Sherk yta

Scherk-ytan (uppkallad efter Heinrich Scherk) är ett exempel på en minimal yta . Sherk beskrev två kompletta kapslade minimala ytor 1834 [1] . Dess första yta är en dubbel periodisk yta, och dess andra yta är helt enkelt periodisk. De var det tredje icke-triviala exemplet på minimala ytor (de första två är catenoid och helicoid ) [2] . De två ytorna är förbundna med varandra.

Scherkytor uppstår i studiet av vissa minimala ytproblem och i studiet av harmoniska diffeomorfismer i ett hyperboliskt utrymme .

Sherks första yta

Den första Scherk-ytan tenderar asymptotiskt till två oändliga familjer av parallella plan ortogonala mot varandra. Ytorna bildar, nära z = 0, bågar av broar i ett rutmönster. Ytan innehåller ett oändligt antal raka vertikala linjer.

Konstruktion av en enkel Sherk-yta

Betrakta följande minimala yta på en kvadrat i det euklidiska planet: för ett naturligt tal n , hitta den minimala ytan som en graf för någon funktion $\Sigma _{n}$

u_{n}:\left(-{\tfrac {\pi }{2)),+{\tfrac {\pi }{2))\right)\times \left(-{\tfrac {\ pi }{2)),+{\tfrac {\pi }{2}}\right)\to \mathbb {R}

så

\lim _{y\to \pm \pi /2}u_{n}\left(x,y\right)=+n

för

-{\tfrac {\pi }{2}}<x<+{\tfrac {\pi }{2)),

\lim _{x\to \pm \pi /2}u_{n}\left(x,y\right)=-n

för

-{\tfrac {\pi }{2}}<y<+{\tfrac {\pi }{2}}.

Det vill säga, u n uppfyller den minimala ytekvationen

\mathrm {div} \left({\tfrac {\nabla u_{n}(x,y)}{\sqrt {1+|\nabla u_{n}(x,y)|^{2} }}}\right)\equiv 0

och

\Sigma _{n}=\left\{(x,y,u_{n}(x,y))\in \mathbb {R} ^{3}\left|-{\tfrac {\pi }{2}}<x,y<+{\tfrac {\pi }{2}}\right.\right\}.

Vad kommer att hända med ytan när n tenderar mot oändligheten? Svaret gavs av H. Sherk 1834: den begränsande ytan är grafen för funktionen $\Sigma$

u:\left(-{\tfrac {\pi}{2)),+{\tfrac {\pi}{2))\right)\times \left(-{\tfrac {\pi }{ 2)),+{\tfrac {\pi }{2}}\right)\till \mathbb {R} ,

u(x,y)=\log \left({\tfrac {\cos(x)}{\cos(y)))\right).

Det vill säga Scherk-ytan över torget är

\Sigma =\left\{\left.\left(x,y,\log \left({\tfrac {\cos(x)}{\cos(y)))\right)\right)\ i \mathbb {R} ^{3}\right|-{\tfrac {\pi }{2}}<x,y<+{\tfrac {\pi }{2}}\right\}.

Mer allmänna Scherk-ytor

Vi kan överväga liknande problem med minimala ytor på andra fyrhörningar i det euklidiska planet. Man kan också överväga samma problem på fyrhörningar på det hyperboliska planet . 2006 använde Harold Rosenberg och Pascal Collin Scherks hyperboliska ytor för att konstruera en harmonisk diffeomorfism från det komplexa planet till det hyperboliska planet (en enhetsskiva med en hyperbolisk metrik), och motbevisade därmed Schön-Yau-förmodan .

Sherks andra yta

Den andra Scherk-ytan ser globalt ut som två ortogonala plan, vars skärningspunkt består av en sekvens av tunnlar i alternerande riktningar. Deras skärning med horisontella plan består av alternerande hyperboler.

Ytan ges av ekvationen:

\sin(z)-\mathrm {sh} \,(x)\mathrm {sh} \,(y)=0

Ytan har en Weierstrass-Enneper parametrisering och kan parametriseras som [3] : ${\displaystyle f(z)={\tfrac {4}{1-z^{4))))$ $g(z)=iz$

x(r,\theta )=2\Re (\ln(1+re^{i\theta})-\ln(1-re^{i\theta}))=\ln \left({ \tfrac {1+r^{2}+2r\cos \theta }{1+r^{2}-2r\cos \theta }}\right)

y(r,\theta )=\Re (4i\tan ^{-1}(re^{i\theta}))=\ln \left({\tfrac {1+r^{2}- 2r\sin \theta }{1+r^{2}+2r\sin \theta }}\right)

z(r,\theta )=\Re (2i(-\ln(1-r^{2}e^{2i\theta})+\ln(1+r^{2}e^{2i \theta }))=2\tan ^{-1}\left({\tfrac {2r^{2}\sin 2\theta }{r^{4}-1}}\right)

för och . Detta ger en period av ytan, som kan förlängas i z-riktningen genom symmetri. $\theta \in [0,2\pi )$ $r\in(0,1)$

Ytan generaliserades av H. Karcher till en familj av pylonsadlar periodiska minimala ytor.

I litteraturen kallas denna yta felaktigt för den femte Sherkytan [4] [5] . För att undvika förvirring är det användbart att referera till ytan som Sherk-ytan för en period eller som Sherk-tornet.

Anteckningar

↑ Scherk, 1835 , sid. 185–208.
↑ Heinrich Scherk (1798 - 1885) - Biografi - MacTutor Mathematics historia . Hämtad 16 juli 2020. Arkiverad från originalet 3 november 2019. (obestämd)
↑ Weisstein, 2002 .
↑ Kapuoleas, 2001 , sid. 499.
↑ Hoffman, Meeks, 1990 .

Litteratur

Scherk HF Bemerkungen über die kleinste Fläche innerhalb gegebener Grenzen // Journal für die reine und angewandte Mathematik. - 1835. - T. 13 .
Nikolaos Kapuoleas. Konstruktioner av minimala ytor genom limning av minimala nedsänkningar // Global Theory of Minimal Surfaces: Proceedings of the Clay Mathematics Institute 2001 Summer School, Mathematical Sciences Research Institute, Berkeley, Kalifornien, 25 juni-27 juli - 2001.
David Hoffman, William H. Meeks. Gränser för minimala ytor och Scherks femte yta // Arkiv för rationell mekanik och analys. - 1990. - T. 111.
Eric W. Weisstein. CRC Concise Encyclopedia of Mathematics // 2nd ed. - CRC press, 2002.

Länkar

Sabitov, I. Kh. (2001), Scherk_surface , i Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4
Scherks första yta inom MSRI Geometry [1]
Scherks andra yta i MSRI Geometry [2]
Scherks minimala ytor i Mathworld [3] Arkiverad 21 februari 2020 på Wayback Machine

Minsta ytor
Associerad familj Bura Catalana katenoid Chena-Guckstatter Costa Ennepera Helicoid Henneberg k -noid Richmond Riemann Pylonsadel Sherka Tre gånger periodisk Gyroid Lidinoid Neovius Schwartz