Tetraedriskt nummer

Tetraedriska tal , även kallade triangulära pyramidal tal , är figurativa tal som representerar en pyramid , vid vars bas ligger en regelbunden triangel . Det tetraedriska talet i te ordningen definieras som summan av de första triangulära talen : $n$ $\Delta _{n}$ $n$

{\displaystyle \Delta _{n}=T_{1}+T_{2}+\dots +T_{n))

Början av en sekvens av tetraedriska tal:

1, 4 , 10 , 20 , 35 , 56 , 84 , 120 , 165, 220, 286, 364, 455, 560, 680, 816, 969, … ( OEIS -sekvens A000292 ).

Formel

Den allmänna formeln för det tetraedriska numret är: $n$

\Delta _{n}={\frac {n(n+1)(n+2)}{6)).

Formeln kan också uttryckas i termer av binomialkoefficienter :

\Delta _{n}=C_{n+2}^{3}={\binom {n+2}{3)).

Egenskaper

De tetraedriska siffrorna är i den fjärde positionen av varje rad i Pascals triangel .

Endast tre tetraedriska tal är kvadrattal :

\Delta _{1}=1^{2}=1

\Delta _{2}=2^{2}=4

\Delta _{48}=140^{2}=19600

Fem tetraedriska tal är triangulära samtidigt (sekvens A027568 i OEIS ):

\Delta _{1}=T_{1}=1

\Delta _{3}=T_{4}=10

\Delta _{6}=T_{15}=120

\Delta _{20}=T_{55}=1540

\Delta _{34}=T_{119}=7140

Det enda pyramidal som är både kvadratiskt och kubiskt är talet 1.

Det syns att:

{\displaystyle \Delta _{5}=\Delta _{1}+\Delta _{2}+\Delta _{3}+\Delta _{4))

Serien av reciproka tetraedriska nummer är teleskopisk och konvergerar därför:

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{\Delta _{n))}=\summa _{n=1}^{\infty }{\frac {6 }{n(n+1)(n+2)}}={\frac {3}{2}}.

En av Pollocks "gissningar " (1850): varje naturligt tal kan representeras som summan av högst fem tetraedriska tal. Det har ännu inte bevisats, även om det har testats för alla siffror mindre än 10 miljarder [1] [2] .

Multidimensionell generalisering

Tredimensionella tetraedriska tal kan generaliseras till fyra eller fler dimensioner, liknande övergången från triangulära tal till tetraedriska tal. En analog av tetraedriska tal i det dimensionella rummet är " simplexa tal", även kallade hypertetraedriska [3] : $d$

S_{n}^{[d]}={\frac {(n-1+d)!}{(n-1)!\ d!))={\frac {\prod _{k= 0}^{d-1}(n+k)}{d!}}.

Deras speciella fall är:

$S_{n}^{[2]}$ är triangulära tal .
$S_{n}^{[3]}$ är tetraedriska tal .
$S_{n}^{[4]}$ är pentatopnummer .

Anteckningar

↑ Deza E., Deza M., 2016 , sid. 239.
↑ Frederick Pollock. Om utvidgningen av principen för Fermats sats om de polygonala talen ultimat till den högre ordningen av serier vars skillnader är konstanta. Med en ny sats föreslagen, tillämplig på alla beställningar // Abstracts of the Papers Communicated to the Royal Society of London: journal. - 1850. - Vol. 5 . - P. 922-924 . — .
↑ Deza E., Deza M., 2016 , sid. 126-134.

Litteratur

Vilenkin N. Ya., Shibasov L. P. Shibasova 3. F. Bakom sidorna i en lärobok i matematik: Aritmetik. Algebra. Geometri . - M . : Utbildning, 1996. - S. 30 . — 320 s. — ISBN 5-09-006575-6 .
Glazer G.I. Matematikens historia i skolan . - M . : Utbildning, 1964. - 376 sid.
Deza E., Deza M. Lockiga siffror. - M. : MTSNMO, 2016. - 349 sid. — ISBN 978-5-4439-2400-7 .

Länkar

lockiga siffror
Weisstein, Eric W. Tetrahedral Number (engelska) på Wolfram MathWorld- webbplatsen .
Geometriskt bevis på den tetraedriska nummerformeln av Jim Delany, The Wolfram Demonstrations Project .
Om förhållandet mellan dubbla summeringar och tetraedriska tal av Marco Ripà

lockiga siffror

platt

Klassisk polygonal	triangulär Fyrkant Femsidig Hexagonal Heptagonal Åttkantig Dodecagonal
Centrerad	triangulär Fyrkant Femsidig Hexagonal Heptagonal Åttkantig Niovinklad Dekagonal

Pyramidformad	tetraedrisk Fyrkantig pyramidform
mångfasetterad	kubisk Oktaedral Dodekaedral icosahedral Stellad oktaedral

mångfasetterad	Pentatopisk Bisquare