Globala fältet

Ett globalt fält är ett fält av en av två typer:

fältet för algebraiska tal , det vill säga en ändlig förlängning av fältet för rationella tal , $\mathbb {Q}$

eller

globalt fält av funktioner , det vill säga fältet av funktioner på en algebraisk kurva över ett ändligt fält , eller motsvarande, en ändlig förlängning - fält av rationella funktioner av en variabel över ett ändligt fält av element. $\mathbb {F} _{q}(T)$ $\mathbb {F} _{q}$ $q$

En axiomatisk karakterisering av sådana fält genom exponentteori gavs av Emil Artin och George Voples 1940. [ett]

Definition

Det globala fältet är ett av följande fält:

Fält med algebraiska tal

Fältet av algebraiska tal är en finit förlängning (och därmed en algebraisk förlängning ) av det rationella talfältet . Således är ett fält som innehåller , och har ändlig dimension som ett vektorutrymme över . $F$ $\mathbb {Q}$ $F$ $\mathbb {Q}$ $\mathbb {Q}$

Funktionsfält på en algebraisk kurva över ett ändligt fält

Funktionsfältet på en sort är mängden av alla rationella funktioner på denna sort. På en algebraisk kurva (det vill säga på ett endimensionellt grenrör ) över ett ändligt fält, säger vi att en rationell funktion på en öppen affin delmängd definieras som förhållandet mellan två polynom i en affin koordinatring , och vi anser att alla två sådana funktioner är ekvivalenta om de sammanfaller i deras skärningspunkt öppna affina uppsättningar. Detta definierar tekniskt rationella funktioner som relationsfältet för affina koordinatringar för alla affina delmängder, eftersom hela uppsättningen av alla sådana delmängder är tät. $V$ $U$ $U$ $V$

Analogi mellan två klasser av fält

Det finns ett antal formella likheter mellan de två typerna av fält. Oavsett fälttyp är alla dess kompletteringar lokalt kompakta fält (se lokalt fält ). Varje fält av vilken typ som helst kan realiseras som ett relationsfält för en Dedekind -ring, där varje ideal som inte är noll har ett ändligt index. I varje fall finns det en "produktformel" för element som inte är noll : $x$

\prod \limits _{v}|x|_{v}=1.\

Analogin mellan de två typerna av fält har varit en stark drivkraft inom algebraisk talteori . Idén om en analogi mellan algebraiska talfält och en Riemann-yta går tillbaka till Dedekind och Weber på artonhundratalet. En striktare analogi, uttryckt av idén om ett globalt fält, där aspekten av Riemannytan som en algebraisk kurva avbildad till kurvor definierade över ett ändligt fält, skapades på 1930-talet, vilket ledde till Riemann-hypotesen för kurvor över finita fält , underbyggd av Weil 1940 år. Terminologin kan vara relaterad till Weil, som skrev sin Basic Number Theory (1967) delvis för att utveckla en analogi.

Det är i allmänhet lättare att arbeta när det gäller ett funktionsfält och sedan försöka utveckla en liknande teknik på den numeriska fältsidan. Ett dramatiskt exempel är utvecklingen av Arakelovs teori och dess användning av Faltings i hans bevis på Mordell-förmodan . Analogin påverkade också utvecklingen av Iwasawas teori och dess huvudhypotes . I beviset på det grundläggande lemmat använde Langlands-programmet också metoder som reducerade talfältet till fallet med ett funktionsfält.

Satser

Minkowski-Hasse teorem

Minkowski-Hasse-satsen är ett fundamentalt resultat inom talteorin som säger att två kvadratiska former över ett globalt fält är ekvivalenta om och endast om de är ekvivalenta över lokala fält, det vill säga ekvivalenta i någon komplettering av fältet.

Artins lag om ömsesidighet

Artins lag om ömsesidighet innebär en beskrivning av abelianiseringen av den absoluta Galois-gruppen i det globala fältet , som bygger på Hasses princip . Det kan beskrivas i termer av kohomologi enligt följande: $K$

Låt vara en Galois-förlängning av ett lokalt fält med Galois-gruppen . Sedan beskriver den lokala ömsesidighetslagen den kanoniska isomorfismen $L_{v}/K_{v}$ $G$

\theta _{v}:K_{v}^{\times }/N_{L_{v}/K_{v))(L_{v}^{\times })\to G^{\mathrm {ab}},

som kallas den lokala Artin-symbolen . [2] [3]

Låt vara Galois förlängning av det globala fältet, och vara klassgruppen av ideles . Mappningar för olika kan sättas samman till en enda global symbol genom produkten av lokala komponenter i idelklassen. Ett av påståendena i Artins lag om "ömsesidighet" är att detta leder till en kanonisk isomorfism [4] [5] $L/K$ $C_{L}$ $L$ ${\displaystyle \theta _{v))$ $K_{v}$

Anteckningar

↑ Artin & Whaples, 1945 och Artin & Whaples, 1946
↑ Serre (1967) s.140
↑ Serre (1979) s.197
↑ Neukirch (1999) s.391
↑ Jurgen Neukirch , Algebraische Zahlentheorie , Springer, 1992, sid. 408. Faktum är att en mer exakt version av ömsesidighetslagen håller reda på förgreningen.

Länkar

Artin, Emil & Whaples, George (1945), Axiomatisk karakterisering av fält genom produktformeln för värderingar , Bull. amer. Matematik. soc. T. 51: 469–492 , DOI 10.1090/S0002-9904-1945-08383-9
Artin, Emil & Whaples, George (1946), En anteckning om axiomatisk karakterisering av fält , Bull. amer. Matematik. soc. T. 52: 245–247 , DOI 10.1090/S0002-9904-1946-08549-3
JWS Cassels , "Global fields", i JWS Cassels och A. Frohlich (red), Algebraic number theory , Academic Press , 1973. Kap.II, pp. 45-84.
JWS Cassels, "Local fields", Cambridge University Press , 1986, ISBN 0-521-31525-5 . P.56.
Neukirch, Jürgen ; Schmidt, Alexander & Wingberg, Kay (2008), Cohomology of Number Fields , vol. 323 (andra upplagan), Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften , Berlin: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-37888-4