Differentiell geometri av ytor

Ytornas differentialgeometri  är ett historiskt viktigt område för differentialgeometri .

Ytornas differentialgeometri är uppdelad i två huvudundersektioner: yttre och inre geometri. Huvudobjektet för att studera ytornas yttre geometri är släta ytor inbäddade i det euklidiska rummet, såväl som ett antal av deras generaliseringar. I inre geometri är huvudobjektet abstrakt givna ytor med olika tilläggsstrukturer, oftast den första fundamentala formen (samma som den riemannska metriken ).

Historik

Vissa egenskaper hos revolutionsytor var kända även för Arkimedes . Utvecklingen av kalkyler på 1600-talet gav mer systematiska metoder för att bevisa dem.

Krökningen av allmänna ytor studerades av Leonhard Euler ; 1760 fick han ett uttryck för en ytas normala krökningar. [1] År 1771 [2] ansåg han ytor givna i parametrisk form, introducerade begreppet superposition av ytor (isometrisk i modern terminologi); i synnerhet ansåg han ytor överlagrade på planet. Således var Euler den första att överväga den inneboende geometrin hos en yta.

Gaspard Monge övervägde asymptotiska kurvor och krökningslinjer på ytor.

Det viktigaste bidraget till teorin om ytor gjordes av Gauss i två artiklar skrivna 1825 och 1827 [3] . I synnerhet bevisade han den så kallade Theorema Egregium  - ett historiskt viktigt resultat av Gauss, som säger att den Gaussiska krökningen är en intern invariant, det vill säga en invariant under lokala isometrier . Separationen av differentialgeometri i ett separat forskningsområde är ofta förknippat med just detta teorem. [4] Han introducerade begreppet första och andra kvadratiska former . Senare härledde Karl Mikhailovich Peterson ett komplett system av ekvationer för kvadratiska ytformer.

Nyckelresultat i ytornas inneboende geometri erhölls av Ferdinand Gotlibovich Minding . I synnerhet introducerade han begreppet parallell översättning längs en kurva, som vidareutvecklades i Tullio Levi-Civitas verk .

Sedan slutet av 1800-talet har mycket uppmärksamhet ägnats problemet med isometrisk nedsänkning, ytböjning och styvhetsproblem. De viktigaste resultaten erhölls av Alexander Danilovich Alexandrov , David Gilbert , Dmitry Fedorovich Egorov , Stefan Cohn-Vossen och andra.

De metoder som utvecklats i den differentiella geometrin av ytor spelade en stor roll i utvecklingen av Riemann och Alexander geometrier .

Grundläggande begrepp

En slät inbäddad yta är det huvudsakliga studieobjektet i den differentiella geometrin hos ytor, närmare bestämt ytornas yttre geometri . Den definieras enligt följande: En delmängd av det euklidiska rummet kallas en slät inbäddad yta (mer exakt , en slät regelbunden inbäddad yta utan gräns ) om det för någon punkt finns en grannskap i det är en graf av en slät funktion i en lämpligt vald Kartesiskt koordinatsystem .

För vilken yta som helst som är inbäddad i det euklidiska rymden kan man mäta längden av en kurva på ytan, vinkeln mellan två kurvor och arean av en region på ytan. Denna struktur ges av den första fundamentala formen , dvs en 2×2 positiv-definitiv matris , som varierar jämnt från punkt till punkt i den lokala parametriseringen av ytan. Det är möjligt att abstrahera från den ursprungliga bilagan. Det vill säga, betrakta en abstrakt yta som ges av lokala koordinater med ett Riemannsk mått. Detta leder till den så kallade inre geometrin hos ytor, vidareutvecklad i Riemannsk geometri .

Krökning spelar en central roll i studiet av ytor , inklusive huvudsakliga krökningar , Gaussiska krökningar och medelkurvaturer , och tensorbeskrivningar av krökning som formoperatorn och den andra fundamentala formen .

Mycket uppmärksamhet ägnas åt andra klasser av kurvor på ytan , inklusive geodetik , asymptotiska kurvor och krökningslinjer .

De viktigaste resultaten av teorin relaterar till egenskaperna hos konvexa sadelytor , rotationsytor , ytor med konstant medelkrökning och i synnerhet minimala ytor .

• Sfärisk mappning  är en mappning där en ytpunkt mappas till en enhetsnormalvektor vid den punkten.

• Darboux-triedern är en naturlig referens för en kurva på en yta, som används i definitionen av geodetisk och normal krökning .

• Eulers formel låter dig beräkna den normala krökningen av en yta.

• Meuniers sats  - ger ett uttryck för krökningen av en kurva som ligger på en yta.

Grundläggande teorem

• Gauss Lemma om Geodesics  - säger att varje tillräckligt liten cirkel centrerad vid en punkt på ytan är vinkelrät mot varje geodetisk kurva från mitten. Används för att bevisa att geodetiska kurvor är lokalt kortaste kurvor. Spelar också en nyckelroll för att bevisa egenskaperna hos normala och semi-geodetiska koordinater

• Peterson-Codazzis ekvationer ger lokala förhållanden på ytans första och andra kvadratiska form .

• Uniformeringssatsen  garanterar förekomsten av en konform parametrisering av en given yta med en yta med konstant Gaussisk krökning.

• Gauss-Bonnet-formeln  ger ett uttryck för integralen av den Gaussiska krökningen över ett område på en yta.

• Alexandrovs jämförelsesats  - ger uppskattningar för vinklarna för en geodetisk triangel.

Öppna frågor

• Isometriskt inbäddningsproblem. Det är fortfarande en öppen fråga om någon abstrakt given yta tillåter en isometrisk inbäddning i ett euklidiskt utrymme av dimension 3. Detta är den så kallade " Weyl - ekvationen " [5] .
  • Resultatet av Jakobovich [6] och Poznyak [7] ger ett positivt svar för inbäddningar i 4-dimensionell rymd.
  • År 1926 bevisade och löste Maurice Janet problemet för analytiska mått.
  • Aleksandrovs inbäddningssats säger att varje tillräckligt jämn metrik på en sfär med positiv Gaussisk krökning är isometrisk till en sluten konvex yta i . Ett liknande resultat för analytiska mått erhölls tidigare av Weil.
  [åtta]

• Carathéodorys gissning: Gissningen säger att en stängd konvex tre gånger differentierbar yta tillåter minst två avrundningspunkter . Det första arbetet med denna gissning var det av Hans Hamburger 1924, som observerade att gissningen följer av följande mer rigorösa uttalande: Halvheltalsindexet för bunten av huvudsaklig krökning av en isolerad navel överstiger inte ett.

• Wilmores hypotes . Denna gissning säger att integralen av kvadraten av medelkrökningen av torus inbäddad imåste avgränsas underifrån av. Det är känt att integralen är en Möbius-invariant. Hypotesen löstes 2012 av Fernando Koda Marquez och Andrk Neves [9] .

Anteckningar

1. ↑ Euler, 1760 .
2. ↑ Euler, 1771 .
3. ↑ Gauss, 1902 .
4. ↑ Toponogov, 2012 , sid. 132.
5. ↑ Han, Hong, 2006 .
6. ↑ Jacobowitz, 1972 .
7. ↑ Poznjak, 1973 .
8. ↑ Pogorelov A. V. Böjning av konvexa ytor GITTL (1951)
9. ↑ Marques, Neves, 2014 , sid. 683–782.

Länkar

• DIFFERENTIALGEOMETRI  // Stora ryska encyklopedin  : [i 35 volymer]  / kap. ed. Yu. S. Osipov . - M .  : Great Russian Encyclopedia, 2004-2017.

Litteratur

• S. E. Cohn-Vossen , D. Gilbert . visuell geometri. - M . : United Scientific and Technical Publishing House of the NKTP USSR, 1936. - 302 sid.

• Do Karmo, M. Differentialgeometri för kurvor och ytor. - Moskva, Izhevsk, 2013. - ISBN 978-5-4344-0150-0 .

• Pogorelov, A. I. Differentialgeometri . — 6:e upplagan. — M .: Nauka, 1974.

• Poznyak EG Isometriska nedsänkningar av tvådimensionell Riemann-metrik i euklidiska utrymmen. - 1973. - T. 28 , nr. 4 . — s. 47–77 . - doi : 10.1070/RM1973v028n04ABEH001591 .

• Rashevsky, P. K. En kurs i differentialgeometri . — 3:e upplagan. — M. : GITTL, 1950.

• Toponogov, V. A. Differentialgeometri för kurvor och ytor. - Fizmatkniga, 2012. - ISBN 9785891552135 .

• Chernavsky, A. V. Differentialgeometri, andra kursen .

• Recherches sur la courbure des surfaces  // Mémoires de l'Académie des Sciences de Berlin. - 1760. - T. 16 . — S. 119–143 . . Publiceringsdatum - 1767

• Leonhard Euler . De solidis quorum superficiem in planum explicare licet  // Novi Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae. - 1771. - T. 16 . — s. 3–34 . . Publiceringsdatum - 1772

• Carl Friedrich Gauss . Allmänna undersökningar av krökta ytor 1825 och 1827 . - Princeton University Library, 1902.

• Qing Han, Jia-Xing Hong. Isometrisk inbäddning av Riemannska grenrör i euklidiska utrymmen. - 2006. - ISBN 978-0-8218-4071-9 .

• Howard Jacobowitz. Lokala isometriska inbäddningar av ytor i det euklidiska fyrrummet  // Indiana Univ. Matematik. J .. - 1972. - T. 21 , nr. 3 . — S. 249–254 . - doi : 10.1512/iumj.1971.21.21019 .

• Fernando Codá Marques, André Neves. Min-Max-teorin och Willmore-förmodan // Annals of Mathematics. - 2014. - T. 179 , nr. 2 . - doi : 10.4007/annals.2014.179.2.6 . - arXiv : 1202.6036 . — .