, nr 2 / 02.2007. - s. 251-257 - ISSN 0020-7748 (Skriv ut) ISSN 1572-9575 (Online).
↑ Vladimir Trifonov GR-vänlig beskrivning av kvantsystem // International Journal of Theoretical Physics, - Springer Nederländerna, V. 47, nr 2 / 02.2008. - s. 492-510 - ISSN 0020-7748 (Skriv ut) ISSN 1572-9575 (Online).

Litteratur

I. L. Kantor, A. S. Solodovnikov. Hyperkomplexa tal . — M .: Nauka , 1973. — 144 sid.
Mishchenko A. S. , Solovyov Yu. P. Quaternions // Kvant . - 1983. - T. 9 . - S. 10-15 .
Berezin A. V., Kurochkin Yu. A., Tolkachev E. A. Kvaternioner i relativistisk fysik . - 2:a. - M . : Redaktionell URSS, 2003. - S. 12 . — 202 sid. — ISBN 5-354-00403-9 .
Martin John Baker EuclideanSpace.com Arkiverad 27 september 2007 på Wayback Machine - Applicering av quaternions på 3D-grafik.
Kvaternioner. Quaters.
Vatulyan A. O. Quaternions // Soros Educational Journal . - 1999. - Nr 5 . - S. 117-120 .
John H. Conway , Derek A. Smith. . — M .: MTSNMO , 2009. — 184 sid. — ISBN 978-5-94057-517-7 .

Ordböcker och uppslagsverk

I bibliografiska kataloger
BNE : XX4728834 BNF : 11981947w GND : 4176653-2 J9U : 987007553303805171 LCCN : sh85109754 LNB : 000137096 NDL : 00570899 NKC : ph844096

Numeriska system
Räknebara set	Naturliga tal ( ) $\scriptstyle \mathbb {N}$ Heltal ( ) $\scriptstyle \mathbb {Z}$ Rationell ( ) $\scriptstyle \mathbb {Q}$ Algebraisk ( ) $\scriptstyle {\overline {\mathbb {Q} }}$ Perioder Beräknarbar Aritmetisk
Reella tal och deras anknytningar	Riktig ( ) $\scriptstyle \mathbb {R}$ Komplex ( ) $\scriptstyle \mathbb {C}$ Kvaternioner ( ) $\scriptstyle \mathbb {H}$ Cayley-tal (oktaver, oktonjoner) ( ) $\scriptstyle \mathbb {O}$ Sedenioner ( ) $\scriptstyle \mathbb {S}$ Ändringar Dubbel Hyperkomplex Superrealistiskt Hypermaterial surrealistiskt
Numeriska förlängningsverktyg	Cayley-Dixon procedur Frobenius teorem Hurwitz teorem
Andra nummersystem	grundtal Ordningstal (transfinita, ordningstal) p-adic Övernaturliga siffror intervallnummer
se även	dubbla siffror Irrationella siffror transcendentala tal nummerstråle Biquaternion

Algebra över ringen
Dimension - Power of 2	Komplexa tal (storlek 2) $\mathbb {C}$ Quaternions (storlek 4) $\mathbb {H}$ Cayley Numbers/Octonions/Octaves (Storlek 8) $\mathbb O$ Sedenioner (storlek 16) $\mathbb S$
se även	Frobenius teorem Hyperkomplext tal Algebra Kropp imaginär enhet