Privat gård

I talteorin är Fermat-kvoten för ett heltal a ≥ 2 över en enkel bas p ett bråk [1] [2] [3] [4]

q_{p}(a)={\frac {a^{p-1}-1}{p)).

Om a är coprime till p , så säger Fermats lilla sats att q p ( a ) kommer att vara ett heltal. Den privata är uppkallad efter Pierre de Fermat .

Egenskaper

Det framgår av definitionen att

q_{p}(1)\equiv 0{\pmod {p))

q_{p}(-a)\equiv q_{p}(a){\pmod {p))

År 1850 bevisade Gotthold Eisenstein att om a och b båda är relativt prime till p , då: [5]

q_{p}(ab)\equiv q_{p}(a)+q_{p}(b){\pmod {p))

;

q_{p}(a^{r})\equiv rq_{p}(a){\pmod {p))

;

q_{p}(a+p)\equiv q_{p}(a)-{\frac {1}{a}}{\pmod {p}}

;

q_{p}(p-1)\equiv 1{\pmod {p))

;

q_{p}(p+1)\equiv -1{\pmod {p))

Eisenstein jämförde de två första relationerna med logaritmernas egenskaper.

Av dessa fastigheter följer

q_{p}(1/a)\equiv -q_{p}(a){\pmod {p))

;

q_{p}(a/b)\equiv q_{p}(a)-q_{p}(b){\pmod {p))

1895 påpekade Dmitry Mirimanov (Dmitry Mirimanoff) att den konsekventa tillämpningen av Eisensteins regler leder till [6]

q_{p}(a+np)\equiv q_{p}(a)-n\cdot {\frac {1}{a}}{\pmod {p}}.

Av detta följer att [7]

q_{p}(a+np^{2})\equiv q_{p}(a){\pmod {p)).

Särskilda tillfällen

Eisenstein fann att Fermats kvot till bas 2 är jämförbar modulo p med summan av reciproka tal från 1 till , det vill säga ett övertonstal : ${\frac {p-1}{2}}$ $H_{\frac {p-1}{2}}$

-2q_{p}(2)\equiv \sum _{k=1}^{\frac {p-1}{2}}{\frac {1}{k}}\equiv H_{\frac {p-1}{2}}{\pmod {p}}.

Nyare författare har visat att antalet element i en sådan representation kan minskas från 1/2 till 1/4, 1/5 eller till och med 1/6:

-3q_{p}(2)\equiv \sum _{k=1}^{\lfloor {\frac {p}{4}}\rfloor }{\frac {1}{k}}{\ pmod {p}}.

[åtta]

4q_{p}(2)\equiv \sum _{k=\lfloor {\frac {p}{10}}\rfloor +1}^{\lfloor {\frac {2p}{10}}\ rfloor }{\frac {1}{k}}+\sum _{k=\lfloor {\frac {3p}{10}}\rfloor +1}^{\lfloor {\frac {4p}{10}} \rgolv }{\frac {1}{k}}{\pmod {p}}.

[9]

2q_{p}(2)\equiv \sum _{k=\lfloor {\frac {p}{6}}\rfloor +1}^{\lfloor {\frac {p}{3}}\ rfloor }{\frac {1}{k}}{\pmod {p}}.

[10] [11]

Komplexiteten i Eisensteins jämförelser ökar när basen av Fermats partialer växer, de första exemplen är:

-3q_{p}(3)\equiv 2\sum _{k=1}^{\lfloor {\frac {p}{3}}\rfloor }{\frac {1}{k}}{ \pmod{p}}.

[12]

-5q_{p}(5)\equiv 4\sum _{k=1}^{\lfloor {\frac {p}{5}}\rfloor }{\frac {1}{k}}+ 2\summa _{k=\lgolv {\frac {p}{5}}\rgolv +1}^{\lgolv {\frac {2p}{5}}\rgolv }{\frac {1}{k} }{\pmod{p}}.

[13]

Generaliserade Wieferich-primtal

Om q p ( a ) ≡ 0 (mod p ), då a p −1 ≡ 1 (mod p 2 ). Primtal för vilka detta är sant för a = 2 kallas Wieferich-primtal . I ett mer allmänt fall kallas de Wieferich-primtal med en primtalsbas a. Kända lösningar q p ( a ) ≡ 0 (mod p ) för litet a : [2]

a	sid	OEIS -sekvens
2	1093, 3511	A001220
3	11, 1006003	A014127
5	2, 20771, 40487, 53471161, 1645333507, 6692367337, 188748146801	A123692
7	5, 491531	A123693
elva	71
13	2, 863, 1747591	A128667
17	2, 3, 46021, 48947, 478225523351	A128668
19	3, 7, 13, 43, 137, 63061489	A090968
23	13, 2481757, 13703077, 15546404183, 2549536629329	A128669

Den minsta lösningen q p ( a ) ≡ 0 (mod p ) med a = n:te primtal

1093, 11, 2, 5, 71, 2, 2, 3, 13, 2, 7, 2, 2, 5, … sekvens A174422 i OEIS .

Ett par ( p , r ) av primtal så att q p ( r ) ≡ 0 ( mod p ) och q r ( p ) ≡ 0 ( mod r ) kallas ett Wieferich - par .

Anteckningar

↑ Weisstein, Eric W. Fermat Quotient på Wolfram MathWorld- webbplatsen .
↑ 1 2 Fermat-kvot i den primära ordlistan
↑ Paulo Ribenboim , 13 föreläsningar om Fermats sista sats (1979), särskilt sidorna 152, 159-161.
↑ Paulo Ribenboim , Mina siffror, mina vänner: Populära föreläsningar om talteori (2000), s. 216.
↑ Gotthold Eisenstein , "Neue Gattung zahlentheoret. Funktionen, die v. 2 Elementen abhangen und durch gewisse lineare Funktional-Gleichungen definirt were," Bericht über die zur Bekanntmachung geeigneten Verhandlungen der Königl. Tryck. Akademie der Wissenschaften zu Berlin 1850, 36-42
↑ Dmitry Mirimanoff , "Sur la congruence ( r p − 1 − 1): p = qr(mod p )," Journal für die reine und angewandte Mathematik 115 (1895): 295-300
↑ Paul Bachmann , Niedere Zahlentheorie , 2 vols. (Leipzig, 1902), 1:159.
↑ James Whitbread Lee Glaisher , "Om resterna av r p - 1 till Modulus p 2 , p 3 , etc.", Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics 32 (1901): 1-27.
↑ Ladislav Skula, "En anteckning om vissa relationer bland speciella summor av reciproka modulo p ," Mathematica Slovaca 58 (2008): 5-10.
↑ Emma Lehmer, "On Congruences involving Bernoulli Numbers and the Quotients of Fermat and Wilson," Annals of Mathematics 39 (1938): 350–360, s. 356ff.
↑ Karl Dilcher och Ladislav Skula, "Ett nytt kriterium för det första fallet av Fermats sista sats," Mathematics of Computation 64 (1995): 363-392.
↑ James Whitbread Lee Glaisher , "A General Congruence Theorem relating to the Bernoullian Function," Proceedings of the London Mathematical Society 33 (1900-1901): 27-56, på s. 49-50.
↑ Mathias Lerch , "Zur Theorie des Fermatschen Quotienten…," Mathematische Annalen 60 (1905): 471-490.

Länkar

Gottfried Helms. Fermat-/Euler-kvotienter ( a p -1 – 1)/ p k med godtycklig k .
Richard Fischer. Fermatkvoter B^(P-1) == 1 (mod P^2) .