Hasse-Weil zeta-funktion

Hasse-Weyl zeta-funktionen är en analog till Riemann zeta-funktionen , som är byggd på ett mer komplext sätt från antalet punkter i grenröret i ett ändligt fält. Detta är en komplex analytisk funktion, för elliptiska kurvor är dess beteende nära punkt 1 nära relaterat till gruppen av rationella punkter i denna elliptiska kurva.

Hasse-Weyl zeta fungerar som en global L-funktion

Hasse-Weyl zeta-funktionen, kopplad till en algebraisk variant definierad över ett algebraiskt talfält , är en av de två viktigaste typerna av L-funktioner . Sådana L -funktioner kallas globala , eftersom de definieras som Euler-produkten av lokala zetafunktioner . De bildar en av de två huvudklasserna av globala L - funktioner, och den andra är L -funktionerna associerade med automorfa representationer . Det antas hypotetiskt att det bara finns en väsentlig typ av global L -funktion med två beskrivningar (en av dem kommer från en algebraisk variant, den andra från en automorf representation); detta skulle vara en bred generalisering av Taniyama-Shimura-förmodan , det mest djupgående och senaste resultatet (från och med 2009) inom talteorin . $V$ $K$

Beskrivningen av Hasse-Weil zeta-funktionen upp till ett ändligt antal faktorer av dess Euler-produkt är relativt enkel. Detta kom från de första övervägandena av Hasse och Weyl , motiverat av fallet där är den enda punkten och Riemann zeta-funktionen. $V$

Om vi tar fallet att u är en icke- singular projektiv varietet , kan vi överväga moduloreduktion för nästan alla primtal , det vill säga en algebraisk variation över ett ändligt fält . För nästan alla kommer det att vara icke-speciellt. Vi definierar Dirichlet -serien som en komplex variabel som är den oändliga produkten över alla primtal av de lokala zetafunktionerna . Sedan , enligt vår definition, är väl definierad endast upp till multiplikation med en rationell funktion av till i ett ändligt antal argument av formen . $K=\mathbb {Q}$ $V$ $sid$ $V$ $sid$ $V_{p}$ $\mathbb {F} _{p}$ $sid$ $V_{p}$ $Z_{V/\mathbb {Q} }(s)$ $s$ $\zeta _{V,p}(p^{-s})$ $Z(s)$ ${\displaystyle p^{-s))$

Eftersom denna obestämbarhet är relativt ofarlig och har en meromorf förlängning överallt, finns det en mening där egenskaperna är väsentligen oberoende av den. I synnerhet, även om den exakta formen av den funktionella ekvationen för , definitivt kommer att bero på de saknade faktorerna, kommer förekomsten av en sådan funktionell ekvation inte att bero på dessa faktorer. $Z(s)$ $Z(s)$

En tydligare definition av Hasse-Weil zeta-funktionen möjliggjordes av utvecklingen av étale kohomologi ; de förklarar snyggt vad man ska göra med de saknade faktorerna med dålig reduktion. Enligt de allmänna principerna som ses i förgreningsteorin har primtal med dålig reduktion god information ( ledarteori ). Detta visar sig i teorin om étales i Ogg-Neron-Shafarevich-kriteriet för god reduktion , nämligen att det i en viss mening finns en bra reduktion i alla primtal för vilka Galois-representationen på gruppens étale-kohomologi är oframifierad . För dem kan definitionen av den lokala zetafunktionen återställas i termer av det karakteristiska polynomet där Frobenius-endomorfismen är för . Vad som händer när förgrenad är något som är icke-trivialt i tröghetsgruppen . För sådana primtal måste definitionen korrigeras genom att ta den största kvoten av representationen som tröghetsgruppen verkar på av den triviala representationen . Med denna förfining kan definitionen framgångsrikt uppgraderas från nästan alla till alla involverade i Euler-produkten. Konsekvenser från den funktionella ekvationen utvecklades av Serre och Deligne i slutet av 1960-talet; den funktionella ekvationen i sig har inte bevisats alls. $sid$ $\rho$ $V$ $\rho (\operatörsnamn {Frob} (p)),$ $\operatorname {Frob} (p)$ $sid$ $sid$ $\rho$ $I(p)$ $\rho$ $Z(s)$ $sid$ $sid$

Exempel: elliptisk kurva över fältet för rationella tal

Låta vara en elliptisk kurva över c ledare , och vara ett godtyckligt primtal. Sedan har den en bra reduktion för alla , inte dividerande , har en multiplikativ reduktion om den delar men inte delar , och har en additiv reduktion i andra fall (det vill säga om den delar ). Sedan tar Hasse-Weil zeta-funktionen formen $E$ $\mathbb {Q}$ $N$ $sid$ $E$ $sid$ $N$ $sid$ $N$ $p^{2}$ $N$ $p^{2}$ $N$ $E$

Z_{E/\mathbb {Q} }(s)={\frac {\zeta (s)\zeta (s-1)}{L(s,E))).\,

Här är den vanliga Riemann zeta-funktionen, och kallas L - funktionen , som har formen $\zeta (s)$ $L(s,E)$ $E/\mathbb {Q}$

L(s,E)=\prod \limits _{p}L_{p}(s,E)^{-1}\,

var för givet , $sid$

L_{p}(s,E)={\begin{cases}(1-a_{p}p^{-s}+p^{1-2s}),&{\text{ if }} p\nmid N\\(1-a_{p}p^{-s}),&{\text{ if }}p\mid N{\text{ och }}p^{2}\nmid N\\ 1,&{\text{ if }}p^{2}\mid N\end{cases}}

där, i fallet med en bra reduktion , och i fallet med en multiplikativ reduktion , beroende på om eller skiljs åt av en icke-delad multiplikativ reduktion i . $a_{p}=p+1-{\text{antal punkter i }}E{\bmod {p}}$ $a_{p}=\pm 1$ $E$ $sid$

Hasse-Weyls hypotes

Hasse-Weil gissningen säger att Hasse-Weil zeta-funktionen måste utvidgas analytiskt till en meromorf funktion på hela det komplexa planet och måste uppfylla en funktionell ekvation som liknar den funktionella ekvationen för Riemanns zeta-funktion. För elliptiska kurvor över rationella tal följer Hasse-Weil-förmodan från modularitetsteoremet .

Se även

Aritmetisk zeta-funktion

Litteratur

Koblitz N. Introduktion till elliptiska kurvor och modulära former. - Novokuznetsk: IO NFMI, 2000. - S. 99. - 312 sid. - ISBN 5-8032-3325-0 .
[lör. verk redigerade av J. Berstein och St. Gelbart Introduction to the Langlands Program] = An Introduction to the Langlands Program. - Moskva, Izhevsk: Forskningscentrum "Regular and Chaotic Dynamics", 2008. - P. 118. - 368 s. — ISBN 978-5-93972-697-9 .

L -funktioner i talteorin
Analytiska exempel	Riemann zeta funktion L -Dirichlet funktioner L -funktioner av Hecke-karaktärer Automorfa L -funktioner Selberg klass
Algebraiska exempel	Dedekind zeta-funktioner Artin L -funktioner Hasse-Weyl L -funktioner Motiv L -funktioner
Satser	Analytisk formel för antalet klasser Riemann-von Mangoldt formel Weils hypoteser
Analytiska hypoteser	Riemanns hypotes Generaliserade Riemann-hypoteser Lindelöf hypotes Ramanujans hypotes Artins hypotes
Algebraiska gissningar	Birch-Swinnerton-Dyer-hypotes Delignes gissning Beilinsons hypoteser Bloch-Kato gissningar Langlands hypotes
p - adic L -funktioner	Huvudhypotesen för Iwasawa-teorin Selmer Group Euler system