Normalisering (algebra)

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 20 september 2021; verifiering kräver 1 redigering .

Normalisering är en kartläggning av elementen i ett fält eller en integralring till något ordnat fält med följande egenskaper: $F$ $P$ $x\mapsto\|x\|$

1) och endast när

\|x\|\geqslant 0

\|x\|=0

x=0

\|xy\|=\|x\|\cdot \|y\|

\|x+y\|\leqslant \|x\|+\|y\|

Om istället för 3) ett starkare villkor är uppfyllt:

3a) , då kallas värderingen icke-arkimedisk .

\|x+y\|\leqslant \max(\|x\|,\|y\|)

Värdet kallas elementets norm . Om det ordnade fältet är fältet med reella tal , kallas värderingen ofta som absolutvärde. $\|x\|$ $x$ $P$ $\mathbb {R}$

Normer och sägs vara likvärdiga om det är likvärdigt med . ${\displaystyle \|\cdot \|_{1))$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{2))$ $\|x\|_{1}<1$ $\|x\|_{2}<1$

Exempel på normaliseringar

Normalisering under vilken , för resten . En sådan normalisering kallas trivial. $\|0\|=0$ $\|x\|=1$ $x$
Det vanliga absoluta värdet i fältet för reella tal och modulen i fältet för komplexa tal är normaliseringar. $\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$
Låt vara fältet för rationella tal och låt vara något primtal . Vilket rationellt tal som helst kan representeras som ett bråk , där och inte är multipler . Det är möjligt att definiera följande normalisering . Denna värdering är icke-arkimedisk och kallas den p-adiska värderingen . $\mathbb {Q}$ $sid$ $x=p^{n}{\frac {a}{b}}$ $a$ $b$ $sid$ $|x|_{p}=p^{{-n}}$

Enligt Ostrovskys teorem är varje icke-trivial norm på likvärdig med antingen det absoluta värdet eller den p-adiska värderingen. $\mathbb {Q}$ $|x|$

Normegenskaper

$|1|=|-\!1|=1$
För realvärderad normalisering är egenskapen uppfylld (här antas det att den vanliga normen sätts på fältet för reella tal - talets modul ) ${\Bigl |}|x|-|y|{\Bigr |}\leqslant |xy|$
En realvärderad värdering är icke-arkimedisk om och endast om det finns ett positivt tal , så att för varje summa av identitetselement i fältet : $A$ $F$

3b)

\|1+1+...+1\|\leqslant A

Låt detta villkor vara uppfyllt. Sedan för alla element och från fältet har vi: $x$ $y$ $F$

$|(x+y)^{n}|=|x^{n}+\ldots +C_{n}^{i}\,x^{{ni}}\,y^{i}+\ldots + y^{n}|\leqslant (n+1)A[\max(|x|,|y|)]^{n}$

Genom att ta roten från båda delarna och passera till gränsen vid , får vi villkor 3a). $n\till\infty$ Motsatsen är uppenbar.

Det normerade fältet som ett metriskt utrymme

Det följer omedelbart av egenskaperna 1-3 att, när vi definierar avståndet mellan två element i ett realvärderat normerat fält som normen för skillnaden , vi gör det till ett metriskt utrymme , i fallet med en icke-arkimedisk norm, till en ultrametriskt utrymme . Olika normer definierar olika mått. Likvärdiga normer definierar samma topologi i . $F$ $\|xy\|$ $F$

Påfyllning

Som med alla metriska utrymmen kan man introducera begreppet fullständighet och bevisa att alla värderade fält är isomorft inbäddade i ett fullständigt värderat fält , det vill säga det finns en isomorfism . Normen i fortsätter normen i , det vill säga för var och en av : , och är tät i med avseende på denna norm. Varje sådant fält är unikt definierat upp till en isomorfism som bevarar normer ( isometri ) och är identisk med ; det kallas fältkomplettering . $F$ $F^{*}$ $i:F\högerpil F^{*}$ $F^{*}$ $F$ $x$ $F$ $\|i(x)\|_{F^{*}}=\|x\|$ $F$ $F^{*}$ $F^{*}$ $F$ $F$

Exempel. Kompletteringen av fältet för rationella tal med p-adiska metriska är fältet för p-adiska tal . ${\mathbb {Q}}$ ${\mathbb {Q}}_{p}$

Exponentiell normalisering

Låta vara en kartläggning från en multiplikativ fältgrupp till någon välordnad abelisk grupp , sådan att $v$ $K^{*}$

ett)

v(xy)=v(x)+v(y)

v(x+y)\geqslant \min(v(x),v(y))

Det är också bekvämt att omdefiniera denna funktion till noll: . Gruppoperationen på definieras enligt följande: för varje , är ordnad på ett sådant sätt att den är större än alla element i den ursprungliga gruppen. I det här fallet förblir egenskaperna 1) och 2) sanna. $v(0)=\infty$ $\infty$ $a+\infty =\infty +a=\infty$ $a$ $\infty$

I Bourbakis terminologi kallas en funktion med sådana egenskaper för värdering . Termen "normalisering" för en sådan funktion används också av Atiyah och McDonald [1] och Leng. [2] Vissa författare lämnar dock termen "normalisering" för en funktion som har de egenskaper som anges i början av denna artikel, och Bourbaki-värderingen kallas exponentiell värdering . Värdeintervallet för mappningen kallas värderingsgruppen , och uppsättningen av de element i fältet som är värderingsringen (notation - ), är det lätt att verifiera att det verkligen är en ring. $v$ $x$ $K$ $v(x)\geqslant 0$ $R_{v}$

Diskret normalisering är en exponentiell normalisering, som är en mappning till den additiva gruppen av heltal. I det här fallet kallas värderingsringen för den diskreta värderingsringen .

Anteckningar

↑ Atiyah M., McDonald I. Introduktion till kommutativ algebra, sid. 115.
↑ Leng S. Algebra, sid. 337.

Litteratur

Atiyah M., McDonald I. Introduktion till kommutativ algebra. — M .: Mir, 1972.
Van der Waerden B. L. Algebra. — M .: Nauka, 1975.
Zarissky O., Samuel P. Kommutativ algebra. - M. : IL, 1963. - T. 2.
Leng S. Algebra. — M .: Mir, 1967.