Dirichlet L-funktion

Dirichlet L - funktionen är en komplex funktion som ges vid(vidi fallet med huvudtecknet) av formeln $L_{{\chi }}(s)$ $\operatörsnamn {Re}\,s>0$ $\operatörsnamn {Re}\,s>1$

L_{{\chi }}(s)=\summa _{{n=1}}^{{\infty }}{\frac {\chi (n)}{n^{s}}}

där är något numeriskt tecken (modulo k ). Dirichlet-funktioner introducerades för att bevisa Dirichlets primtalssats i aritmetisk progression , vars centrala punkt är beviset på olikheten för icke-huvudtecken. $\haka)$ $L$ $L_{\chi}(1)\neq 0$

Euler-produkt för Dirichlet L-funktioner

På grund av det numeriska tecknets multiplikativitet kan Dirichlet-funktionen representeras i domänen som en Euler-produkt över primtal : $\chi$ $L$ $\operatörsnamn {Re}\,s>1$

L_{{\chi }}(s)=\prod _{{p}}\left(1-{\frac {\chi (p)}{p^{s}}}\right)^{{-1 }}

Denna formel leder till många tillämpningar av -funktioner i teorin om primtal. $L$

Relation till zeta-funktionen

$L$ Dirichlet -funktionen som motsvarar huvudtecknet modulo k är relaterad till Riemann zeta-funktionen med formeln $\zeta (s)$

L_{{\chi _{0}}}(s)=\zeta (s)\prod _{{p|k}}\left(1-{\frac {1}{p^{s}}}\ höger)

Denna formel tillåter oss att definiera för en region med en enkel pol vid punkten . $L_{{\chi _{0}}}(s)$ $Re(s)>0$ $s=1$

Funktionell ekvation

Liksom Riemann-funktionen uppfyller -funktionen en liknande funktionell ekvation. $L$

Vi definierar enligt följande: om är en gammafunktion , är ett jämnt tecken, alltså $\Lambda (\chi ,s)$ $\Gamma$ $\chi (-1)=1$

\Lambda (\chi ,s)=\pi ^{-s/2}\Gamma (s/2)L(\chi ,s)

Om är ett udda tecken, alltså $\chi (-1)=-1$

\Lambda (\chi ,s)=\pi ^{-(s+1)/2}\Gamma ((s+1)/2)L(\chi ,s)

Låt också vara Gauss summan av tecken , och för jämn och för udda . Sedan tar den funktionella ekvationen formen: $g(\chi )=\sum \limits _{k=1}^{q}\chi (k)\exp {\frac {2\pi ik}{q))$ $\chi$ ${\displaystyle \varepsilon (\chi )={\frac {g(\chi )}{\sqrt {q))))$ $\chi$ ${\displaystyle \varepsilon (\chi )=-i{\frac {g(\chi )}{\sqrt {q))))$ $\chi$

\Lambda (\chi ,s)=\varepsilon (\chi )q^{1/2-s}\Lambda ({\bar {\chi )),1-s)

Se även

Dirichlet rad

Litteratur

Galochkin A. I., Nesterenko Yu. V. , Shidlovsky A. B. Introduktion till talteori. - M . : Moscow Universitys förlag, 1984.
Karatsuba A. A. Grunderna i den analytiska teorin om tal. - 3:e uppl. — M .: URSS, 2004.

L -funktioner i talteorin
Analytiska exempel	Riemann zeta funktion L -Dirichlet funktioner L -funktioner av Hecke-karaktärer Automorfa L -funktioner Selberg klass
Algebraiska exempel	Dedekind zeta-funktioner Artin L -funktioner Hasse-Weyl L -funktioner Motiv L -funktioner
Satser	Analytisk formel för antalet klasser Riemann-von Mangoldt formel Weils hypoteser
Analytiska hypoteser	Riemanns hypotes Generaliserade Riemann-hypoteser Lindelöf hypotes Ramanujans hypotes Artins hypotes
Algebraiska gissningar	Birch-Swinnerton-Dyer-hypotes Delignes gissning Beilinsons hypoteser Bloch-Kato gissningar Langlands hypotes
p - adic L -funktioner	Huvudhypotesen för Iwasawa-teorin Selmer Group Euler system