Slutet på topologiskt utrymme

Slutet på ett topologiskt rum är, grovt sett, en sammanhängande komponent av dess "ideala gräns". Det vill säga att varje ände är ett sätt att röra sig mot oändligheten i rymden.

Att lägga till en punkt i varje ände resulterar i en kompaktering av det ursprungliga utrymmet, känd som en finit kompaktering .

Definition

Låt X vara ett topologiskt rum och låt

K_{1}\subset K_{2}\subset \dots

är en ökande sekvens av kompakta delmängder i X vars inre täcker X . Då har X en ände för varje sekvens

U_{1}\supset U_{2}\supset \dots

där varje U n är en sammankopplad komponent av komplementet X \ K n .

Det är lätt att bevisa att antalet ändar inte beror på en viss sekvens { K n } av kompakta mängder.

Exempel

Kompakt utrymme har inget slut.
En reell linje har två ändar, ∞ och −∞. $\scriptstyle \mathbb {R}$
Euklidiskt utrymme för n > 1 har bara en ände. Detta beror på att det bara finns en obegränsad komponent för en kompakt uppsättning K . $\scriptstyle \mathbb {R} ^{n}$ $\scriptstyle \mathbb {R} ^{n}\setminus K$
- Dessutom, om M är ett kompakt grenrör med gräns , är antalet ändar av dess inre lika med antalet anslutna komponenter i gränsen för M.
Föreningen av n strålar som utgår från ursprunget vid har n ändar. $\scriptstyle \mathbb {R} ^{2}$
Ett oändligt komplett binärt träd har ett oräkneligt antal ändar. Dessa ändar kan ses som "kronan" på ett oändligt träd. I en finit kompaktifiering är uppsättningen av ändar homeomorf till Cantor-uppsättningen .

Historik

Konceptet med slutet på ett topologiskt utrymme introducerades av Hans Freudenthal 1931.

Variationer och generaliseringar

Definitionen av ett slut som ges ovan gäller endast för utrymmen X som kan tömmas av presskroppar. Det kan dock generaliseras enligt följande: låt X vara vilket topologiskt utrymme som helst, betrakta ett direkt system { K } av kompakta delmängder i X med inklusionsmappningar. Betrakta motsvarande inversa system av sammankopplade komponenter av komplement { π 0 ( X \ K )}. Då definieras uppsättningen av slut i X som den omvända gränsen för detta inversa system.

Länkar

Diestel, Reinhard & Kühn, Daniela (2003), Graph-theoretical versus topological ends of graphs , Journal of Combinatorial Theory , Series B vol. 87 (1): 197–206 , DOI 10.1016/S0095-8956(02)000344 .
Freudenthal, Hans (1931), Über die Enden topologischer Räume und Gruppen , Mathematische Zeitschrift (Springer Berlin / Heidelberg) . — T. 33: 692–713, ISSN 0025-5874 , DOI 10.1007/BF01174375
Ross Geoghegan, Topologiska metoder i gruppteori , GTM-243 (2008), Springer ISBN 978-0-387-74611-1 .
Peter Scott, Terry Wall, Topologiska metoder i gruppteori , London Math. soc. Lecture Note Ser., 36, Cambridge Univ. Press (1979) 137-203.