Monotonicitetsformel

Monotonicitetsformeln är den klassiska minimalytsatsen . Hon anger särskilt att skärningsområdet för en minimal yta utan gräns med en kula centrerad på ytan inte kan vara mindre än arean av en cirkel med samma radie.

Formulering

Anta att det finns en dimensionell minimal yta i det euklidiska rummet och . Beteckna med det minsta avståndet från till gränsen . $M$ $k$ $p\in M$ $R$ $sid$ $M$

Sedan funktionen

{\displaystyle r\mapsto {\frac {\mathrm {S} (M\cap B_{r}(p))}{r^{m))))

ökar monotont i intervallet ; här betecknar det dimensionella området och är kulan med radie centrerad vid . $[0,R]$ $\mathrm{S}$ $k$ $B_{r}(p)$ $r$ $sid$

Konsekvenser

För , och hur ojämlikheten tillgodoses i formuleringen $M$ $sid$ $R$ $\mathrm {S} (M\cap B_{r}(p))\geq \omega _{k}\cdot r^{m},$

vid ; här betecknar volymen av enhetsbollen i det dimensionella euklidiska rummet.

r\leq R

\omega_{k}

k

Dessutom, om är en självkorsningspunkt då $sid$

\mathrm {S} (M\cap B_{r}(p))\geq 2\cdot \omega _{k}\cdot r^{m},

kl .

r\leq R

Applikationer

Ecolm och White använde monotoniformeln för att bevisa att den minsta ytan som sträcks av en kontur med en rotationsvariation på 4π eller mindre är kapslad.
Brende och Hung tillämpade en generaliserad monotonisk formel för att uppskatta skärningsområdet för en minimal yta med en boll vars centrum är utanför ytan.

Litteratur

S. Brandle, PK Hung. Ytgränser för minimala ytor som passerar genom en föreskriven punkt i en boll // arXiv:1607.04631 [math.DG].

Ekholm T., White B., Wienholtz, D. Inbäddning av minimala ytor med total gränskurvatur högst 4π // Ann . Math.. - 2002. - S. 209–234 .