Pisotnummer

Pisottalet [1] [2] (eller Pisot–Vijayaraghavantalet [3] [4] , eller PV-numret ) är vilket algebraiskt heltal som helst som är större än ett, vars moduler för alla konjugat är strikt mindre än ett. Dessa siffror upptäcktes av Axel Thue 1912 [5] , studerades av Godfrey Hardy från 1919 i samband med diofantiska approximationer [6] , men blev kända efter publiceringen av Charles Pisots avhandling 1938 [7] . Forskningen fortsatte av Thirukkannapuram Vijayaraghavan och Raphael Salem på 1940-talet.

Salem -tal är nära besläktade med Pisot- tal : detta är ett sådant tal att modulerna för alla dess konjugat inte är större än 1 och bland dem finns det en enhet.

Egenskaper

Ju större den naturliga exponenten för PV-talet är, desto mer närmar sig denna grad ett heltal. Piso bevisade att bland icke-heltals positiva algebraiska tal vars modul är större än 1, är denna egenskap exceptionell för PV-tal: om ett reellt tal är sådant att sekvensen av avstånd [8] från dess potenser till mängden heltal tillhör $\alfa >1$ $\|\alpha ^{n}\|$ $l_{2}$ [ förtydliga ] , då är ett Pisot-tal (och i synnerhet ett algebraiskt tal). $\alfa$ $\alfa$

Det minsta Pisot-talet är den enda reella roten av kubikekvationen , känt som plasttalet . [2] $x^{3}-x-1=0$

Kvadratiska irrationaliteter som är Pisot-tal:

Menande	polynom	Numeriskt värde
${\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$	$x^{2}-x-1$	1,618034… ( gyllene snittet )
$1+{\sqrt {2}}$	$x^{2}-2x-1$	2.414214... ( silversnitt )
${\frac {3+{\sqrt {5}}}{2}}$	$x^{2}-3x+1$	2.618034… A104457
$1+{\sqrt {3}}$	$x^{2}-2x-2$	2,732051… A090388
${\frac {3+{\sqrt {13}}}{2}}$	$x^{2}-3x-1$	3.302776… A098316 ( bronsektion )
$2+{\sqrt {2}}$	$x^{2}-4x+2$	3,414214…
${\frac {3+{\sqrt {17}}}{2}}$	$x^{2}-3x-2$	3.561553.. A178255 .
$2+{\sqrt {3}}$	$x^{2}-4x+1$	3,732051… A019973
${\frac {3+{\sqrt {21}}}{2}}$	$x^{2}-3x-3$	3,791288… A090458
$2+{\sqrt {5}}$	$x^{2}-4x-1$	4,236068… A098317

Anteckningar

↑ A. Egorov. Pisotnummer // Kvant . - 2005. - Nr 5 . - S. 8-13 .
A. Egorov. Pisotnummer (slut) // Kvant . - 2005. - Nr 6 . - S. 9-13 .
↑ 12 Terr , David; Weisstein, Eric W. Pisot Number (engelska) på Wolfram MathWorld- webbplatsen .
↑ V. N. Berestovsky, Yu. G. Nikonorov. Fortsatta bråk, GL(2,Z)-gruppen och Pisot-tal // Matematheskie trudy. - 2007. - T. 10 , nr 1 . — s. 97–131 .
↑ J. W. S. Cassels . Introduktion till teorin om diofantiska approximationer. — 1961.
↑ Axel Thue, "Über eine Eigenschaft, die keine transzendente Grösse haben kann", Christiania Vidensk. selsk. Skrifter, vol. 2, 1912, sid. 1-15.
↑ Godfrey H. Hardy, "A problem of diophantine approximation", Journal Ind. Matematik. Soc., vol. 11, 1919, sid. 205-243.
↑ Charles Pisot, " La repartition modulo 1 et les nombres algébriques ", Ann. Sc. norm. Super. Pisa, II, Ser. 7, 1938, sid. 205-248.
↑ Här betecknar avståndet från till , det vill säga var är bråkdelen av talet . $\|a\|$ $a$ $\mathbb {Z}$ $\min(\{a\},1-\{a\})$ ${\displaystyle \{a\))$ $a$

Algebraiska tal
Olika sorter	Algebraiska heltal Chebyshev noder Konstruktiva siffror Eisensteins helhet Gaussiska heltal Kummer ring Perron nummer Piso-Vijayaraghavan nummer Kvadratisk irrationalitet ℚ Rötter från enhet Salem nummer
Specifik	Conway konstant 3 √ 2 φ δS _ √2 _ √ 3 √5 _ 12 √ 2