Karakteristisk metod

Karakteristikmetoden är en metod för att lösa partiella differentialekvationer . Det tillämpas vanligtvis på lösningen av första ordningens partiella differentialekvationer, men det kan också tillämpas på lösningen av hyperboliska ekvationer av högre ordningen .

Princip

Metoden består i att reducera den partiella differentialekvationen till en familj av vanliga differentialekvationer .

Detta kräver att man hittar kurvor (kallade egenskaper ) längs vilka den partiella differentialekvationen förvandlas till en vanlig differentialekvation. Så snart de ordinarie differentialekvationerna hittats kan de lösas längs egenskaperna och den hittade lösningen kan omvandlas till en lösning av den ursprungliga partiella differentialekvationen.

Exempel

Kvasilinjär ekvation i planet

Betrakta följande kvaslinjära ekvation med avseende på den okända funktionen $u(x,y)$

a(x,y,u)\cdot u_{x}+b(x,y,u)\cdot u_{y}=c(x,y,u).

Betrakta en yta i . Normalen till denna yta ges av $z=u(x,y)$ $\mathbb {R} ^{3}$

(u_{x}(x,y),u_{y}(x,y),-1).

Som ett resultat får vi att ekvationen är ekvivalent med det geometriska uttrycket som vektorfältet

(a(x,y,z),b(x,y,z),c(x,y,z))

är tangent till ytan vid varje punkt. $z=u(x,y)$

I det här fallet kan de karakteristiska ekvationerna skrivas som [1] :

{\frac {dx}{a(x,y,z)}}={\frac {dy}{b(x,y,z)}}={\frac {dz}{c(x,y,z )}},

eller, om x ( t ), y ( t ), z ( t ) är funktioner av parametern t :

{\begin{array}{rcl}{\frac {dx}{dt}}&=&a(x,y,z)\\{\frac {dy}{dt}}&=&b(x,y,z )\\{\frac {dz}{dt}}&=&c(x,y,z).\end{array}}

Det vill säga att ytan bildas av en enparameterfamilj av beskrivna kurvor. En sådan yta är helt definierad av en enda kurva tvärs över vektorfältet på den . $z=u(x,y)$ $(a,b,c)$

Transportekvationen

Betrakta ett specialfall av ekvationen ovan, den så kallade transportekvationen (den uppstår när man löser problemet med fri expansion av gas till ett tomrum):

a\cdot u_{x}+u_{t}=0

där är en konstant och är en funktion av variabler och . $a$ $u$ $x$ $t$

Vi skulle vilja reducera denna första ordningens partiella differentialekvation till en vanlig differentialekvation längs motsvarande kurva, det vill säga att få en ekvation av formen

{\frac {d}{ds}}u(x(s),t(s))=F(u,x(s),t(s))

var finns en funktion. $(x(s),t(s))$

Först satte vi

{\frac {d}{ds}}u(x(s),t(s))={\frac {\partial u}{\partial x}}{\frac {dx}{ds}}+{\ frac {\partial u}{\partial t}}{\frac {dt}{ds}}

Nu, om vi sätter och , får vi ${\frac {dx}{ds}}=a$ ${\frac {dt}{ds}}=1$

a{\frac {\partial u}{\partial x))+{\frac {\partial u}{\partial t))

, som är den vänstra sidan av transportekvationen vi började med. På det här sättet,

{\frac {d}{ds}}u=a{\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial u}{\partial t}}=0.

Som du kan se förvandlas den ursprungliga ekvationen till en ODE längs karakteristiken , vilket betyder att lösningen är konstant längs egenskaperna. Således, , där punkterna och ligger på samma egenskap. Det kan ses att för att hitta den allmänna lösningen räcker det att hitta ekvationens egenskaper genom att lösa följande system av ODE: $(x(s),t(s))$ $u_{s}=F(u,x(s),t(s))=0$ $u(x_{s},t_{s})=u(x_{0},0)$ $(x_{s},t_{s})$ $(x_{0},0)$

${\frac {dt}{ds}}=1$ , när lösningen är , $t(0)=0$ $t=s$
${\frac {dx}{ds}}=a$ , när lösningen är , $x(0)=x_{0}$ ${\displaystyle x=as+x_{0}=at+x_{0))$
${\frac {du}{ds}}=0$ , när lösningen är . $u(0)=f(x_{0})$ $u(x(t),t)=f(x_{0})=f(x-at)$

I vårt fall är egenskaperna en familj av linjer med lutning , och lösningen förblir konstant längs var och en av egenskaperna. $a$ $u$

Uttalande av Cauchy-problemet

För att välja en speciell lösning från en allmän, är det nödvändigt att ställa Cauchy-problemet, som i fallet med vanliga differentialekvationer. Det initiala tillståndet ges på den initiala hyperytan S:

$u|_{S}=f(x)$

I det allmänna fallet är det nästan omöjligt att formulera ett villkor för Cauchy-problemets globala lösbarhet, men om vi begränsar oss till villkoret för lokal lösbarhet kan vi använda följande teorem:

En lösning av Cauchy-problemet i en punkts grannskap finns och är unik om egenskapen som passerar genom är tvärgående mot ytan S [2] $x_{0}\in S$ ${\displaystyle x_{0))$

Anteckningar

↑ Delgado, 1997
↑ E. A. Kuznetsov, D. A. Shapiro METODER FÖR MATEMATISK FYSIK. Del I - PDF Gratis nedladdning . docplayer.ru Hämtad: 19 januari 2020. (obestämd)

Litteratur

Courant, Richard & Hilbert, David (1962), Methods of Mathematical Physics, Volym II , Wiley-Interscience
Delgado, Manuel (1997), The Lagrange-Charpit Method , SIAM Review vol 39 (2): 298–304 , DOI 10.1137/S0036144595293534
Evans, Lawrence C. (1998), Partiella differentialekvationer , Providence: American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0772-2
John, Fritz (1991), Partiella differentialekvationer (4:e upplagan), Springer, ISBN 978-0-387-90609-6
polyanin, AD; Zaitsev, VF & Moussiaux, A. (2002), Handbook of First Order Partial Differential Equations , London: Taylor & Francis, ISBN 0-415-27267-X
Polyanin, AD (2002), Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists , Boca Raton: Chapman & Hall/CRC Press, ISBN 1-58488-299-9
Sarra, Scott (2003), The Method of Characteristics with applications to Conservation Laws, Journal of Online Mathematics and its Applications .
Streeter, VL & Wylie, EB (1998), Fluid mechanics (International 9th Revised ed.), McGraw-Hill Higher Education