Minsta yta

Minsta yta är en slät yta med noll medelkrökning . Namnet förklaras av det faktum att en slät yta med en given kontur, vilket minimerar området, är minimal.

Exempel

Egenskaper

De asymptotiska linjerna på den minimala ytan bildar ett isotermiskt nätverk .
I allmänhet kanske en minsta yta med en kant inte har den minsta ytan bland alla ytor med en given kontur. Men vilken punkt som helst på den minimala ytan finns i skivan, vilket minimerar området som ges konturen.
- Dessutom, om en kompakt minimal yta är grafen för en jämn funktion definierad på en konvex domän i -planet, så minimerar den arean bland alla ytor med en given gräns. [ett] $z=f(x,y)$ $(x,y)$
Monotonicitetsformel

Historik

De första undersökningarna av minimala ytor går tillbaka till Lagrange ( 1768 ), som övervägde följande variationsproblem : hitta ytan på det minsta området som spänner över en given kontur. Förutsatt att den önskade ytan, ges i formen , Lagrange fastställt att denna funktion måste uppfylla Euler-Lagrange ekvationen . $z=f(x,y)$

Monge ( 1776 ) upptäckte senare att villkoret för att ytarean ska vara minimal innebär att dess medelkrökning är noll. Därför tilldelades namnet "minimal" till ytor med. I verkligheten är det dock nödvändigt att skilja mellan begreppen minimiyta och yta av minsta yta, eftersom villkoret endast är ett nödvändigt villkor för minimiarean, som följer av likheten till noll av den 1:a variationen av ytarean bland alla ytor med en given gräns. $H=0$ $H=0$

Anteckningar

↑ Harvey, Reese; Lawson, H. Blaine, Jr. kalibrerade geometrier. ActaMath. 148 (1982), 47-157.

Länkar

Evgeny Stepanov Videoföreläsningar: minimala ytor (rus.)