Strängkontrovers

Tvisten om strängen , dispyten om den vibrerande strängen , dispyten om den klingande strängen är en vetenskaplig diskussion som utspelade sig på 1700-talet mellan den tidens största vetenskapsmän kring studiet av strängvibrationer . D'Alembert , Euler , D. Bernoulli , Lagrange var inblandade i tvisten . Diskussionen gällde definitionen av begreppet funktion och hade ett avgörande inflytande på många grenar av matematiken: teorin om partiella differentialekvationer , matematisk analys och teorin om funktioner för en reell variabel , teorin om trigonometriska Fourierserier och teorin av generaliserade funktioner och Sobolev-rum .

Bakgrund till tvisten

Möjligheten till en teoretisk studie av svängningar ur mekanikens synvinkel dök upp med upptäckten av Newtons lagar ( 1687 ) och utvecklingen av analysen av infinitesimal-, integral- och differentialkalkyl. Emellertid utfördes olika studier fram till denna punkt av Galileo , Mersenne , Descartes , Huygens m.fl. [1] År 1625 upptäckte Mersenne sambandet mellan frekvens , spänning , tvärsnittsarea och stränglängd, uttryckt i proportionalitet [2] ] $\nu$ $T$ $A$ $l$

\nu \propto {\frac {1}{l}}{\sqrt {{\frac {T}{A}}}}

Mersennes lag förklarades teoretiskt av Taylor nästan ett sekel senare, 1713 . Hans arbete undersöker en strängs avvikelse från dess ursprungliga position, uttryckt som en funktion av . $y=y(x)$

Taylor ansåg att strängen vid vilken bestämd tid som helst borde ha formen av en sinus (vilket faktiskt visar sig vara den enklaste formen av en oscillerande sträng) [2] , vars amplitud beror på tiden, och att under alla initiala förhållanden sträng tenderar att gå in i ett sådant "jordtillstånd" (vilket, som det visar sig, inte är sant). [1] Detta tillvägagångssätt, ibland kallat "den stående vågmetoden", fortsatte av D. Bernoulli , men fick en rigorös motivering endast i Fouriers verk. $y=k\sin(\pi x/l)$

Taylor fastställde också att spänningskraften som verkar på ett oändligt litet element av strängen och riktas mot dess avböjning är proportionell mot andraderivatan . Därefter började d'Alembert överväga beroendet av avvikelsen inte bara på den rumsliga koordinaten , utan också på tiden . Detta möjliggjorde en rigorös tillämpning av Newtons andra lag , som dock krävde en omprövning av karaktären av derivatan som Taylor ansåg: den blev en partiell derivata . Elementets acceleration beskrevs av en annan partiell derivata: . $d^{2}y/dx^{2}$ $x$ $t$ $\partial ^{2}y/\partial x^{2}$ $\partial ^{2}y/\partial t^{2}$

År 1747 omformulerade d'Alembert lagen som Taylor hittade i termer av partiella differentialekvationer och skrev ekvationen för vibrationen av en sträng i dess moderna form, kallad vågekvationen : [2]

{\frac {\partial ^{2}y}{\partial t^{2}}}=a^{2}{\frac {\partial ^{2}y}{\partial x^{2}}} .

Lösningar av d'Alembert och Euler

D'Alembert tar följande tillvägagångssätt för att lösa strängvibrationsekvationen. Om vi antar att han märkte att när ekvationen för strängsvängningar är uppfylld, är likheten [3] $a=1$

d\left({\frac {\partial y}{\partial x))\pm {\frac {\partial y}{\partial t))\right)=\left({\frac {\partial ^{2 }y}{\partial t^{2}}}\pm {\frac {\partial ^{2}y}{\partial x\partial t}}\right)(dt\pm dx),

och drog slutsatsen att koefficienten i differentialformen är en funktion av och kan beräknas genom att integrera den högra sidan av denna ekvation. Detta gör att vi kan skriva ett linjärt system i de första partiella derivatorna av , vars lösning ger den totala differentialen för funktionen . Det senare återställs genom upprepad integration. Denna metod låter oss skriva lösningen av strängvibrationsekvationen i formuläret $dt\pm dx$ $(t/pmx)$ $y$ $y$

y(t,x)=\phi (t+x)+\psi (tx),

var och är några godtyckliga funktioner som bestäms utifrån de initiala villkoren . D'Alembert kallade en sådan lösning allmän , och betonade att det är en hel uppsättning olika lösningar på ekvationen [4] . $\phi$ $\psi$

En liknande lösning erhölls snart av Euler , som formulerade vad vi nu skulle kalla Cauchy-problemet med en given initial strängform och noll initial hastighet. Genom att härleda ekvationen för vibrationen av en sträng och betrakta den som en godtycklig , fick han lösningen $a$

y=\phi (x+at)+\psi (x-at),

något annorlunda än d'Alemberts lösning. [5] År 1766 utvecklade Euler en ny metod, numera känd som metoden för egenskaper : övergång till koordinater , skriver han den ursprungliga ekvationen i formen [5] $u=x+at,v=x-at$

{\frac {\partial ^{2}y}{\partial u\,\partial v))=0,

som är lätt att integrera.

Trots att D'Alembert och Euler fick lösningar av oscillationsekvationen som var nästan identiska till formen, uppfattade de deras betydelse på olika sätt. Nyckelproblemet var att de resulterande lösningarna innehöll godtyckliga funktioner . Men på den tiden fanns det ingen allmänt accepterad definition av en funktion, och det fanns olika åsikter bland matematiker om vilka funktioner som är acceptabla att beakta i analys och vilka som inte är det. Oenigheten mellan d'Alembert och Euler i denna fråga kulminerade i en serie publikationer som startade strängkontroversen, som senare anslöt sig till andra vetenskapsmän. [6]

Funktionsdefinition

I den begynnande matematiska analysen av 1600- och 1700 - talen fanns det två huvudsakliga tillvägagångssätt: visuell icke-rigorös mekanisk - geometrisk och formell algebraisk . Ur dessa två synpunkter uppfattades även funktionsbegreppet. Ur en mekanistisk synvinkel, som går tillbaka till Newton och Barrow , är en funktion en variabel som förändras över tiden. Det senare i detta fall fungerar som ett argument [7] . Ett annat förhållningssätt till en funktion, som går tillbaka till Fermat och Descartes, men först uttryckligen formulerat av Johann Bernoulli (fadern till Daniel Bernoulli , som kommer att diskuteras nedan), är att "en funktion av en variabel ... är en kvantitet sammansatt i någon väg från denna variabel och konstanter” [8] , det vill säga någon formel, ett analytiskt uttryck för ett argument (inte nödvändigtvis en analytisk funktion i modern mening). Klassen av operationer som kunde användas för att erhålla funktioner varierade också, men inkluderade vanligtvis aritmetik, rotextraktion och övergång till gränser , vilket gjorde att oändliga serier kunde betraktas [9] [10] . Det första tillvägagångssättet gav en bredare klass av funktioner, men varken en rigorös definition eller effektiva metoder för att arbeta med ett så allmänt begrepp om en funktion i mitten av 1700-talet. matematiker hade inte [11] , och i analys, såväl som geometriska tillämpningar, studerades funktioner som ges av en formel [12] .

D'Alembert ansåg strängproblemet i första hand från en ren matematikers position och ansåg inte att det var hans mål att förklara sådana fysiska effekter som det harmoniska ljudet av en sträng eller fenomenet övertoner . Det kan tyckas något konstigt, men ett sådant förhållningssätt till problem som ursprungligen härrörde från fysiken visade sig vara extremt effektivt inom 1700-talets vetenskap [13] [14] . Sålunda, med tanke på svängningen av en sträng med fasta ändar och noll initial hastighet, skriver d'Alembert lösningen i formen

y(t,x)={\frac {1}{2}}(f(x-at)+f(x+at)),

om man samtidigt antar att funktionen som bestämmer strängens position i det inledande tidsögonblicket måste ges av någon regel som är giltig för alla reella tal (så att lösningen bestäms för vilket ögonblick som helst), men sådan att den är udda och periodisk, med en period av längden 2 l (där l är strängens längd), vilket krävs för att uppfylla randvillkoren [13] . $f(x)$


Initialt tillstånd för en sträng deformerad under ett litet intervall
animation

För Euler var det tvärtom tydligt att strängen vid det inledande ögonblicket kan ges formen av en nästan godtycklig kurva ritad av "handens fri attraktion" [6] . Från fysiska överväganden, föreslog han att överväga en funktion definierad på intervallet , och sedan utöka denna funktion, med hjälp av dess uddahet och periodicitet, till alla reella tal. Det resulterande objektet var dock inte en "funktion" i den mening som d'Alembert (och till och med Euler själv tidigare) lade in i det [15] . Senare föreslog Euler också att överväga att det initiala tillståndet (och följaktligen lösningen) inte kan ges av ett analytiskt uttryck, utan av flera ("bitvis-analytisk" uppgift), och övergav sedan den analytiska uppgiften helt och hållet [6] . I synnerhet tillät han icke-släta funktioner med "avbrott" i grafen - vilket är naturligt att föreställa sig när man betraktar en sträng som dragits vid en punkt [16] . $0\leq x\leq l$


Initialt tillstånd för en sträng som dragits vid en punkt
animation

D'Alembert noterade att det är omöjligt att betrakta en godtycklig kurva, eftersom detta "motsäger alla analysregler" [17] och insisterade på att det initiala tillståndet måste ges av en periodisk, udda och överallt differentierbar funktion [16] . Användningen av funktioner "med kinks" utsattes för separat kritik. D'Alembert skrev att själva oscillationsekvationen kräver att lösningen har åtminstone andra partiella derivator. Men om det initiala tillståndet hade ett avbrott vid någon tidpunkt, visade sig lösningen som erhölls med de hittade formlerna vara ojämn någon gång vid någon förutbestämd punkt. Således kunde den inte uppfylla ekvationen vid brytpunkterna [16] . Här spelades en speciell roll av egenskapen hos hyperboliska partiella differentialekvationer (till vilka strängvibrationsekvationen hör) för att bevara jämnheten i initialtillståndet, och inte öka det (vilket händer i fallet med elliptiska ekvationer ) [18 ] .

Eulers huvudsakliga svar på allmänna invändningar var att studiet av partiella differentialekvationer skiljde sig väsentligt från den "vanliga analysen" av funktioner för en variabel, där transformationer av individuella analytiska uttryck huvudsakligen beaktas, och det finns inget behov av att överväga "blandade" funktioner [ 19] . Svaret på invändningar om icke-släta lösningar bottnade i det faktum att det endast skulle skilja sig från en jämn med en "oändligt liten" mängd, och denna skillnad kunde ignoreras - vilket naturligtvis inte kunde passa d'Alembert [16 ] . Ett annat argument var att Euler föreslog att man "glömde" den ursprungliga ekvationen och ansåg att fenomenet beskrivs av den hittade allmänna lösningen, och inte av ekvationen [20] .

Fysikerns åsikt: D. Bernoullis lösning

Daniil Bernoulli gick in i en tvist mellan Euler och d'Alembert och kritiserade deras lösningar ur en fysiksynpunkt som extremt abstrakta. I sina publikationer noterade han att detta är anmärkningsvärda matematiska resultat, men frågade: "vad har klingande strängar att göra med det?" [21] .

Baserat på idéer om svängningarnas natur, utvecklar han idén om den viktiga roll som "rena svängningar" har av en sinusform , som dök upp även med Taylor. Hans aning var att en godtycklig vibration kunde representeras som en "superposition", eller summan, av flera rena vibrationer ( superpositionsprincipen ), vilket var förenligt med observationen av en sträng: dess ljud består av en grundton och många övertoner . Bernoulli hittade en lösning på oscillationsekvationen i form av summan av en trigonometrisk serie och argumenterade (återigen, baserat på fysiska överväganden) att en sådan serie kan representera en godtycklig funktion. Han kunde inte bekräfta detta antagande matematiskt - i synnerhet visste han inte formeln för att beräkna koefficienterna för en sådan serie. Ändå trodde han att hans lösning inte bara har en större fysisk betydelse än lösningarna från d'Alembert och Euler, utan också är mer allmän [22] .

På den tiden var serier ett viktigt studieämne, och många matematiker (inklusive Newton) ansåg potensserier (med verkliga exponenter) som ett universellt sätt att skriva godtyckliga funktioner [23] . Men den erforderliga nivån av förståelse för den trigonometriska serien uppnåddes inte vid den tiden, och varken d'Alembert eller Euler var överens om att den trigonometriska serien är kapabel att beskriva en tillräckligt bred klass av funktioner. Detta missförstånd förvärrades av den då utbredda föreställningen att om två analytiska uttryck sammanfaller på någon del av den numeriska axeln, så sammanfaller de överallt. Således kunde Euler inte tro att en trigonometrisk serie kunde beskriva beteendet hos en sträng som bara störs i ett litet område. Invändningar framfördes också av kravet på periodicitet för en funktion som kan representeras som en serie, vilket naturligtvis följer av periodiciteten hos termerna [24] [25] .

Först i mycket senare verk av Fourier (början av 1800-talet) visades att även funktioner med brytningar som är otillgängliga för beskrivning av en potensserie (och inte analytiska i modern mening) kan representeras på ett visst segment med en trigonometrisk serier. Ytterligare forskning i frågorna om konvergens av Fourier-serier ledde Kantor till konstruktionen av mängdteorin och, i slutändan, till framväxten av modern funktionell analys [26] .

Generiska funktioner

Fouriers resultat besvarade en av nyckelfrågorna i argumentet om strängen: representabiliteten av en bred klass av funktioner genom en trigonometrisk serie. En annan källa till kontroverser - paradoxen förknippad med möjligheten till icke-släta initiala förhållanden, och följaktligen lösningar - förblev öppen inte bara på 1700-talet utan också på 1800-talet . Det löstes först på XX-talet med tillkomsten av apparaten för generaliserade funktioner (distributioner) [6] . Grunden till denna teori lades i slutet av 1936 av S. L. Sobolev som ett resultat av studien av Cauchy-problemet för hyperboliska ekvationer (som inkluderar ekvationen för strängvibrationer ) och vidareutvecklades strikt av Laurent Schwartz på 1950 - talet [27] .

Tanken är att ersätta svängningsekvationen med en ekvivalent (i viss mening) integralekvation , vars lösning inte längre söks i klassen av dubbelt släta funktioner , utan i de så kallade Sobolev-rymden , som är fullbordandet av utrymmet för kontinuerliga funktioner med avseende på någon speciell metrik . Det kan också antas att derivatorna av den icke-släta funktionen , som finns på vänster sida av strängsvängningsekvationen, är en generaliserad funktion, och likheten är giltig i betydelsen generaliserade funktioner [28] .

Anteckningar

↑ 1 2 Jusjkevitj 1972, sid. 412.
↑ 1 2 3 Stillwell, sid. 242
↑ Jusjkevitj 1972, sid. 413
↑ Jusjkevitj 1972, sid. 414
↑ 1 2 Jusjkevitj 1972, sid. 415
↑ 1 2 3 4 Jusjkevitj 1972, sid. 416
↑ Jusjkevitj 1970, sid. 143-144
↑ John. Bernoulli , Opera omnia, v. II, Lausannae-Genève, 1742, sid. 241. Op. enligt: Yushkevich 1970, sid. 147
↑ Jusjkevitj 1970, sid. 147
↑ Jusjkevitj 1972, sid. 250
↑ Jusjkevitj 1970, sid. 144
↑ Jusjkevitj 1972, sid. 252
↑ 12 Ravetz , sid. 75
↑ Christensen, sid. 36
↑ Ravetz, sid. 76
↑ 1 2 3 4 Wheeler och Crummett, sid. 35
↑ Kleiner, sid. 287
↑ Se t.ex. Mikhailov VP Differentialekvationer i partiella derivator. - M. : Nauka, 1976. - S. 35. - 391 sid.
↑ Ravetz, sid. 81
↑ Ravetz, sid. 83
↑ Ravetz, sid. 78
↑ Jusjkevitj 1972, sid. 417-418
↑ Jusjkevitj 1972, 250-251
↑ Jusjkevitj 1972, sid. 418
↑ Kleiner, sid. 285
↑ Stillwell, sid. 244-245
↑ Se t.ex. Kutateladze S.S. Sergey Sobolev och Laurent Schwartz: Two Fates, Two Glories // Siberian Journal of Industrial Mathematics. - 2008. - T. 11 , nr 3 . - S. 5-14 . Arkiverad från originalet den 5 oktober 2013.
↑ Se t.ex. Mikhailov VP Differentialekvationer i partiella derivator. - M . : Nauka, 1976. - S. 266-298. — 391 sid.

Litteratur

Matematikens historia från antiken till början av 1800-talet / Ed. A.P. Jusjkevitj. - M . : Nauka, 1970. - T. II, 1600-talets matematik. — 300 s.
Matematikens historia från antiken till början av 1800-talet / Ed. A.P. Jusjkevitj. - M . : Nauka, 1972. - T. III, matematik från XVIII-talet. — 495 sid.
Stillwell, J. Mathematics and its History. - Izhevsk: Institutet för datorforskning / RHD, 2004. - 530 s.
Wheeler, GF, Crummett WP Den vibrerande strängkontroversen // American Journal of Physics . - American Association of Physics Teachers , 1987. - Vol. 55, nr 1 . - S. 33-37. - doi : 10.1119/1.15311 .
Christensen, T. Artonhundratalets vetenskap och kåren Sonore: den vetenskapliga bakgrunden till Rameaus princip om harmoni // Journal of Music Theory. - 1987. - Vol. 31. - S. 23-50.
Ravetz JR Vibrerande strängar och godtyckliga funktioner // The Logic of Personal Knowledge: Essays Presented to M. Polanyi on his Seventieth Birthday. - London: Routledge, 1961. - S. 71-88.
Kleiner, I. Evolution of the function concept: A short survey // The College Mathematics Journal. - 1989. - Vol. 20. - S. 282-300.
Larin A. A. Ursprunget till matematisk fysik och teorin om svängningar av kontinuumsystem i "Tvisten om strängen" // Bulletin från National Technical University "Kharkov Polytechnic Institute". Vetenskapens och teknikens historia. - 2008. - Nr 8 .