Sards teorem

Sards teorem är en av teoremerna för matematisk analys som har viktiga tillämpningar inom differentialgeometri och topologi , katastrofteori och teorin om dynamiska system . [ett]

Uppkallad efter den amerikanske matematikern Arthur Sard . [2] I vissa källor kallas det Bertini-Sard-satsen , [3] och förknippas också ibland med namnen Anthony Morse (han fick ett tidigare särskilt resultat) [4] och Shlomo Sternberg (ett senare men mer allmänt resultat ) ) [5] .

Formulering

Låt vara en öppen uppsättning i rymden och vara en smidig funktion av klassen _ _ _ _ _ $U$ $\mathbb{R} ^{m}$ ${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} ^{n))$ $C^{k},$ $k\geqslant 1.$ $S\delmängd U$ $f.$ $k\geqslant m-n+1,$ $f(S)$ $\R^n.$

Anteckningar

Som H. Whitney visade kan graden av jämnhet här inte reduceras med någon kombination av och [6] [7] $k$ $m$ $n.$

Exempel

Låt oss betrakta en identiskt konstant funktion . Alla punkter i dess definitionsdomän är kritiska, därför består uppsättningen av kritiska värden av en enda punkt och har därför ett noll Lebesgue-mått. $f\equiv f_{0}.$ $U$ $S=U.$ $f(S)$ $f_0$

Variationer och generaliseringar

Sardas Lemma

Måttet på uppsättningen av kritiska värden för en -slät funktion är lika med noll. $C^1$ $f:[a,b]\to \mathbb {R} ^{1}$

Bevis . Utan förlust av generalitet kommer vi att överväga ett segment Vi väljer ett tal och delar upp segmentet i lika delar så att fluktuationen av derivatan inte överstiger var och en av dem. Detta kan göras på grund av det faktum att, enligt villkoret av lemma är funktionen kontinuerlig är, ochsegmentetpå enhetligt kontinuerlig på det, dvs. $[a,b]=[0,1].$ $\varepsilon >0$ $[0,1]$ $n$ $f'$ $\varepsilon.$ $f'$ $[0,1]$ $\forall \varepsilon >0\ \exists \delta >0\ \forall x_{1},x_{2}\i [0,1]:\ |x_{1}-x_{2}|<\ delta \Rightarrow |f(x_{1})-f(x_{2})|<\varepsilon .$

Beteckna med de segment (delar av partitionen som gjorts ovan) som innehåller minst en kritisk punkt i funktionen , dvs. det är uppenbart att för sådana segment är uppskattningen giltig för alla , och därför ( Formel med ändliga inkrement ), för vilka två som helst pekar på ojämlikheten $\Delta _{i}$ $f,$ $\exists \xi _{i}\i \Delta _{i}\ :\ f'(\xi _{i})=0.$ $|f'(x)|\leqslant \varepsilon$ ${\displaystyle x\in \Delta _{i))$ $y_{1},y_{2}\in f(\Delta _{i})$ $|y_{1}-y_{2}|\leqslant \max _{x\in \Delta _{i}}|f'(x)|\cdot |\Delta _{i}|\leqslant \ varepsilon /n.$

Om vi täcker varje uppsättning med ett längdintervall, kommer vi att få en täckning av uppsättningen av alla kritiska värden med intervall vars summa av längder inte överstiger . På grund av godtyckligheten i valet av numret betyder detta att måttet på uppsättningen av kritiska värden är lika med noll. $f(\Delta _{i})$ $2{\cdot }\varepsilon /n,$ $2{\cdot }\varepsilon /n\cdot n=2{\cdot }\varepsilon .$ $\varepsilon$

Dubovitskys teorem

Låt och vara två jämna grenrör med positiva dimensioner och och vara en jämn funktion av klassen där En punkt kallas oregelbunden om rangordningen för den jakobiska matrisen för funktionen i den är mindre än Punkt kallas oregelbunden om för minst en oregelbunden punkt . I fallet sammanfaller begreppet en oregelbunden punkt med begreppet en kritisk punkt för en funktion. I fallet är alla punkter på grenröret oregelbundna. $M^{m}$ $N^{n}$ $m$ $n$ $f:M^{m}\to N^{n}$ $C^{k},$ $k\geqslant 1.$ ${\displaystyle x\in M^{m))$ $f$ $n.$ ${\displaystyle y\in N^{n))$ $y=f(x)$ ${\displaystyle x\in M^{m))$ $m\geqslant n$ $m<n$ $M^{m}$

Om ett tal så har uppsättningen av oregelbundna mappningspunkter i grenröret den första Baer-kategorin , det vill säga det är en finit eller räknebar förening av kompakta uppsättningar som inte är täta i $k\geqslant m-n+1,$ $f$ $N^{n}$ $N^{n}.$

Detta teorem bevisades av den sovjetiske matematikern A. Ya Dubovitsky [8] [9] [10] .

Andra analoger

En oändlig-dimensionell analog av Sards sats (för grenrör i Banach-utrymmen ) erhölls av Stephen Smale [11] . Analoger för kartläggning av Hölder och Sobolev utrymmen erhölls i [12] . En analog för funktioner med reducerad jämnhet erhölls i [13] .

Litteratur

Arnold V. I., Varchenko A. N., Gusein-Zade S. M. Singularities of differentiable mappings, — Alla upplagor.
Zorich V. A. Matematisk analys, - Vilken upplaga som helst.
Milnor J., Wallace A. Differential topology (initial kurs), - Vilken utgåva som helst.
Hirsch M. Differentiell topologi, - Vilken utgåva som helst.
Spivak M. Mathematical analysis on manifolds, - M .: Mir, 1968.
Dubrovin B. A., Novikov S. P., Fomenko A. T. Modern geometri. Metoder och tillämpningar, - Alla upplagor.
Sard A. Måttet på de kritiska värdena för differentierbara kartor, Bull. amer. Matematik. Soc. 48 (1942), sid. 883-890.
Sternberg S. Föreläsningar om differentialgeometri, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1964.
Pontryagin LS Smooth grenrör och deras tillämpning i homotopi teori. — M.: Nauka, 1985. — 176 sid.

Anteckningar

↑ Arnold V. I. Ytterligare kapitel i teorin om vanliga differentialekvationer, stycke 10.
↑ Sard A. Måttet på de kritiska värdena för differentierbara kartor, - Bull. amer. Matematik. Soc. 48 (1942), sid. 883-890. . Hämtad 7 maj 2010. Arkiverad från originalet 12 oktober 2012. (obestämd)
↑ Arnold V. I., Varchenko A. N., Gusein-Zade S. M. Singularities of differentiable mappings, paragraf 2.
↑ Morse AP En funktions beteende på dess kritiska uppsättning. — Annals of Mathematics, vol. 40, nr 1 (1939), sid. 62-70.
↑ Sternberg S. Föreläsningar om differentialgeometri.
↑ Zorich V. A. Matematisk analys, volym II, kapitel XI, stycke 5.
↑ Whitney H. En funktion som inte är konstant på en sammankopplad uppsättning kritiska punkter, - Duke Math. J. 1 (1935), 514-517.
↑ Dubovitsky A. Ya. Om differentierbara avbildningar av en n - dimensionell kub till en k - dimensionell kub. Matta. Sb., 1953, 32(74):2, sid. 443-464.
↑ Dubovitsky A. Ya Om strukturen av nivåuppsättningar av differentierbara avbildningar av en n - dimensionell kub till en k - dimensionell kub. Izv. USSR:s vetenskapsakademi. Ser. Mat., 1957, 21:3, sid. 371-408.
↑ Pontryagin L. S. Släta grenrör och deras tillämpningar i homotopi teori, - Alla upplagor.
↑ Smale S. En oändlig dimensionell version av Sards sats, - American Journal of Mathematics, vol. 87, nr 4 (1965), sid. 861-866.
↑ Bojarski B., Hajlasz P., Strzelecki P. Sards teorem för avbildningar i Holder- och Sobolev-rum, - Manuscripta Math., 118 (2005), s. 383-397.
↑ Korobkov M. V. Om en analog av Sards teorem för -släta funktioner av två variabler, - Siberian Mathematical Journal, 2006, 47:5, sid. 1083-1091. $C^1$