Normal expansion

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 23 oktober 2017; verifiering kräver 1 redigering .

En normal förlängning är en algebraisk förlängning av ett fält för vilket varje irreducible polynom över , som har minst en rot i , sönderdelas i linjära faktorer. $K\subset E$ $f(x)$ $K$ $E$ $E$

En ekvivalent definition: Om , där är den algebraiska stängningen av fältet , då är det normalt om någon homomorfism av fältet till den algebraiska stängningen över är en automorfism av fältet . $K \delmängd E \delmängd K^*$ $K^{*}$ $K$ $E$ $\sigma$ $E$ $K^{*}$ $K$ $E$

Normal expansion som nedbrytningsfält

Varje förlängning är normal om och endast om det är ett nedbrytningsfält av någon uppsättning polynom från . $K\subset E$ $E$ $K[x]$

Normala tillägg enligt Galois

Om är en Galois förlängning av fältet , och är något mellanliggande delfält av , då Galois-gruppen består per definition av alla automorfismer av , vilket lämnar elementen fixerade. Om det är någon automorfism av hela Galois-gruppen , som kartlägger det , är det uppenbart att $F$ $K$ $E$ $K\subset E\subset F$ $\operatorname {Gal} (F/E)$ $F$ $E$ $\sigma$ $\operatorname {Gal} (F/K)$ $E$ $\sigma (E)$

${\displaystyle \operatörsnamn {Gal} (F/\sigma E)=\sigma \operatörsnamn {Gal} (F/E)\sigma ^{-1))$

Därför är en förlängning normal om och endast om undergruppen är en normal undergrupp i (därav terminologin). $E$ $\operatorname {Gal} (F/E)$ $\operatorname {Gal} (F/K)$

Litteratur

Van der Waerden B. L. Algebra. Moskva: Nauka, 1975.
Zarissky O. , Samuel P. Kommutativ algebra, volym 1. M .: IL, 1963.
Leng S. Algebra. M.: Mir, 1967.