Hasse teorem

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 1 juni 2019; kontroller kräver 14 redigeringar .

Hasses elliptiska kurvsats , även kallad Hasse-gränsen , ger en uppskattning av antalet punkter på en elliptisk kurva över ett ändligt fält , och begränsar värdena både över och under. Hasses sats är ekvivalent med att bestämma absolutvärdet av rötterna till den lokala zetafunktionen . I denna form kan det betraktas som en analog till Riemann-hypotesen för det funktionsfält som är associerat med en elliptisk kurva.

Historik

En viktig fråga i teorin om elliptiska kurvor över ändliga fält är att få fram en effektiv algoritm för att räkna antalet punkter som ligger på en given kurva. 1924 lade Emil Artin fram en gissning som begränsar antalet punkter i en elliptisk kurva över ett ändligt fält från ovan och under [1] . Denna gissning bevisades av Helmut Hasse 1933 och publicerades i en serie tidningar 1936 [2] . Därefter generaliserades resultaten av Hasses arbete av André Weil till kurvor av godtyckligt släkte och användes för att studera lokala zetafunktioner.

Uttalande av satsen

Hasses elliptiska kurvsats säger att antalet punkter på en elliptisk kurva över ett ändligt fält uppfyller olikheten . [3] [4] $N$ $\mathbb {F} _{q}$ $|N-(q+1)|\leqslant 2{\sqrt {q))$

Olikheten följer av det faktum att den skiljer sig från Antalet punkter på den projektiva linjen över samma fält, med summan av två komplexa konjugerade tal med modul . $N$ $q+1$ ${\sqrt {q))$

Bevis

Under bevisningen kommer den viktigaste rollen att spelas av den modifierade ekvationen

Y^{2}={\frac {X^{3}+aX+b}{x^{3}+ax+b}}

vars lösningar vi letar efter inom området för variabelns rationella funktioner . De två lösningarna till denna ekvation är enkla och lika ; . $x$ $X=x, Y=1$ $X=x^{p},Y=(x^{3}+ax+b)^{{(p-1)/2}}$

Adderingen av lösningar till denna ekvation sker enligt samma formler som additionen av punkter på en elliptisk kurva, det vill säga den tredje punkten väljs vid skärningspunkten mellan kurvan och den räta linjen, och resultatet blir en punkt med koordinater

X_{3}=-X_{1}-X_{2}+{\frac {Y_{2}-Y_{1}}{X_{2}-X_{1}}}(x^{3}+ax +b)

Y_{3}={\frac {Y_{2}-Y_{1}}{X_{2}-X_{1}}}(X_{3}-X_{1})+Y_{1}

Därefter konstruerar vi en oändlig sekvens av lösningar, som är en aritmetisk progression med en skillnad och en initial term $(x,1)$

(X_{0},Y_{0})=(x^{p},(x^{3}+ax+b)^{{(p-1)/2}})

Varje element i sekvensen kan representeras som en irreducerbar relation . Därefter introducerar vi en funktion lika med graden av polynomet . $X_{n}={\frac {P_{n}}{Q_{n}}}$ $d_{n}$ $P_{n}$

För beviset behöver vi fyra lemman:

Lemma 1 : $d_{{-1}}-d_{0}-1=N_{p}-s$

Bevis på Lemma 1:

Enligt additionsformlerna har vi , då noterar vi att graden av täljaren är större än graden av nämnaren med 1, eftersom , där R(x) är ett polynom av grad som inte överstiger 2p. Beräkna bråkets nämnare genom att göra nödvändiga reduktioner. Å ena sidan , å andra, som ni vet, $X_{{-1}}=-xx^{p}+{\frac {(1+(x^{3}+ax+b)^{{(p-1)/2}})^{2} (x^{3}+ax+b)}{(xx^{p})^{2}}}$ $X_{{-1}}={\frac {x^{{2p+1}}+R(x)}{(xx^{p})^{2}}}$ $(xx^{p})^{2}=(x(x-1)...(x-p+1))^{2}$

(x^{3}+ax+b)^{{(p-1)/2}}=\vänster({\frac {x^{3}+ax+b}{p}}\höger)

därför kommer endast faktorer av formen c och faktorer av formen c att falla ut ur nämnaren vid reducering . Låt vara antalet faktorer av det första slaget, och vara antalet faktorer av det andra. Sedan , och med hänsyn till det , får vi . Antalet är lika med , eftersom varje klass av rester motsvarar två lösningar, och till klassen av rester - en. Detta bevisar vad som krävs. $(xk)^{2}$ ${\frac {k^{3}+ak+b}{p}}=-1$ $(xl)$ $l^{3}+al+b=0$ $m$ $n$ $d_{{-1}}=2p-2m-n+1$ $d_{0}=s$ $d_{{-1}}-d_{0}-1=p-2m-n$ $N$ $2(pm)-n$ $k$ $l$

Lemma 2 : $d_{n}=n^{2}-(d_{{-1}}-d_{0}-1)n+d_{0}$

Bevis på Lemma 2:

Enligt huvudlemmat . Uppenbarligen, för och lemmat är sant: låt det vara sant för indexen och , . Sedan $d_{{n+2}}=2d_{{n+1}}-d_{n}+2$ $n=-1$ $n=0$ $n$ $n+1$ $n\geqslant 0$

d_{{n+2}}=2d_{{n+1}}-d_{n}+2=2((n+1)^{2}-(d_{{-1}}-d_{0} -1)(n+1)+d_{0})-n^{2}+(d_{{-1}}-d_{0}-1)n-d_{0}+2=(n+2 )^{2}-(d_{{-1}}-d_{0}-1)(n+2)+d_{0})

Lemmat är bevisat.

Lemma 3 : För alla n för vilka funktionen X n är definierad gäller olikheten Art. R n > art. Qn . _

Bevis på Lemma 3:

Vi kommer att bevisa denna ojämlikhet genom att formellt hitta värdet av funktionen vid . Låt det vara noll eller det första talet efter nästa mellanslag $X_n$ $x=\infty$ $m$ [ specificera ] , . Efter konstruktion , a ≠0. Låt oss anta motsatsen. Med tanke på att bråket måste vara en kvadrat måste skillnaden mellan graderna på täljaren och funktionen för funktionen vara ett udda tal, då tillsammans med ger . För en aritmetisk progression, $m\geqslant 0$ $X|_{{\infty }}=\infty$ $Y|_{{\infty ))$ ${\frac {X_{{n+1}}^{3}+aX_{{n+1}}+b}{x^{3}+ax+b}}$ $X_{{n+1}}$ $Y_{{n+1}}|_{\infty }=0$ $X_{{n+1}}|_{\infty }=0$

Y_{{n+1}}={\frac {1-Y_{n}}{X-X_{n}}}(x-X_{{n+1}})-1

Härifrån finner vi

{\frac {1-Y_{n}}{x-X_{n}}}(x-X_{n})|_{\infty }=1

eller

{\frac {1-Y_{n}}{1-{\frac {X_{n}}{x}}}}|_{\infty }=1

det är

{\frac {Y_{n}x}{X_{n}}}|_{\infty }=1

{\frac {Y_{n}^{2}x^{2}}{X_{n}^{2}}}|_{\infty }={\frac {(X_{n}^{3}+ aX_{n}+b)x^{2}}{(x^{3}+ax+b)X_{n}^{2}}}|_{\infty }=1

Sedan följer det att . Å andra sidan $X_{n}|_{\infty }=x|_{\infty }=\infty$ ${\frac {X_{n}}{x}}|_{\infty }=1$

X_{{n+1}}=-x-X_{n}+{\frac {(1-Y_{n}^{2})^{2}}{(x-X_{n})^{2 }}}(x^{3}+ax+b)

Härifrån finner vi

{\frac {X_{n}}{x}}=-1-{\frac {X_{n}}{x}}+{\frac {(1-Y_{n}^{2})^{2 }}{(1-{\frac {X_{n}}{x}})^{2}}}(1+{\frac {a}{x^{2}}}+{\frac {b} {x^{3}}})

så

{\frac {X_{{n+1}}}{x}}|_{\infty }=-1

Men av denna jämlikhet följer det , vilket motsäger det antagande som gjorts . Lemmat är bevisat. $Y_{{n+1}}^{2}|_{\infty }$ $Y_{{n+1}}^{2}|_{\infty }=0$

Huvudlemma : . $d_{{n-1}}+d_{{n+1}}=2d_{n}+2$

Bevis på huvudlemmat:

De största svårigheterna med att bevisa satsen är koncentrerade till huvudlemmat. Låt oss gå vidare till dess bevis. för varje polynom P-symbol st. R kommer att beteckna graden av detta polynom.

Att reducera till en gemensam nämnare och samla liknande termer i lösningsadditionsformeln, finner vi

X_{{n-1}}={\frac {-(xQ_{n}+P_{n})(xQ_{n}-P_{n})^{2}+(1+Y_{n})^ {2}(x^{3}+ax+b)Q_{n}}{(xQ_{n}-P_{n})^{2}}}={\frac {(xQ_{n}+P_{ n})(xP_{n}+aQ_{n})+2bQ_{n}^{2}+2Y_{n}(x^{3}+ax+b)Q_{n}^{2}}{( xQ_{n}-P_{n})^{2}}}={\frac {S}{(xQ_{n}-P_{n})^{2}}}

Genom att multiplicera term för term de två formler som erhållits ovan och göra reduktioner får vi

X_{{n-1}}X_{{n+1}}={\frac {P_{{n-1)P_{{n+1}}}}}{Q_{{n-1}}Q_{ {n+1))))={\frac {(xP_{n}-aQ_{n})^{2}-2b(xQ_{n}+P_{n})}{(xQ_{n}-P_ {n})^{2}}}

Syftet med följande resonemang är att visa att . Av denna jämlikhet får vi direkt huvudlemmat, faktiskt, då följer det $Q_{{n-1}}*Q_{{n+1}}=(xP_{n}-aQ_{n})^{2}$

P_{{n-1}}*P_{{n+1}}=(xP_{n}-aQ_{n})^{2}-4bQ_{n}(xQ_{n}+P_{n})

betyder art. = Art. , för i kraft av Lemma 3 sammanfaller polynomets ledande term med polynomets ledande term . Låt oss nu bevisa den nödvändiga jämlikheten. $d_{{n-1}}+d_{{n+1}}=$ $(P_{{n-1}}P_{{n+1}})$ $(x^{2}P_{n}^{2})=2d_{n}+2$ $P_{{n-1}}P_{{n+1}}$ $x^{2}P_{n}^{2}$

Kom ihåg att inom polynomdomänen finns en unik faktorisering till irreducerbara faktorer. Låt vara ett irreducerbart polynom och låt vara vilket positivt heltal som helst. Vi kommer att säga att ett polynom strikt delar någon irreducible rationell funktion om dess täljare är delbar med men inte delbar med . För att bevisa den nödvändiga likheten är det nödvändigt att fastställa att om ett polynom delar sig strikt , så delar det också strikt . Faktum är att kvoten är ett polynom som är relativt primtal till polynomet (xQ_n-P_n)^2. Men eftersom det följer av ovanstående ekvation att funktionen är ett polynom, så visar det sig från de tidigare likheterna för <X_{n-1}> och <X_{n+1}> lätt att nämnarna , delar polynomet . Således kan kvoten bara vara en konstant, och denna konstant är lika med en på grund av den accepterade normaliseringen av de ledande termerna för täljarna . $E$ $e$ $E^{e}$ $E^{e}$ $E^{{e+1}}$ $E^{e}$ $(xQ_{n}-P_{n})^{2}$ $Q_{{n-1}}Q_{{n+1}}$ ${\frac {Q_{{n-1}}Q_{{n+1}}}{(xQ_{n}-P_{n})^{2}}}$ $Y_{n}(x^{3}+ax+b)Q_{n}^{2}$ $Q_{{n-1}}$ $Q_{{n+1}}$ $(xQ_{n}-P_{n})^{4}$ ${\frac {Q_{{n-1}}Q_{{n+1}}}{(xQ_{n}-P_{n})^{2}}}$ $P_{n}$

Vi delar in alla irreducibla divisorer av ett polynom i tre grupper. Den första gruppen inkluderar de polynom som delar R men inte delar S. Av detta följer omedelbart att om ett polynom delar sig strikt , så delar det strikt nämnaren och är coprime med nämnaren . Den andra gruppen inkluderar de polynom som delar S, men som inte delar R. På samma sätt visar det sig att om ett polynom strikt delar , så delar det strikt nämnaren och är coprime med nämnaren . Slutligen inkluderar den tredje gruppen de polynom som delar både R och S. Sedan $E$ $(xQ_{n}-P_{n})^{2}$ $E^{e}$ $(xQ_{n}-P_{n})^{2}$ $Q_{{n+1}}$ $Q_{{n-1}}$ $>E$ $E^{e}$ $(xQ_{n}-P_{n})^{2}$ $Q_{{n-1}}$ $Q_{{n+1}}$ $E$

P_{n}=xQ_{n}(modE)

följer det

R=2Q_{n}(1-Y_{n})(x^{3}+ax+b)(modE)

S=2Q_{n}(1+Y_{n})(x^{3}+ax+b)(modE)

Ett polynom , som delar ett polynom , kan inte dela eftersom och är coprime. Härifrån och från de sista formlerna följer att , så att om dividerar och , då strikt delar polynomet (genom antagande har detta polynom inga multipla rötter). $E$ $(xQ_{n}-P_{n})^{2}$ $Q_{n}$ $P_{n}$ $Q_{n}$ $S+R=4Q_{n}^{2}(x^{3}+ax+b)modE$ $E$ $R$ $S$ $E$ $x^{3}+ax+b$

Så, låt vara en irreducible divisor av ett polynom . Antag först att ≠±1 (per definition betyder denna notation att täljaren för den irreducerbara representationen av funktionen ±1 inte är delbar med ). Sedan följer att strikt delar , eftersom polynomet är delbart med åtminstone . På samma sätt visar det sig att delar , men sedan följer att strikt delar . $E$ $x^{3}+ax+b$ $Y_{n}$ $(läge)$ $Y_{n}$ $E$ $E$ $R$ $(xQ_{n}-P_{n})^{2}$ $E^{2}$ $E$ $S$ $E^{2}$ $(xQ_{n}-P_{n})^{2}$

Det återstår alltså att kontrollera fallet =±1 . Låt, till exempel, (den andra tolkas på liknande sätt). Sedan strikt delar . Låt strikt delar , och strikt delar . Uppenbarligen delar också funktionen strikt . Men $Y_{n}+$ $(läge)$ $Y_{n}=-1(modE)$ $E$ $S$ $E^{2}$ $(xQ_{n}-P_{n})^{2}$ $E^{{2f+1}}$ $(1+Y_{n})(X^{3}+ax+b)Q_{n}^{2}$ $E^{{2f}}$ $(1+Y_{n})^{2}(1-Y_{n})^{2}=(1-Y_{n}^{2})^{2}$

(1-Y_{n}^{2})^{2}={\frac {(x^{3}+ax-X_{n}^{2}-aX_{n}^{2})^{ 2}}{(x^{3}+ax+b)^{2}}}={\frac {(x-X_{n})^{2}(x^{2}+xX_{n}+ X_{n}^{2}+a)^{2}}{(x^{3}+ax+b)^{2}}}

Dessutom, , ≠0 , så att och därför antalet är mindre än den makt som strikt delar . Därför strikt delar . Varifrån följer att strikt delar . Q.E.D. $x=X_{n}(modE)$ $x^{2}+xX_{n}+X_{n}^{2}=3x^{2}+a$ $(läge)$ $2f=2e-2$ $2f+1=2e-1$ $E$ $(xQ_{n}+P_{n})(xQ_{n}-P_{n})^{2}$ $E^{{2e}}$ $RS$ $E^{{2e}}$ $Q_{{n-1}}Q_{{n+1}}$

Enligt Lemma 1 och 2, , och detta kvadratiska trinomium tar icke-negativa värden för alla , och kan per definition inte ha två på varandra följande nollor. Härifrån har vi att diskriminanten inte kan vara positiv, annars fanns det 2 rötter , mellan och , och tal och kan inte vara heltal samtidigt. Följaktligen, $d_{n}=n^{2}-(Np)n+p$ $n$ $a,b$ $n$ $n+1$ $ab$ $a+b$

(Np)^{2}-4p\leqslant 0

så

|Np|\leqslant 2{\sqrt {p}}

. Teoremet har bevisats.

Bevis med Frobenius-endomorfismen

Det finns ett alternativt bevis för Hasses teorem, baserat på användningen av Frobenius endomorfism .

För ett ändligt fält med algebraisk stängning introduceras en mappning: $\mathbb {F} _{q}$ ${\displaystyle {\overline {\mathbb {F} _{q))))$

${\begin{array}{lcl}\phi _{q}:{\overline {\mathbb {F} _{q))}\högerpil {\overline {\mathbb {F} _{q)) }\\\qquad x\mapsto x^{q}\end{array}}$

Den verkar på punkterna i en elliptisk kurva enligt följande: , . $E(\mathbb {F} _{q})$ $\phi _{q}(x,y)=(x^{q},y^{q})$ $\phi _{q}(\infty )=\infty$

Följande 4 lemman används för beviset.

Lemmas

Lemma 1. För en elliptisk kurva över ett fält och punkter har vi: $E(\mathbb {F} _{q})$ $\mathbb {F} _{q}$ $(x,y)\in E({\overline {\mathbb {F} _{q))})$

1) , $\phi _{q}(x,y)\in E({\overline {\mathbb {F} _{q))})$

2) om och endast om . $(x,y)\in E(\mathbb {{F}_{q}} )$ $\phi _{q}(x,y)=(x,y)$

Lemma 2. För en elliptisk kurva är kartläggningen en kurvendomorfism av grad och är inte separerbar. $E(\mathbb {F} _{q})$ ${\displaystyle \phi _{q))$ $E$ $q$ ${\displaystyle \phi _{q))$

Lemma 3. Låt en elliptisk kurva och definieras . Sedan $E(\mathbb {F} _{q})$ $n\geqslant 1$

1) , $\ker(\phi _{q}-1)=E(\mathbb {F} _{q^{n)))$

2) är en separerbar endomorfism, och därför . $\phi _{q}^{n}-1$ $|E(\mathbb {F} _{q^{n)))|=\deg(\phi _{q}^{n}-1)$

Lemma 4. Beteckna . Låta vara heltal och . Sedan . $a=q+1-|E(\mathbb {F} _{q})|=q+1-\deg(\phi _{q}-1)$ $r,s$ $\gcd(s,q)=1$ $\deg(r\phi _{q}-s)=r^{2}q+s^{2}-rsa$

Baserat på Lemma 4, och sedan , visar det sig att $\deg(r\phi _{q}-s)\geqslant 0$

q{\biggl (}{r \over s}{\biggl )}^{2}-a{\biggl (}{r \over s}{\biggl )}+1\geqslant 0

för var som helst . $r,s$ $\gcd(s,q)=1$

Mängden rationella tal , där , är tät i . Därför, betecknar , får vi ojämlikheten sann för alla verkliga . $r/s$ $\gcd(s,q)=1$ $\mathbb {R}$ $r/s=x$ $qx^{2}-ax+1\geqslant 0$ $x$

Eftersom diskriminanten av polynomet är mindre än eller lika med noll, det vill säga, vi har . $a^{2}-4q\leqslant 0$ $|a|\leqslant 2{\sqrt {q))$

Ett bevis på Hasses sats baserad på Frobenius-endomorfismen ligger också bakom Schuf-algoritmen . Denna algoritm låter dig räkna antalet poäng för en given elliptisk kurva i polynomtid.

Hasse-Weil gräns

En generalisering av Hasse-gränsen för högre släktets algebraiska kurvor är Hasse-Weil-gränsen. Låt det finnas en absolut irreducerbar icke-singular kurva av släktet över ett ändligt fält . Då uppfyller antalet punkter på denna kurva ojämlikheten $C$ $g$ $\mathbb {F} _{q}$ $\#C({\mathbb {F}}_{q})$

|\#C(\mathbb {F} _{q})-(q+1)|\leqslant 2g{\sqrt {q)).

Liksom i fallet med den vanliga Hasse-bunden är detta resultat ekvivalent med att bestämma det absoluta värdet av rötterna för kurvans lokala zetafunktion och är analogt med Riemann-hypotesen för det funktionsfält som är associerat med kurvan. I fallet med elliptiska kurvor sammanfaller Hasse-Weil-gränsen med den vanliga Hasse-gränsen, eftersom elliptiska kurvor har genus . $C$ $g=1$

Hasse-Weil-gränsen är en följd av de mer allmänna Weyl-förmodningarna för projektiva varieteter över ett ändligt fält, formulerade av André Weyl 1949 [5] och bevisade av honom för fallet med kurvor.

Applikation

Kryptografi

Kryptografi använder krypteringsalgoritmer baserade på elliptiska kurvor. Stabiliteten för dessa algoritmer är baserad på komplexiteten i att beräkna den diskreta logaritmen i en grupp av punkter på en elliptisk kurva. Eftersom det fortfarande inte finns några snabba algoritmer för att beräkna den diskreta logaritmen på en elliptisk kurva, kan användningen av elliptiska kurvor avsevärt påskynda krypteringsalgoritmer genom att minska storleken på modulen som används . Hasses sats däremot gör det möjligt att mycket noggrant bestämma storleken på det primtal som krävs för algoritmens tillräckliga komplexitet. $sid$ $q$

Anslutning med den lokala Riemann zeta-funktionen

Zetafunktionen för en elliptisk kurva över ett fält kan skrivas som $E$ $\mathbb {F} _{q}$

{\displaystyle Z_{E}(t)={1-a_{q}(E)t+qt^{2} \over (1-t)(1-qt)))

där och är antalet affinpunkter i den projektiva kurvan . Riemann-förmodan för kurvor över ändliga fält säger att alla nollor i en funktion ligger på linjen eller, på motsvarande sätt, uppfyller likheten . ${\displaystyle a_{q}=q-N_{q))$ $N_q$ $E$ $\zeta _{E}(s)=Z_{E}(q^{-s})$ $\operatorname {Re} (s)=1/2$ $|q^{s}|={\sqrt {q}}$

Det är lätt att visa att för elliptiska kurvor motsvarar denna gissning Hasses teorem. I själva verket, om , då är roten till ett kvadratiskt polynom vars diskriminant är av Hasses teorem. Detta innebär att polynomets rötter är komplexa konjugat och , vilket bevisar Riemanns hypotes. Omvänt innebär uppfyllelsen av Riemann-hypotesen likhet , vilket betyder att rötterna är komplexa konjugat, vilket betyder att diskriminanten är icke-positiv, vilket bevisar Hasses sats. $Z_{E}(q^{-s})=0$ ${\displaystyle q^{s))$ $f(u)=u^{2}-a_{q}u+q$ $a_{q}^{2}-4q\leqslant 0$ ${\displaystyle u_{1},u_{2))$ $f(u)$ $|q^{s}|=|u_{1}|=|u_{2}|={\sqrt {q))$ $|u_{1}|=|u_{2}|={\sqrt {q))$ ${\displaystyle u_{1},u_{2))$ $f(u)$

Anteckningar

↑ Artin, Emil . Quadratische Körper im Gebiete der höheren Kongruenzen. II. Analytischer Teil // Mathematische Zeitschrift : tidskrift. - Luxemburg: Springer-Verlag , 1924. - Vol. 19, nr. 1. - P. 207-246. — ISSN 0025-5874 . - doi : 10.1007/BF01181075 . — . — MR 1544652 Arkiverad 11 september 2018 på Wayback Machine .
↑ Hasse, Helmut . Zur Theorie der abstrakten elliptiska Funktionenkörper. I, II & III // Crelle's Journal : journal. - Berlin: Walter de Gruyter , 1936. - Vol. 1936, nr. 175. - ISSN 0075-4102 . - doi : 10.1515/crll.1936.175.193 . — .
↑ Hasses bestämmer sig för elliptiska kurvor över ändliga fält . PlanetMath . Hämtad 18 december 2017. Arkiverad från originalet 27 januari 2021. (obestämd)
↑ Bolotov A. A., Gashkov S. B., Frolov A. B., Chasovskikh A. A. En elementär introduktion till elliptisk kryptografi: algebraiska och algoritmiska grunder. - M . : KomKniga, 2006. - T. 1. - 328 sid. — ISBN 5-484-00443-8 .
↑ Weil, Andre . Antal ekvationslösningar i ändliga fält // Bulletin of the American Mathematical Society : journal. - N. Y .: American Mathematical Society , 1949. - Vol. 55, nr. 5. - P. 497-508. — ISSN 0002-9904 . - doi : 10.1090/S0002-9904-1949-09219-4 . — MR 0029393 Arkiverad 1 maj 2018 på Wayback Machine

Litteratur

Hurt, Norman E. (2003), Många rationella punkter. Coding Theory and Algebraic Geometry , vol. 564, Mathematics and its Applications , Dordrecht: Kluwer / Springer-Verlag , MR : 2042828 , ISBN 1-4020-1766-9
Niederreiter, Harald & Xing, Chaoping (2009), Algebraic Geometry in Coding Theory and Cryptography , Princeton: Princeton University Press , MR : 2573098 ,, ISBN 978-0-6911-0288-7
Kapitel V Silverman, Joseph H. (1994), The aritmetic of elliptic curves , vol. 106, Graduate Texts in Mathematics , New York: Springer-Verlag , MR : 1329092 , ISBN 978-0-387-96203-0
Washington, Lawrence C. (2008), Elliptiska kurvor. Number Theory and Cryptography, 2nd Ed , Discrete Mathematics and its Applications , Boca Raton: Chapman & Hall / CRC Press , MR : 2404461 ,, ISBN 978-1-4200-7146-7
Kapitel 10 Gelfand, A.O. & Linnik, Yu.V. (1962), Elementary Methods in Analytic Number Theory , Moskva: Fizmatgiz
Chahal, JS & Osserman, B. (2008), The Riemann Hypothesis for Elliptic Curves , Mathematical Association of America

Kurvor

Definitioner

Förvandlad

Icke plan

Platt
algebraisk

Koniska sektioner

3:e ordningen ( Cubic )

Elliptisk	Elliptisk kurva Jacobi elliptiska funktioner Elliptisk integral Elliptiska funktioner
Övrig	Verziera Agnesi Kartesiskt ark Maclaurin trisektor Chirnhaus Ophiurida Strofoid Halvkubisk parabel Treudd Cissoid av Diocles

4:e ordningen

Lemniskater

Approximation

Spline
- B-spline
- Kubisk
- monospline
- Glättning
- Perfekt
- Hermite
beziers

Cykloidal

Övrig

Krokig gård

Platt
transcendental

Spiraler	Archimedov Odla Galileen Hyperbolisk "trollstav" gyllene klotoid logaritmisk sinus-
Cykloidal	trochoid Cykloid Epitrochoid Epicykloid Hypotrochoid Hypocykloid Kvasitrochoid "Reste sig" quadrifolium Snabb nedstigning (brachistochrone, cykloidbåge)
Övrig	Quadratrix cochleoid jaga traktor trochoid kedjelinje inverterad välvd konstant bredd sinusformad Ribokura Super formel Superellips Reuleaux triangel polygon Lissajous siffror

fraktal

Enkel	Gilbert Gosper drakekurva Koch Avgift Minkowski Peano Sierpinsky
topologiska	Sierpinski servett Sierpinski matta Svamp Menger cirkulär fraktal Apollonius matta