Tensor produkt

Tensorprodukt är en operation på vektorrum , såväl som på element ( vektorer , matriser , operatorer , tensorer , etc.) av multiplicerade rum.

Tensorprodukten av linjära utrymmen är det linjära utrymmet betecknat med . För element och deras tensorprodukt ligger i rymden . $A$ $B$ $Ibland B$ $a\i A$ $b\i B$ $ibland b$ $Ibland B$

Notationen för tensorprodukten kom till i analogi med notationen för den kartesiska produkten av mängder.

Tensorprodukt av linjära (vektor) utrymmen

Finita dimensionella utrymmen

Låta och vara ändligt dimensionella vektorrum över fältet , vara en grund i , och vara en grund i . Vi kommer att kalla tensorprodukten av rymden vektorrummet som genereras av element , kallat tensorprodukter av basvektorer . Tensorprodukten av godtyckliga vektorer kan definieras genom att ställa in operationen till att vara bilinjär : $A$ $B$ $K$ $\{e_{i}\}_{{i=1\dots n}}$ $A$ $\{f_{k}\}_{{k=1\dots m}}$ $B$ $Ibland B$ $A$ $B$ $e_{i}\ibland f_{k}$ $ibland b$ $a\i A,~b\i B$ $\ ibland$

(\lambda a_{1}+\mu a_{2})\otimes b=\lambda \,a_{1}\otimes b+\mu \,a_{2}\otimes b,~~\lambda ,\mu \ bläck

a\otimes (\lambda b_{1}+\mu b_{2})=\lambda \,a\otimes b_{1}+\mu \,a\otimes b_{2},~~\lambda ,\mu \bläck

I detta fall, tensorprodukten av godtyckliga vektorer och uttrycks som en linjär kombination av basvektorer . Element i , representerade som , kallas nedbrytbara . $a$ $b$ $e_{i}\ibland f_{k}$ $Ibland B$ $ibland b$

Även om tensorprodukten av utrymmen definieras i termer av valet av baser, beror dess geometriska egenskaper inte på detta val.

Definiera med en generisk egenskap

Tensorprodukten är på sätt och vis det mest allmänna utrymmet i vilket de ursprungliga utrymmena kan mappas bilinjärt. Nämligen, för vilken annan rymd och bilinär mappning som helst , finns det en unik linjär mappning sådan $C$ $\otimes ^{\prime }:A\times B\to C$ $f:A\ibland B\till C$

\otimes ^{\prime }=f\circ \otimes ,

där anger sammansättningen av funktioner . $\cirkel$

I synnerhet följer av detta att tensorprodukten inte är beroende av valet av baser i och , eftersom alla utrymmen som uppfyller den universella egenskapen visar sig vara kanoniskt isomorfa till . $A$ $B$ $Ibland B$

Att specificera en godtycklig bilinär mappning är alltså likvärdig med att specificera en linjär mappning : mellanrum och är kanoniskt isomorfa. $L^{2}\ni \varphi :A\ gånger B\till C$ $L\ni \varphi :A\otimes B\to C$ $\L^{2}(A\ gånger B,C)$ $L(A\ gånger B,C)$

Produkt av mer än två mellanslag

Ovanstående universella egenskap kan utvidgas till produkter med fler än två utrymmen. Låt till exempel , , och vara tre vektorrum. Tensor produkt tillsammans med trilinjär kartläggning från direkt produkt $V_{1}$ $V_{2}$ $V_{3}$ ${\displaystyle V_{1}\otimes V_{2}\otimes V_{3))$

{\displaystyle \varphi :V_{1}\times V_{2}\times V_{3}\to V_{1}\otimes V_{2}\otimes V_{3))

har formen att varje trilinjär avbildning från en direkt produkt till ett vektorrum $F$ $W$

F:V_{1}\ gånger V_{2}\ gånger V_{3}\ till W

passerar unikt genom tensorprodukten:

F=L\circ \varphi

var är en linjär mappning. Tensorprodukten kännetecknas unikt av denna egenskap, upp till isomorfism . Resultatet av ovanstående konstruktion sammanfaller med upprepningen av tensorprodukten av två utrymmen. Till exempel, om , och är tre vektorrum, så finns det en (naturlig) isomorfism $L$ $V_{1}$ $V_{2}$ $V_{3}$

V_{1}\otimes V_{2}\otimes V_{3}\cong V_{1}\otimes (V_{2}\otimes V_{3})\cong (V_{1}\otimes V_{ 2})\ibland V_{3}.

I allmänhet definieras tensorprodukten av en godtyckligt indexerad familj av uppsättningar som ett universellt objekt för multilinjära mappningar från en direkt produkt . $V_i$ $i\i jag$ $\textstyle \prod _{i\in I}V_{i}$

Låta vara ett godtyckligt naturligt tal. Då kallas den e tensorkraften i rymden tensorprodukten av kopior : $n$ $n$ $V$ $n$ $V$

V^{{\otimes n}}\;{\overset {{\mathrm {def}}}{=}}\;\underbrace {V\otimes \cdots \otimes V}_{{n}}.

Funktionalitet

Tensorprodukten verkar också på linjära mappningar. Låt , vara linjära operatorer. Tensorprodukten för operatörer bestäms av regeln $A\colon U_{1}\to U_{2}$ $B\colon W_{1}\to W_{2}$ ${\displaystyle A\otimes B\colon U_{1}\otimes W_{1}\to U_{2}\otimes W_{2))$

(A\otimes B)(u\otimes w)=(Au)\otimes (Bw),~~u\in U_{1},\,w\in W_{1}

Efter denna definition blir tensorprodukten en bifunktör från kategorin vektorrum in i sig själv, samvariant i båda argumenten. [ett]

Om matriserna för operatorerna A och B för något val av baser har formen

{\mathrm {A}}={\begin{bmatrix}a_{{11}}&\cdots &a_{{1n}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{{m1}}&\cdots &a_{{mn}}\end{bmatrix}}

{\mathrm {B}}={\begin{bmatrix}b_{{11}}&\cdots &b_{{1q}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\b_{{p1}}&\cdots &b_{{pq}}\end{bmatrix}}

då kommer matrisen för deras tensorprodukt att skrivas i den bas som bildas av tensorprodukten av baserna i form av en blockmatris

{\mathrm {A}}\otimes {\mathrm {B}}={\begin{bmatrix}a_{{11}}B&\cdots &a_{{1n}}B\\\vdots &\ddots &\vdots \ \a_{{m1}}B&\cdots &a_{{mn}}B\end{bmatrix}}=

={\begin{bmatrix}a_{{11}}b_{{11}}&a_{{11}}b_{{12}}&\cdots &a_{{11}}b_{{1q}}&\cdots & \cdots &a_{{1n}}b_{{11}}&a_{{1n}}b_{{12}}&\cdots &a_{{1n}}b_{{1q}}\\a_{{11}}b_ {{21}}&a_{{11}}b_{{22}}&\cdots &a_{{11}}b_{{2q}}&\cdots &\cdots &a_{{1n}}b_{{21}} &a_{{1n}}b_{{22}}&\cdots &a_{{1n}}b_{{2q}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &&&\vdots &\vdots &\ddots & \vdots \\a_{{11}}b_{{p1}}&a_{{11}}b_{{p2}}&\cdots &a_{{11}}b_{{pq}}&\cdots &\cdots &a_ {{1n}}b_{{p1}}&a_{{1n}}b_{{p2}}&\cdots &a_{{1n}}b_{{pq}}\\\vdots &\vdots &&\vdots &\ ddots &&\vdots &\vdots &&\vdots \\\vdots &\vdots &&\vdots &&\ddots &\vdots &\vdots &&\vdots \\a_{{m1}}b_{{11}}&a_{{m1 }}b_{{12}}&\cdots &a_{{m1}}b_{{1q}}&\cdots &\cdots &a_{{mn}}b_{{11}}&a_{{mn}}b_{{ 12}}&\cdots &a_{{mn}}b_{{1q}}\\a_{{m1}}b_{{21}}&a_{{m1}}b_{{22}}&\cdots &a_{{ m1}}b_{{2q}}&\cdots &\cdots &a_{{mn}}b_{{21}}&a_{{mn}}b_{{22}}&\cdots &a_{{mn}}b_{ {2q}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &&&\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{{m1}}b_{{p1}}&a_{{m1}}b_ {{p2}}&\cdots &a_{{m1}}b_{{ pq}}&\cdots &\cdots &a_{{mn}}b_{{p1}}&a_{{mn}}b_{{p2}}&\cdots &a_{{mn}}b_{{pq}}\end {bmatrix}}

Motsvarande matrisoperation kallas Kronecker-produkten , efter Leopold Kronecker .

Specialfall

Tensorprodukt av två vektorer

(matris) multiplikationen av en kolumnvektor till höger med en radvektor beskriver deras tensorprodukt:

\mathbf {a} \otimes \mathbf {b} \leftrightarrow {\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\\a_{4}\end{bmatrix} }{\begin{bmatrix}b_{1}&b_{2}&b_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1}b_{1}&a_{1}b_{2}&a_{ 1}b_{3}\\a_{2}b_{1}&a_{2}b_{2}&a_{2}b_{3}\\a_{3}b_{1}&a_{3}b_{2} &a_{3}b_{3}\\a_{4}b_{1}&a_{4}b_{2}&a_{4}b_{3}\end{bmatrix}}.

Egenskaper

$\dim A\otimes B=\dim A\cdot \dim B$

Följande algebraiska egenskaper är baserade på kanonisk isomorfism:

Associativitet

(A\otimes B)\otimes C\simeq A\otimes (B\otimes C)

Formellt sett är tensorprodukten inte kommutativ, men det finns en naturlig isomorfism $A\otimes B\to B\otimes A$
Linjäritet

A\otimes (B\oplus C)\simeq (A\otimes B)\oplus (A\otimes C)

\ plus

är den yttre summan av linjära rum.

Tensorprodukt av moduli

Låt vara moduler över någon kommutativ ring . Tensorprodukten av moduler är en modul över , given tillsammans med en multilinjär mappning och har universalitetsegenskapen, det vill säga sådan att det för varje modul över och varje multilinjär mappning finns en unik homomorfism av moduler så att diagrammet $A_{1},A_{2},\dots ,A_{n}$ $R$ $B$ $R$ $f\colon A_{1}\times \dots \times A_{n}\to B$ $C$ $R$ $g\colon A_{1}\times \dots \times A_{n}\to C$ $h\kolon B\till C$

kommutativ. Tensorprodukten betecknas med . Det följer av tensorproduktens universalitet att den är unikt definierad fram till isomorfism. $A_{1}\otimes \ldots \otimes A_{n}$

För att bevisa förekomsten av en tensorprodukt av alla moduler över en kommutativ ring, konstruerar vi en fri modul vars generatorer är n element av moduler där . Låta vara en undermodul genererad av följande element: $M$ $(x_{1},\dots,x_{n})$ $x_{i}\in A_{i}$ $N$ $M$

$(x_{1},\dots,x_{i}+y_{i},\dots,x_{n})-(x_{1},\dots,x_{i},\dots,x_{n}) -(x_{1},\dots,y_{i},\dots,x_{n})$
$(x_{1},\dots ,\lambda x_{i},\dots ,x_{n})-\lambda (x_{1},\dots ,x_{i},\dots ,x_{n})$

Tensorprodukten definieras som kvotmodulen , klassen betecknas , och kallas elementet tensorprodukt , a definieras som motsvarande inducerad mappning. $B=M/N$ $(x_{1},\dots,x_{n})+N$ $x_{1}\otimes \dots \otimes x_{n}$ $x_{i}$ $f$

Av 1) och 2) följer att mappningen är multilinjär. Låt oss bevisa att det för vilken modul som helst och varje multilinjär mappning finns en unik modulhomomorfism , så att . $f\colon A_{1}\times \dots \times A_{n}\to B$ $C$ $g\colon A_{1}\times \dots \times A_{n}\to C$ $h$ $g=h\cirkel f$

Eftersom det är gratis, finns det en unik mappning som gör diagrammet $M$ $h^{*}$

kommutativ, och på grund av det faktum att det är multilinjärt, sedan på , härifrån, övergår till den inducerade kartläggningen, får vi att , kommer att vara den enda homomorfismen, vars existens krävdes för att bevisas. $g$ $N$ $h^{*}(N)=0$ $h\kolon M/N\till C$

Element som kan representeras i formen kallas nedbrytbara . $A_{1}\otimes \dots \otimes A_{n}$ $x_{1}\otimes \dots \otimes x_{n}$

Om det är isomorfismer av moduler, så motsvarar den inducerade homomorfismen den bilinjära kartläggningen $f_{i}\colon A_{i}\to B_{i}$

f_{1}\otimes \dots \otimes f_{n}\colon A_{1}\otimes \dots \otimes A_{n}\to B_{1}\otimes \dots \otimes B_{n}

existerande av egenskapen universalitet kallas tensorprodukten av homomorfismer . $f_{i}$

Ett särskilt enkelt fall erhålls när det gäller fria moduler . Låt vara grunden för modulen . Låt oss konstruera en fri modul över vår ring, med element som motsvarar n -kam som bas , definiera en avbildning och utöka den till linjäritet. Sedan är tensorprodukten, där är tensorprodukten av elementen . Om antalet moduler och alla deras baser är ändliga, då $e_{{i1}},\dots ,e_{{i}}$ $A_{i}$ $F$ $(e_{{1m}},e_{{2p}},\dots,e_{{ns}})$ $f(e_{{1m}},e_{{2p}},\dots ,e_{{ns}})\to (e_{{1m}},e_{{2p}},\dots,e_{{ns }})$ $A_{1}\times\dots\times A_{n}$ $F$ $(e_{{1m}},e_{{2p}},\dots,e_{{ns}})$ $e_{{1m}}\otimes e_{{2p}}\otimes \dots \otimes e_{{ns}}$

{\mathrm {rank}}(A_{1}\otimes \dots \otimes A_{n})={\mathrm {rank}}\,A_{1}\cdot \dots \cdot {\mathrm {rank}} \,En}

Litteratur

Vinberg E. B. Algebrakurs. - 3:e uppl. - M . : Factorial Press, 2002. - 544 sid. - 3000 exemplar. — ISBN 5-88688-060-7 .
Leng S. Algebra. — M .: Mir , 1967.
Van der Waerden B. L. Algebra. — M .: Nauka , 1976. — 648 sid.

Anteckningar

↑ Hazewinkel, Michiel; Gubareni, Nadezhda Mikhalovna; Gubareni, Nadia; Kirichenko, Vladimir V. Algebras, ringar och moduler (neopr.) . - Springer, 2004. - S. 100. - ISBN 978-1-4020-2690-4 .