Lokal zeta-funktion

Kongruens zeta-funktionen är en prototyp för att konstruera den viktiga Hasse-Weil L-funktionen , en serie av formen

Z(V,T)=\exp \left(\sum \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {N_{k}}{k}}T^{k}\right )

byggd på sekvensen av antalet punkter i en affin eller projektiv variation i finita fält. $N_{k}$ $V$

Lokal zeta-funktion . För det finns en analog till Riemann-hypotesen . $\zeta (X,s)=Z(X,p^{-s})$

Definition

Låta vara en affin eller projektiv variation över ett ändligt fält . Kongruens zeta-funktionen för ett grenrör definieras som en formell potensserie $V$ $\mathbb {F} _{q}$ $V$ $\mathbb {F} _{q}$

Z(V/\mathbb {F} _{q},T)=\exp \left(\sum \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {N_{k)){ k}}T^{k}\right)

där , och är antalet poäng i . Siffrorna är ändliga på grund av ändligheten hos varje affin eller projektiv variation av finita dimensioner över ett ändligt fält. $\exp(u)=\sum \limits _{k=0}^{\infty }{\frac {u^{k}}{k!)}}$ $N_{k}$ $V$ $\mathbb {F} _{q^{k))$ $N_{k}$

En lokal zeta-funktion är en funktion , här är en egenskap hos fältet , är en komplex variabel. $\zeta (X,s)=Z(X,p^{-s})$ $sid$ $\mathbb {F} _{q}$ $s\in \mathbb {C}$

Exempel

Ta ekvationen , geometriskt betyder detta att det bara är en punkt. I det här fallet, alla . Sedan $x=0$ $V$ $N_{k}=1$

Z(V,t)=\exp \left(\sum \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {T^{k}}{k}}\right)=\exp (-\ln(1-T))={\frac {1}{1-T))

Låt vara en projektiv linje över . Om , då har en punkt: alla punkter i fältet och en oändlig punkt. Följaktligen $V$ $0x=0$ $F$ $F=\mathbb {F} _{q^{k}}$ $V$ $N_{k}=q^{k}+1$

Z(V,T)=\exp \left(\sum \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {(qT)^{k)){k))+{\frac {T^{k}}{k}}\right)=\exp \left(-\ln(1-qT)-\ln(1-T)\right)={\frac {1}{(1- T)(1-qT)}}

Egenskaper

$Z(X,T)$ representeras som en oändlig produkt

Z(X,T)=\prod \limits _{x}(1-T^{\deg(x)})^{-1},

där går genom alla stängda punkter och är graden av . I fallet, som diskuterades ovan, är slutna punkter ekvivalensklasser av punkter , där två punkter är ekvivalenta om de är konjugerade över fältet . Graden är graden av expansion av fältet som genereras av koordinaterna . Då kommer den logaritmiska derivatan av den oändliga produkten att vara lika med den genererande funktionen $x$ $X$ $\deg x$ $x$ $X=V$ $x=[P]$ $P\in {\overline {V}}$ $F$ $x$ $F$ $P$ $Z(X,T)$

N_{1}+N_{2}t^{1}+N_{3}t^{2}+\cdots \,

Om är en elliptisk kurva är i detta fall zetafunktionen lika med $E$

Z(E/\mathbb {F} _{q},T)={\frac {1-2a_{E}T+qT^{2}}{(1-T)(1-qT)} }

Om , då konvergerar i en öppen cirkel med radie . ${\displaystyle (\forall k)N_{k}<CA^{k))$ $Z(T)$ $R=A^{-1}$

Om , och är motsvarande zeta-funktioner, då . ${\displaystyle N_{k}=N_{k}^{(1)}+N_{k}^{(2)))$ $Z(T),Z^{(1)}(T),Z^{(2)}(T)$ $Z(T)=Z^{(1)}(T)Z^{(2)}(T)$

Om , då . $N_{k}=\beta _{1}^{k}+...+\beta _{t}^{k}-\alpha _{1}^{k}-...-\ alfa _{s}^{k}$ $Z(T)={\frac {(1-\alpha _{1}T)...(1-\alpha _{s}T)}{(1-\beta _{1}T) ...(1-\beta _{t}T)}}$

Applikation

Hasse-Weyl L-funktionen definieras i termer av kongruens zeta-funktionen enligt följande

L(V,s)={\dfrac {\zeta (s)\zeta (s-1)}{\prod \limits _{p}Z(V/\mathbb {F} _{p}, p^{-s})}}

Riemanns gissning för kurvor över ändliga fält

Om är en projektiv icke- singular kurva över , då kan det visas att $C$ $F$

Z(C,T)={\frac {P(t)}{(1-T)(1-qT)))\ ,

där är ett polynom av grad , var är släktet för kurvan . Tänka $P(t)$ $2g$ $g$ $C$

P(t)=\prod \limits _{i=1}^{2g}(1-\omega _{i}t)\ ,

då säger Riemann-hypotesen för kurvor över ändliga fält att

{\displaystyle |\omega _{i}|=q^{1/2))

För den lokala zetafunktionen motsvarar detta uttalande det faktum att den verkliga delen av rötterna är . $\zeta (X,s)$ $1/2$

Till exempel, för en elliptisk kurva får vi fallet när det finns exakt 2 rötter, och då kan vi visa att rotens absoluta värden är lika . Detta fall motsvarar Hasses teorem om att uppskatta antalet punkter i en kurva i ett ändligt fält. ${\sqrt {q))$

Allmänna formler för zeta-funktionen

Det följer av Lefschetz spårformel för Frobenius-morfismen att

Z(X,T)=\prod \limits _{i=0}^{2\dim X}\det(1-T\operatörsnamn {Frob} _{q}|H_{c}^{i }({\överlinje {X)),{\mathbb {Q} }_{\ell }))^{(-1)^{i+1)).

Här är ett separerbart schema av ändlig typ över ett ändligt fält , och är en Frobenius geometrisk handling på kompakt stödd -adic etale kohomologi . Detta visar att den givna zetafunktionen är en rationell funktion . $X$ $\mathbb {F} _{q}$ $\operatorname {Frob} _{q}$ $\aln$ $\overline {X}$ $T$

Litteratur

Ireland K., Rosen M. En klassisk introduktion till modern talteori. — M .: Mir, 1987. — 428 sid.
Koblitz N. Introduktion till elliptiska kurvor och modulära former. — M .: Mir, 1988. — 319 sid.
Hartshorne R. Algebraisk geometri. — M .: Mir, 1981. — 597 sid.