Normalisering är en kartläggning av elementen i ett fält eller en integralring till något ordnat fält med följande egenskaper:
1) och endast när 2) 3)Om istället för 3) ett starkare villkor är uppfyllt:
3a) , då kallas värderingen icke-arkimedisk .Värdet kallas elementets norm . Om det ordnade fältet är fältet med reella tal , kallas värderingen ofta som absolutvärde.
Normer och sägs vara likvärdiga om det är likvärdigt med .
Enligt Ostrovskys teorem är varje icke-trivial norm på likvärdig med antingen det absoluta värdet eller den p-adiska värderingen.
Låt detta villkor vara uppfyllt. Sedan för alla element och från fältet har vi:
Genom att ta roten från båda delarna och passera till gränsen vid , får vi villkor 3a). Motsatsen är uppenbar.
Det följer omedelbart av egenskaperna 1-3 att, när vi definierar avståndet mellan två element i ett realvärderat normerat fält som normen för skillnaden , vi gör det till ett metriskt utrymme , i fallet med en icke-arkimedisk norm, till en ultrametriskt utrymme . Olika normer definierar olika mått. Likvärdiga normer definierar samma topologi i .
Som med alla metriska utrymmen kan man introducera begreppet fullständighet och bevisa att alla värderade fält är isomorft inbäddade i ett fullständigt värderat fält , det vill säga det finns en isomorfism . Normen i fortsätter normen i , det vill säga för var och en av : , och är tät i med avseende på denna norm. Varje sådant fält är unikt definierat upp till en isomorfism som bevarar normer ( isometri ) och är identisk med ; det kallas fältkomplettering .
Exempel. Kompletteringen av fältet för rationella tal med p-adiska metriska är fältet för p-adiska tal .
Låta vara en kartläggning från en multiplikativ fältgrupp till någon välordnad abelisk grupp , sådan att
ett) 2)Det är också bekvämt att omdefiniera denna funktion till noll: . Gruppoperationen på definieras enligt följande: för varje , är ordnad på ett sådant sätt att den är större än alla element i den ursprungliga gruppen. I det här fallet förblir egenskaperna 1) och 2) sanna.
I Bourbakis terminologi kallas en funktion med sådana egenskaper för värdering . Termen "normalisering" för en sådan funktion används också av Atiyah och McDonald [1] och Leng. [2] Vissa författare lämnar dock termen "normalisering" för en funktion som har de egenskaper som anges i början av denna artikel, och Bourbaki-värderingen kallas exponentiell värdering . Värdeintervallet för mappningen kallas värderingsgruppen , och uppsättningen av de element i fältet som är värderingsringen (notation - ), är det lätt att verifiera att det verkligen är en ring.
Diskret normalisering är en exponentiell normalisering, som är en mappning till den additiva gruppen av heltal. I det här fallet kallas värderingsringen för den diskreta värderingsringen .