Birch-Swinnerton-Dyer-hypotes

Birch-Swinnerton-Dyer- hypotesen  är en matematisk hypotes om egenskaperna hos elliptiska kurvor , ett av Millenniumproblemen , för vars lösning Clay Institute erbjöd ett pris på 1 miljon dollar.

I jakten på ett svar på frågan under vilka förhållanden diofantiska ekvationer i form av algebraiska ekvationer har lösningar i heltal och rationella tal [1] ,  föreslog Brian Birch och Peter Swinnerton-Dyer i början av 1960-talet att rangen för en elliptisk kurva över ett fält är lika med ordningen av noll Hasse-Weyl zetafunktioner vid punkten . Mer exakt säger gissningen att det finns en icke-nollgräns där värdet beror på fina aritmetiska invarianter av kurvorna. Baserat på data från numeriska experiment, antogs det [2] att asymptotiken är sann

där  är antalet heltalspunkter på kurvan med rang modulo ,  är en konstant.

Gissningar är det enda relativt enkla allmänna sättet att beräkna rangen av elliptiska kurvor .

De viktigaste resultaten

År 1977 bevisade John Coates och Andrew Wiles påståendet, vilket är sant för en stor klass av elliptiska kurvor, att om kurvan innehåller oändligt många rationella punkter, då .

1986 visade Benedict Gross och Don Zagier att om en modulär elliptisk kurva har en första ordningens noll vid , då har den en rationell punkt av oändlig ordning ( Gross-Zagiers sats );

1989 visade Viktor Kolyvagin att en modulär elliptisk kurva för vilken inte är lika med noll har rang 0, och en modulär elliptisk kurva för vilken har en första ordningens noll vid s = 1 har rang 1.

1991 visade Karl Rubin att för elliptiska kurvor definierade över ett imaginärt kvadratiskt fält med komplex multiplikation med , om -serien av den elliptiska kurvan är icke-noll vid s = 1, då hade p-delen av Tate-Shafarevich-gruppen den förutspådda beställning av björkförmodan och Swinnerton-Dyer för alla primtal .

År 1999 bevisade Christoph Breuil , Brian Conrad , Fred Diamond och Richard Taylor modularitetssatsen (att alla elliptiska kurvor definierade över rationella tal är modulära), detta utökar resultaten #2 och #3 till alla elliptiska kurvor över rationella tal och visar att -funktioner för alla elliptiska kurvor över definieras för s = 1.

År 2015 bevisade Arul Shankar och Manjul Bhargava att den genomsnittliga rangordningen för Mordell–Weil-gruppen för en elliptisk kurva över är gränsad ovanför av 7/6.

Anteckningar

  1. ↑ Stuart, 2015 , sid. 360.
  2. ↑ Birch-Swinnerton-Dyer, 1965 .

Litteratur