Richmond yta

Richmond-ytan är en minimal yta som först beskrevs av den engelske matematikern Herbert William Richmond 1904 [1] . Det är en familj av ytor med en plan ände och en självkorsande ände, som Enneper-ytan .

Ytan har Weierstrass-Enneper-parametriseringen . Detta möjliggör parametrering baserat på komplexa parametrar ${\displaystyle f(z)=1/z^{2},g(z)=z^{m))$

{\begin{aligned}X(z)&=\Re [(-1/2z)-z^{2m+1}/(4m+2)]\\Y(z)&=\Re [ (-i/2z)+iz^{2m+1}/(4m+2)]\\Z(z)&=\Re [z^{m}/m]\end{aligned}}

Den associerade ytfamiljen är helt enkelt ytans rotation kring z-axeln.

Om vi tar m = 2 får vi ett reellt parametriskt uttryck [2]

{\begin{aligned}X(u,v)&=(1/3)u^{3}-uv^{2}+{\frac {u}{u^{2}+v^{ 2}}}\\Y(u,v)&=-u^{2}v+(1/3)v^{3}-{\frac {v}{u^{2}+v^{2} }}\\Z(u,v)&=2u\end{aligned}}

Anteckningar

↑ Douglas, Rado, 1992 , sid. 239-240.
↑ Oprea, 2000 .

Litteratur

Jesse Douglas, Tibor Rado. The Problem of Plateau: A Tribute to Jesse Douglas & Tibor Rado // World Scientific. — 1992.
John Oprea. Tvålfilmernas matematik: Utforskningar med lönn. — American Mathematical Soc., 2000.

Minsta ytor
Associerad familj Bura Catalana katenoid Chena-Guckstatter Costa Ennepera Helicoid Henneberg k -noid Richmond Riemann Pylonsadel Sherka Tre gånger periodisk Gyroid Lidinoid Neovius Schwartz