Periodisk sekvens

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 13 januari 2022; kontroller kräver 4 redigeringar .

En periodisk sekvens är en sekvens där samma element upprepas om och om igen:

a_{1},a_{2},\dots,a_{p},\,a_{1},a_{2},\dots,a_{p},\,a_{1},a_{ 2},\dots ,a_{p},\dots

Antalet p av upprepade element kallas perioden [1] .

Definition

En periodisk sekvens (med period p) eller p - periodisk sekvens är en sekvens som uppfyller relationen för alla värden på n [1] [2] [3] [4] [5] . Om en sekvens ses som en funktion vars domän är mängden naturliga tal , så är en periodisk sekvens bara en speciell typ av periodisk funktion . Det minsta p för vilket en periodisk sekvens är p - periodisk kallas dess minsta period [1] [6] . $a_{1},a_{2},a_{3},\dots$ $a_{n+p}=a_{n}$

Exempel

Varje konstant funktion är 1 -periodisk [4] .

Sekvensen är periodisk med den minsta perioden 2 [2] . $1,2,1,2,1,2,\dots$

Siffersekvensen i decimalrepresentation 1/7 är en periodisk sekvens med en period på 6:

{\frac {1}{7}}=0{,}142857\,142857\,142857\,\ldots

I allmänhet är siffrorna i decimalrepresentationen av vilket rationellt tal som helst periodisk (se nedan) [7] .

Ordningsföljden av potenser −1 är periodisk med period två:

-1,1,-1,1,-1,1,\ldots

I allmänhet är sekvensen av makter för varje enhetsrot periodisk. Detsamma gäller för krafterna för alla element av ändlig ordning i gruppen .

En periodisk punkt för en funktion f : X → X är en punkt x vars bana

x,\,f(x),\,f(f(x)),\,f^{3}(x),\,f^{4}(x),\,\ldots

är en periodisk sekvens. Här menas den n -faldiga sammansättningen av funktionen f applicerad på x [6] . Periodiska poäng spelar en viktig roll i teorin om dynamiska system . Varje funktion från en ändlig mängd till sig själv har en periodisk punkt. Att hitta en cykel är en algoritmisk uppgift att hitta en sådan punkt. $f^{n}(x)$

Identiteter

Delsummor

\sum _{n=1}^{kp+m}a_{n}=k\cdot \sum _{n=1}^{p}a_{n}+\summa _{n=1} ^{m}a_{n}

Där k och m<p är naturliga tal.

Delverk

\prod _{n=1}^{kp+m}a_{n}=({\prod _{n=1}^{p}a_{n)))^{k}\cdot \prod _{n=1}^{m}a_{n}

Där k och m<p är naturliga tal.

Periodiska 0, 1 sekvenser

Vilken periodisk sekvens som helst kan konstrueras genom elementvis addition, subtraktion, multiplikation och division av periodiska sekvenser bestående av nollor och ettor. Periodiska sekvenser av nollor och ettor kan uttryckas i termer av summor av trigonometriska funktioner:

\sum _{k=1}^{1}\cos(-\pi {\frac {n(k-1)}{1)))/1=1,1,1,1,1, 1,1,1,1...

\sum _{k=1}^{2}\cos(2\pi {\frac {n(k-1)}{2)))/2=0,1,0,1,0, 1,0,1,0...

\sum _{k=1}^{3}\cos(2\pi {\frac {n(k-1)}{3)))/3=0,0,1,0,0, 1,0,0,1,0,0,1,0,0,1...

...

\sum _{k=1}^{N}\cos(2\pi {\frac {n(k-1)}{N)))/N=0,0,0...,1

sekvens med period N

Generaliseringar

En sekvens är i slutändan periodisk om den kan göras periodisk genom att kassera någon ändlig uppsättning termer från början. Till exempel är siffrorna i decimalrepresentationen av talet 1/56 i slutändan periodisk:

1/56 = 0,017 857142 857142 857142 ... [1] .

En sekvens är asymptotiskt periodisk om dess termer tenderar till en periodisk sekvens. Det vill säga, en sekvens är asymptotiskt periodisk om det finns en periodisk sekvens för vilken $x_{1},x_{2},x_{3},\dots$ $a_{1},a_{2},a_{3},\dots$

\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}-a_{n}=0.

[4] [8] [9]

Till exempel sekvensen

1/3, 2/3, 1/4, 3/4, 1/5, 4/5, ...

är asymptotiskt periodisk, eftersom dess termer tenderar till den periodiska sekvensen 0, 1, 0, 1, 0, 1, ...

Anteckningar

↑ 1 2 3 4 Slutligen periodisk sekvens - Encyclopedia of Mathematics . encyclopediaofmath.org (7 februari 2011). Hämtad 13 augusti 2021. Arkiverad från originalet 11 december 2021. (obestämd)
↑ 1 2 Weisstein, Eric W. Periodic Sequence . mathworld.wolfram.com . Hämtad 13 augusti 2021. Arkiverad från originalet 13 augusti 2021.
↑ Bosma, Wieb Komplexitet av periodiska sekvenser . www.math.ru.nl. _ Hämtad 13 augusti 2021. Arkiverad från originalet 17 februari 2022. (obestämd)
↑ 1 2 3 Janglajew, Schmeidel, 2012 , sid. 195.
↑ Menezes, van Oorschot, Vanstone, 2018 .
↑ 1 2 Weisstein, Eric W. Minsta period . mathworld.wolfram.com . Hämtad 13 augusti 2021. Arkiverad från originalet 13 augusti 2021.
↑ Hosch, William L. Rationellt nummer . Encyclopedia Britannica (1 juni 2018). Hämtad 13 augusti 2021. Arkiverad från originalet 11 december 2021.
↑ Cheng, 2017 .
↑ Shlezinger, Todros, 2019 , sid. 260–271.

Litteratur

Klara Janglajew, Ewa Schmeidel. Periodicitet för lösningar av icke-homogena linjära differensekvationer // Advances in Difference Equations. - 2012. - November ( vol. 2012 , nummer 1 ). — ISSN 1687-1847 . doi : 10.1186 / 1687-1847-2012-195 .
Alfred J. Menezes, Paul C. van Oorschot, Scott A. Vanstone. Handbok för tillämpad kryptografi . - CRC Press, 2018. - ISBN 978-0-429-88132-9 .
Sui Sun Cheng. Nya utvecklingar i differensekvationer och tillämpningar: Proceedings of the Third International Conference on Difference Equations . - Routledge, 2017. - ISBN 978-1-351-42880-4 .
Nir Shlezinger, Koby Todros. Prestandaanalys av LMS-filter med icke-Gaussiska cyklostationära signaler // Signalbehandling. - 2019. - Januari ( vol. 154 ). — ISSN 0165-1684 . - doi : 10.1016/j.sigpro.2018.08.008 . - arXiv : 1708.00635 .

Sekvenser och rader
Sekvenser	Numerisk sekvens Grundläggande sekvens Linjär återkommande sekvens Fibonacci-siffror lockiga siffror Faktoriell Barker-sekvens de bruijn sekvens
Rader, grundläggande	Radsumma Resten av raden Villkorlig konvergens Omväxlande serie Rad flersektion
Nummerserier ( operationer med nummerserier )	harmonisk serie Leibniz-serien En serie omvända kvadrater En serie ömsesidiga primtal Dirichlet rad Mercator-serien Rad Grandi 1 - 2 + 3 - 4 + ... 1 + 2 + 3 + 4 + ...
funktionella rader	Taylor-serien Laurent-serien Fourier-serier Trigonometrisk Fourier-serie trigonometrisk serie Wiener-serien
Andra radtyper	Neumann-serien Puiseux rad