Teorem för omvänd funktion

Inversfunktionssatsen ger tillräckliga förutsättningar för existensen av en invers funktion i närheten av en punkt i termer av derivator av själva funktionen.

Satsen generaliserar till vektorfunktioner . Det finns också varianter av inversfunktionssatsen för holomorfa funktioner , för jämna avbildningar mellan grenrör , för jämna funktioner mellan Banach-rum .

Formuleringar

Verkligt värderad funktion

För en funktion av en variabel säger satsen att om är en kontinuerligt differentierbar funktion med en derivata som inte är noll vid punkten , så är den inverterbar i närheten av . Dessutom är den inversa funktionen kontinuerligt differentierbar, och $f$ $a$ $f$ $a$

{\bigl (}f^{-1}{\bigr )}'(f(a))={\frac {1}{f'(a))).

Funktioner för flera variabler

Om den jakobianska matrisen för en kontinuerligt differentierbar funktion som verkar från en öppen delmängd av rymden till rymden är inverterbar vid en punkt , så är själva funktionen inverterbar i ett grannskap . $F$ $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {R} ^{n}$ $sid$ $F$ $sid$

Anteckningar

Den andra delen av satsen följer av regeln för differentiering av funktioners sammansättning .
Förekomsten av en invers funktion är likvärdig med att säga att ekvationssystemet kan ha en lösning för given , förutsatt att och ligger i små stadsdelar av respektive . $F$ $n$ $y_{i}=F_{i}(x_{1},\dots ,x_{n})$ $x_{1},\dots ,x_{n}$ $y_{1},\dots ,y_{n}$ $x$ $y$ $sid$ $F(p)$

Exempel

Tänk på vektorfunktionen $F\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$

\mathbf {F} (x,y)={\begin{bmatrix}{e^{x}{\cdot }\cos y}\\{e^{x}{\cdot }\sin y} \\\end{bmatrix}}.

Den jakobiska matrisen har formen $F$

J_{F}(x,y)={\begin{bmatrix}{e^{x}{\cdot }\cos y},&{-e^{x}{\cdot }\sin y} \\{e^{x}{\cdot }\sin y},&{e^{x}{\cdot }\cos y}\\\end{bmatrix)).

Dess bestämningsfaktor är :

\det[J_{F}(x,y)]=e^{2x}{\cdot }\cos ^{2}y+e^{2x}{\cdot }\sin ^{2}y =e^{2x}.

Observera det när som helst Enligt satsen finns det för varje punkt ett område som är inverterbart. $e^{2x}\neq 0$ ${\displaystyle p\in \mathbb {R} ^{2))$ $F$

Observera dock att det är oåterkalleligt över hela regionen. Verkligen, $F$ $F(x,y)=F(x,y+2\pi )$

för någon . I synnerhet är inte injektiv

(x,y)

F

Variationer och generaliseringar

Oändligt dimensionellt fall

I det oändliga dimensionella fallet måste man dessutom kräva att Fréchet-derivaten vid en punkt har en begränsad invers operator. $sid$

Sorter

Den omvända funktionssatsen generaliserar till jämna mappningar mellan jämna grenrör . Låt vara en smidig mappning mellan släta grenrör . Låt oss anta att skillnaden $F\colon M\to N$

d_{p}F\colon T_{p}M\to T_{F(p)}N

vid en punkt är en linjär isomorfism . (Särskilt .) Sedan finns det ett öppet grannskap så att $sid$ $\dim M=\dim N$ $U\ni p$

F|_{U}\colon U\to F(U)

är en diffeomorfism .

Banach mellanslag

Låt och vara Banach utrymmen , och vara en öppen stadsdel av . Antag att avbildningen är kontinuerligt differentierbar och dess differential är en gränsad linjär isomorfism . Sedan finns det ett öppet kvarter och en kontinuerligt differentierbar kartläggning så att för alla i . $X$ $Y$ $U$ $0\in X$ $F\colon U\to Y$ $d_{0}F\colon X\to Y$ $X\to Y$ $V\ni F(0)$ $G\colon V\to X$ $F(G(y))=y$ $y$ $V$

Banach sorter

Dessa två generaliseringslinjer kan kombineras i inversfunktionssatsen för Banachs grenrör. [ett]

Se även

Implicit funktionssats

Anteckningar

↑ Lang 1995, Lang 1999, s. 15-19, 25-29.

Länkar

Zorich V. A. Matematisk analys, valfri upplaga
Ilyin V. A., Poznyak E. G. Fundamentals of Mathematical Analysis, 3:e upplagan, del 1, M., 1971
Kolmogorov A. N., Fomin S. V. Element i teorin om funktioner och funktionell analys, 5:e upplagan, M., 1981
Lyusternik L. A., Sobolev V. I. Elements of functional analysis, 2:a upplagan, M., 1965
Nikolsky S. M. Kurs för matematisk analys, 2:a upplagan, vol 1-2, M., 1975
Pontryagin L. S. Ordinarie differentialekvationer, 4:e uppl., M., 1974 - § 33
Schwartz L. Analysis, trans. från French, vol. 1, M., 1972
Serge Lang . Differentiella och Riemannska grenrör. - Springer, 1995. - ISBN 0-387-94338-2 .
Serge Lang . Grunderna för differentialgeometri. - New York: Springer, 1999. - (Graduate Texts in Mathematics). - ISBN 978-0-387-98593-0 .
Nijenhuis, Albert. Starka derivator och inversa mappningar (engelska) // Amer. Matematik. Månatlig : dagbok. - 1974. - Vol. 81 , nr. 9 . - P. 969-980 . - doi : 10.2307/2319298 .
Renardy, Michael och Rogers, Robert C. En introduktion till partiella differentialekvationer (italienska) . — För det andra. - New York: Springer-Verlag , 2004. - S. 337-338. — (Texter i tillämpad matematik 13). — ISBN 0-387-00444-0 .
Rudin, Walter . Principer för matematisk analys (neopr.) . — Tredje. - New York: McGraw-Hill Education , 1976. - S. 221-223. — (International Series in Pure and Applied Mathematics). — ISBN 978-0070542358 .