Numerisk funktion

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 17 april 2020; kontroller kräver 3 redigeringar .

En numerisk funktion (i matematik ) är en funktion som verkar från ett talrum (mängd) till ett annat talrum (mängd) [1] . Numeriska mängder är mängder av naturliga ( ), heltal ( ), rationella ( ), reella ( ) och komplexa tal ( ) tillsammans med algebraiska operationer definierade för motsvarande mängder . För alla de listade numeriska uppsättningarna, förutom komplexa tal, definieras också en linjär ordningsrelation , vilket gör det möjligt att jämföra tal i storlek. Numeriska mellanslag är numeriska mängder tillsammans med en avståndsfunktion definierad på motsvarande mängd. $\mathbb {N}$ $\mathbb {Z}$ $\mathbb {Q}$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$

I det mest allmänna fallet är en numerisk funktion en funktion som tar värden i fältet för reella tal och definieras på ett godtyckligt (oftast) metriskt utrymme . Sådan är till exempel uppsättningens indikator eller karakteristiska funktion . Ett annat exempel på en numerisk funktion är avståndsfunktionen (eller, på motsvarande sätt, metrisk).

Numeriska funktioner som ges på en uppsättning reella eller komplexa tal kallas funktioner av en reell respektive komplex variabel och är föremål för övervägande i analys :

realvärderade funktioner av en reell variabel beaktas i kalkyl ,
komplext värderade funktioner av en komplex variabel beaktas i komplex analys .

Det viktigaste ämnet för analysen är representationen av numeriska funktioner i form av ett system av approximationer (numeriska och funktionella serier).

Numeriska funktioner har både allmänna egenskaper som mappningar av godtyckliga metriska utrymmen kan ha (till exempel kontinuitet) och ett antal egenskaper som är direkt relaterade till numeriska utrymmes karaktär. Dessa är fastigheterna

differentierbarhet , integrerbarhet , summerbarhet , mätbarhet (för godtyckliga numeriska funktioner);

och även fastigheterna

paritet ( oddity ), monotonicitet (för reellt värderade funktioner av en reell variabel);
analyticity , multiplicity (för komplext värderade funktioner av en komplex variabel).

Numeriska funktioner används ofta i praktiken för att lösa tillämpade problem.

Egenskaper

Egenskaper associerade med orderrelationen

Låt då en funktion ges $f\colon M\subset \mathbb {R} \to \mathbb {R} .$

en funktion kallas att öka med if $f$ $M$

\forall x,y\in M,\;x>y\Högerpil f(x)\geq f(y);

en funktion kallas strikt ökande på if $f$ $M$

\forall x,y\in M,\;x>y\Högerpil f(x)>f(y);

en funktion kallas att minska med if $f$ $M$

\forall x,y\in M,\;x>y\Högerpil f(x)\leq f(y);

en funktion kallas strikt minskande på if $f$ $M$

\forall x,y\in M,\;x>y\Högerpil f(x)<f(y).

En (strikt) ökande eller minskande funktion sägs vara (strängt) monoton.

Periodicitet

En funktion kallas periodisk med punkt om den är sann $f\kolon M\till N$ $T\inte=0$

f(x+T)=f(x),\quad \forall x\in M

Om denna likhet inte är uppfylld för någon , kallas funktionen aperiodisk . $T\i M,\,T\inte =0$ $f$

Paritet

En funktion kallas udda om likheten $f\colon X\to \mathbb {R}$

f(-x)=-f(x),\quad \forall x\i X.

En funktion kallas även om likheten $f$

f(-x)=f(x),\quad \forall x\i X.

Funktion extrema

Låt en funktion och vara en inre punkt i definitionsdomänen $f\colon M\subset \mathbb{R} \to \mathbb{R} ,$ $x_{0}\in M^{0}$ $f.$

$x_{0}$ kallas en absolut (global) maxpunkt if $\forall x\in M\quad f(x)\leq f(x_{0});$
$x_{0}$ kallas en absolut minimipunkt if $\forall x\in M\quad f(x)\geq f(x_{0}).$

Funktionsdiagram

Låt en kartläggning ges . Då dess graf är mängden , där betecknar den kartesiska produkten av mängder och . $F:X\till Y$ $\Gamma$
$\Gamma =\{(x,F(x))\mid x\in X\}\delmängd X\ gånger Y$
$X \ gånger Y$ $X$ $Y$
- Grafen för en kontinuerlig funktion är en kurva på ett tvådimensionellt plan. $F:{\mathbb {R}}\to {\mathbb {R}}$
- Grafen för en kontinuerlig funktion är en yta i det tredimensionella rummet. $F:{\mathbb {R}}^{2}\to {\mathbb {R}}$

Exempel

Dirichlet funktion
- Returnerar ett om argumentet är ett rationellt tal , om det är irrationellt returnerar det noll . $D(x)={\begin{fall}1,&x\i {\mathbb {Q}}\\0,&x\inte \i {\mathbb {Q}}\end{cases}}$
- Definitionsdomän: (hela numeriska axeln ). $\mathbb {R}$
- Värdeintervall: . $\left\{0,1\right\}$

sgn(x) funktion
- Returnerar argumentets tecken. $\operatorname{sgn} x={\begin{cases}+1,&x>0\\0,&x=0\\-1,&x<0\end{cases}}$
- Definitionsdomän: . $\mathbb {R}$
- Värdeintervall: . $\left\{-1,0,+1\right\}$

$y={\sqrt {1-x^{2}}}$
- Definitionsdomän: . $\vänster[-1,+1\höger]$
- Värdeintervall: . $\vänster[0,+1\höger]$

Faktoriell
- Returnerar produkten av alla naturliga tal som inte är större än det givna. Dessutom . $0!=1$ $n!={\begin{cases}1,&n=0\\n\cdot \left(n-1\right)!,&n\neq 0\end{cases}}$
- Definitionsdomän: (uppsättning naturliga tal med noll). $\mathbb{N} _{0}$
- Värdeintervall: $\left\{1,2,6,24,120,\ldots\right\}$

Antje (kön)
- Returnerar heltalsdelen av ett tal. $\lfloor x\rfloor =\max \left\{q\in \mathbb{Z } \mid q\leqslant x\right\}$
- Definitionsdomän: . $\mathbb {R}$
- Värdeintervall: . $\mathbb {Z}$

Sätt att definiera en funktion

Verbal

Att använda naturligt språk

Y är lika med heltalsdelen av x.

Analytisk

Använder formeln och standardnotationen

f(x)=x!

Grafisk

Med hjälp av ett diagram

Tabellform

Använda en värdetabell

x	0	ett	2	3	fyra	5	6	7	åtta	9
y	ett	ett	2	3	5	åtta	13	21	34	55

Analytisk metod

analytiskt sätt. Oftast specificeras lagen som upprättar ett samband mellan ett argument och en funktion med hjälp av formler. Detta sätt att definiera en funktion kallas analytiskt. Denna metod gör det möjligt för varje numeriskt värde i argumentet x att hitta motsvarande numeriska värde för funktionen y exakt eller med viss noggrannhet. Om förhållandet mellan x och y ges av en formel som löses med avseende på y, dvs. har formen y = f(x), så säger vi att funktionen av x ges explicit. Om värdena x och y är relaterade till någon ekvation av formen F(x,y) = 0, dvs. formeln är inte tillåten med avseende på y, vilket betyder att funktionen y = f(x) är implicit definierad. En funktion kan definieras av olika formler i olika delar av dess uppgiftsområde. Den analytiska metoden är det vanligaste sättet att definiera funktioner. Kompakthet, koncishet, förmågan att beräkna värdet av en funktion för ett godtyckligt värde av argumentet från definitionsdomänen, förmågan att tillämpa apparaten för matematisk analys på en given funktion är de viktigaste fördelarna med den analytiska metoden för att definiera en fungera. Nackdelarna är bland annat bristen på sikt, vilket kompenseras av förmågan att bygga en graf och behovet av att utföra ibland mycket krångliga beräkningar.

Exempel:

$f\left(x\right)=x^{2}$ ;
$f\vänster(x,y\höger)=x\eller y$ ;
$f\vänster(A\höger)=\vänster|A\höger|$ ;
$f\left(x\right)={\begin{cases}x^{2},&x\leqslant 0;\\-x^{3},&x>0.\end{cases}}$

Tabellform

En funktion kan definieras genom att lista alla dess möjliga argument och deras värden. Därefter kan funktionen vid behov utökas för argument som inte finns i tabellen, genom interpolation eller extrapolering . Exempel är en programguide, ett tågschema eller en tabell med booleska funktionsvärden :

$x$	$y$	$x\land y$
$0$	$0$	$0$
$0$	$ett$	$0$
$ett$	$0$	$0$
$ett$	$ett$	$ett$

Grafiskt sätt

En funktion kan specificeras grafiskt genom att visa en uppsättning punkter i dess graf på ett plan. Detta kan vara en grov skiss på hur funktionen ska se ut, eller avläsningar tagna från ett instrument som ett oscilloskop . Denna specifikation kan lida av bristande precision , men i vissa fall kan andra specifikationsmetoder inte tillämpas alls. Dessutom är detta sätt att ställa in en av de mest representativa, lättförståeliga och högkvalitativa heuristiska analyserna av funktionen.

Rekursivt sätt

En funktion kan definieras rekursivt , det vill säga genom sig själv. I det här fallet bestäms vissa värden av funktionen genom dess andra värden.

Exempel:

Verbalt sätt

En funktion kan beskrivas i naturliga språkord på något entydigt sätt, till exempel genom att beskriva dess ingångs- och utdatavärden, eller den algoritm med vilken funktionen tilldelar överensstämmelse mellan dessa värden. Tillsammans med ett grafiskt sätt är detta ibland det enda sättet att beskriva en funktion, även om naturliga språk inte är lika deterministiska som formella.

Exempel:

en funktion som returnerar en siffra i notationen pi med dess nummer;
en funktion som returnerar antalet atomer i universum vid en viss tidpunkt ;
en funktion som tar en person som ett argument och returnerar antalet människor som kommer att födas till världen efter hans födelse.

Klasser av numeriska funktioner

Historisk översikt

Framväxten av konceptet

Matematisk modellering av fenomen och naturlagar leder till begreppet funktion, som initialt är begränsat till algebraiska funktioner ( polynom ) och trigonometri . Liksom andra begrepp inom matematik utvecklades inte det allmänna begreppet funktion omedelbart, utan gick en lång väg i utvecklingen. Naturligtvis, i forntida tider, vid beräkning, använde människor omedvetet olika funktioner (till exempel kvadratrot ) och till och med ekvationer , men som ett separat matematiskt objekt, vilket möjliggör en allmän analytisk studie, kunde funktionen uppträda först efter skapandet av symboliska algebra av Vieta (XVI-talet) [2] . Till och med på 1600-talet använde Napier , som introducerade den logaritmiska funktionen, en lösning - han bestämde det kinematiskt.

Inledningsvis blev olika algebraiska formler föremål för studier . Descartes betraktade icke-algebraiska beroenden endast som det sällsynta undantaget. För honom och för Fermat förstås formeln inte bara som en beräkningsalgoritm, utan betraktas som en (geometriskt representativ) omvandling av en kontinuerligt föränderlig storhet till en annan [3] . I Barrow 's Lectures on Geometry, 1670 , etableras den ömsesidiga ömsesidigheten mellan differentiering och integration i geometrisk form (naturligtvis utan att använda dessa termer själva). Redan detta vittnar om en helt distinkt besittning av begreppet en funktion som ett integrerat objekt. I en geometrisk och mekanisk form finner vi även begreppet funktion i Newton .

Den matematiska termen "funktion" dök upp första gången 1673 av Leibniz , och dessutom inte riktigt i sin moderna mening: Leibniz kallade först olika segment associerade med en kurva (till exempel abskissorna på dess punkter) som en funktion. Senare, i en korrespondens med Johann Bernoulli ( 1694 ), utökas dock begreppets innehåll och blir så småningom synonymt med "analytiskt givet beroende".

I den första tryckta kursen "Analysis of Infinitely Small for the Knowledge of Curved Lines" av Lopital ( 1696 ) används inte termen "funktion".

Första försöken att definiera

I början av 1700-talet erhölls utbyggnader av alla standardfunktioner och många andra. Främst tack vare Euler ( 1748 ) förfinades deras definitioner. Euler var den första som tydligt definierade den exponentiella funktionen , såväl som den logaritmiska funktionen, som dess invers, och gav sina serieexpansioner. Före Euler ansåg många matematiker till exempel att tangenten för en trubbig vinkel var positiv; Euler gav moderna definitioner av alla trigonometriska funktioner (termen "trigonometrisk funktion" i sig föreslogs av Klugel 1770 ) .

Många nya transcendentala funktioner dyker upp i analysapplikationer. När Goldbach och Bernoulli försökte hitta en kontinuerlig analog till fakulteten, rapporterade den unge Euler i ett brev till Goldbach om egenskaperna hos gammafunktionen (1729, titel på grund av Legendre ). Ett år senare upptäckte Euler betafunktionen och återvände sedan upprepade gånger till detta ämne. Gammafunktionen och relaterade funktioner (beta, zeta, cylindrisk (Bessel)) har många tillämpningar inom analys såväl som i talteori, och Riemann zeta-funktionen har visat sig vara ett oumbärligt verktyg för att studera fördelningen av primtal i det naturliga serier.

År 1757 introducerade Vincenzo Riccati , medan han undersökte en hyperbels sektorer, de hyperboliska funktionerna ch, sh (med sådan notation) och listar deras huvudsakliga egenskaper. Många nya funktioner har uppstått i samband med att olika uttryck inte kan integreras. Euler definierade (1768) integrallogaritmen (namnet föreslogs av I. Zoldner , 1809), L. Mascheroni - integralens sinus och cosinus ( 1790 ). Snart dyker också en ny gren av matematiken upp: specialfunktioner .

Något måste göras med denna brokiga samling, och matematiker fattade ett radikalt beslut: alla funktioner, oavsett ursprung, förklarades lika. Det enda kravet för en funktion är säkerhet, och detta betyder inte att funktionen i sig är unik (den kan vara flervärdig ), utan entydigheten i metoden för att beräkna dess värden.

Den första allmänna definitionen av en funktion finns i Johann Bernoulli ( 1718 ): "En funktion är en kvantitet som består av en variabel och en konstant." Denna inte helt distinkta definition är baserad på idén att specificera en funktion med en analytisk formel. Samma idé förekommer i Eulers definition , som han gav i "Introduction to the Analysis of Infinites" ( 1748 ): "En funktion av en variabel kvantitet är ett analytiskt uttryck, på något sätt sammansatt av denna variabel kvantitet och antal eller konstanta kvantiteter. "

Ändå fanns det på 1700-talet ingen tillräckligt klar förståelse för skillnaden mellan en funktion och dess analytiska uttryck. Detta återspeglades i den kritik som Euler utsatte för Bernoullis ( 1753 ) lösning på strängvibrationsproblemet . Bernoullis lösning baserades på påståendet att det är möjligt att expandera vilken funktion som helst till en trigonometrisk serie. Som invändning mot detta påpekade Euler att en sådan nedbrytbarhet skulle ge ett analytiskt uttryck för vilken funktion som helst, medan funktionen kanske inte har en (den kan ges av en graf "ritad av en fri rörelse av handen").

Denna kritik är också övertygande ur en modern synvinkel, eftersom inte alla funktioner tillåter en analytisk representation (även om Bernoulli talar om en kontinuerlig funktion, som, som Weierstrass etablerade 1885 , alltid är analytiskt representativ, men den kanske inte expanderar till en trigonometriska serier). Emellertid är Eulers andra argument redan felaktiga [4] . Till exempel trodde han att expansionen av en funktion till en trigonometrisk serie ger ett enda analytiskt uttryck för den, medan det kan vara en "blandad" funktion, representerad på olika segment med olika formler. Faktum är att det ena inte motsäger det andra, men på den tiden verkade det omöjligt att två analytiska uttryck, som sammanfaller på en del av ett segment, inte skulle sammanfalla i hela dess längd. Senare, när han studerade funktioner för många variabler, insåg han begränsningarna i den tidigare definitionen och erkände diskontinuerliga funktioner, och sedan, efter att ha studerat den komplexa logaritmen, även flervärdiga funktioner.

Under inflytande av teorin om oändliga serier, som gav en algebraisk representation av nästan vilket smidigt beroende som helst, upphörde närvaron av en explicit formel gradvis att vara obligatorisk för en funktion. Logaritmen eller exponentialfunktionen, till exempel, beräknas som gränserna för oändliga serier; detta tillvägagångssätt har utvidgats till andra icke-standardiserade funktioner. De började behandla serier som ändliga uttryck, till en början utan att på något sätt underbygga operationernas korrekthet och utan att ens garantera seriens konvergens.

Från och med "The Calculus of Differentials" ( 1755 ), accepterar Euler faktiskt den moderna definitionen av en numerisk funktion som en godtycklig överensstämmelse mellan siffror [4] :

När vissa kvantiteter är beroende av andra på ett sådant sätt att när de senare förändras, de själva genomgår en förändring, då kallas de förra funktioner hos de senare.

Allmän definition

Sedan början av 1800-talet har begreppet funktion blivit allt oftare definierat utan att nämna dess analytiska representation. I "Treatise on differential and integral calculus" ( 1797 - 1802 ) säger Lacroix : "Varje kvantitet vars värde beror på en eller många andra kvantiteter kallas en funktion av dessa senare" oavsett om metoden för att beräkna dess värden är känd eller okänd [5] .

I Fouriers "Analytical Theory of Heat" ( 1822 ) finns en fras: "En funktion betecknar en helt godtycklig funktion, det vill säga en sekvens av givna värden, oavsett om de är föremål för en allmän lag eller inte och som motsvarar alla värden innehålls mellan och valfri kvantitet ". $t.ex$ $x$ $0$ $x$

Nära modern och definitionen av Lobachevsky :

... Det allmänna begreppet en funktion kräver att ett tal kallas en funktion från, som ges för var och en och tillsammans med den gradvis förändras. Värdet av en funktion kan ges antingen genom ett analytiskt uttryck eller genom ett villkor som ger ett sätt att testa alla tal och välja ett av dem, eller slutligen kan ett beroende existera och förbli okänt ... Den breda synen på teorin medger existensen av ett beroende endast i den meningen att siffrorna är desamma med andra i samband med att förstå som om data tillsammans. $x$ $x$ $x$

Således har den moderna definitionen av en funktion, fri från referenser till den analytiska uppgiften, vanligtvis tillskriven Dirichlet , upprepade gånger föreslagits för honom. Här är Dirichlets definition ( 1837 ):

y är en funktion av variabeln x (på segmentet ), om varje värde på x (på detta segment) motsvarar ett helt bestämt värde y , och det spelar ingen roll hur denna överensstämmelse etableras - med en analytisk formel, graf , tabell eller till och med bara ord. $a\leqslant x\leqslant b$

I slutet av 1800-talet växte begreppet funktion ur ramverket för numeriska system. Vektorfunktioner var de första som gjorde detta , Frege introducerade snart logiska funktioner ( 1879 ), och efter tillkomsten av mängdlära formulerade Dedekind ( 1887 ) och Peano ( 1911 ) den moderna universella definitionen.

Exempel

Implicita funktioner

Funktioner kan definieras med andra funktioner och ekvationer.

Antag att en funktion av två variabler ges som uppfyller speciella villkor (villkoren för den implicita funktionssatsen), sedan en formekvation. $F$

F(x,y)=0

definierar en implicit funktion av formen . $y=f(x)$

Generiska funktioner

Se även

Anteckningar

↑ Definitionsdomänen och värdedomänen för en numerisk funktion är en delmängd av det numeriska rummet.
↑ Yushkevich A.P., 1966 , sid. 134-135.
↑ Yushkevich A.P., 1966 , sid. 137-138.
↑ 1 2 Yushkevich A.P., 1966 , sid. 144-148.
↑ Läsare om matematikens historia. Matematisk analys. Sannolikhetsteori / Ed. A. P. Jusjkevitj . - M . : Utbildning, 1977. - S. 84. - 224 sid.

Litteratur

Matematikens historia, redigerad av A. P. Yushkevich i tre volymer, M .: Nauka.

Volym 1 Från antiken till början av modern tid. (1970)
Volym 2 1600-talets matematik. (1970)
Volym 3 1700-talets matematik. (1972)

Ilyin V. A., Poznyak E. G. Fundamentals of matematisk analys, del 1, 3:e upplagan, M., 1971;. Del 2, 2:a upplagan, M., 1980;
Kudryavtsev L. D. Matematisk analys, 2:a upplagan, vol. 1-2, 1973,
Nikolsky S. M. Course of matematisk analys, 2:a upplagan, volym 1-2, M., 1975;
Yushkevich A.P. Om utvecklingen av begreppet funktion // Historisk och matematisk forskning . - M . : Nauka , 1966. - Nr 17 . - S. 123-150 .